第四单元 重点单元知识归纳与易错警示导学案

学习目标

1.理解并掌握分数、真分数、假分数、约分、通分、最大公因数、公因数、公倍数、最小公倍数等特征及意义。

2.掌握分数的基本特征，并能用其解决一些实际问题。

3.掌握分数和小数互化的方法，并能熟练地进行分数和小数的互化。

学习重点

1.理解分数的意义。

2.掌握分数的基本特征，能比较熟练地进行约分和通分。

3.熟练地进行分数和小数的互化，并能解决实际问题。

学前准备

教具准备：PPT课件

教学环节1：单元重点知识归纳

知识点

具体内容

分数的产生

在测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。

单位“1”和分数的含义

1.单位“1”的含义：一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，这个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”，也叫做整体“1”。

2.分数的含义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。分数的形式可以用 (m、n为自然数，且m≠0)表示。

分数单位的意义

1.分数单位的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。

2.分数单位及其个数：一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。

分数与除法的关系

两个整数相除，可以用分数表示商，即a÷b＝（b≠0）。反之，分数也可以看作两个数相除，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。

求一个数是另一个数的几分之几的问题的解题方法

求一个数是另一个数（0除外）的几分之几的问题的解题方法：一个数÷另一个数＝，即比较量÷标准量＝。

真分数、假分数和带分数的意义和特征

真分数的意义：分子比分母小的分数叫真分数。真分数的特征：真分数小于1。假分数的意义和特征：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数大于或等于1。带分数的意义和特征：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数。带分数大于1。

把假分数化成整数或带分数的方法

假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是真分数部分的分子，分母不变。

用直线上的点表示分数的方法

用直线上的点表示分数，先确定分数在哪个区间，再确定分点。

分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。

分数的基本性质的运用

利用分数的基本性质可以把分母不同的分数化成分母相同的分数，还可以把一个分数化成指定分母的分数。

公因数和最大公因数的意义

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

求两个数最大公因数的方法

求两个数的最大公因数的方法：

（1）列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出最大的一个。

（2）筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈出较大数的因数，再看哪一个因数最大。

（3）分解质因数法：先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。

（4）短除法：把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。

求两个数最大公因数的特殊情况

1.当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。

2.公因数只有1的两个数的最大公因数是1。

互质数的意义和判断方法

公因数只有1的两个数叫互质数。

约分的意义和方法

1.把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

2.约分的基本方法有两种：（1）逐步约分法：用分数的分子和分母公有的质因数逐步去除分子和分母，直到得出一个最简分数。（2）一次约分法：用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母，就得到最简分数。

3.分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

公倍数和最小公倍数的意义

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

求两个数的最小公倍数的方法

求两个数的最小公倍数的方法。

（1）列举法：分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。

（2）筛选法：先写出两个数中较大数的倍数，然后从这组数中按从小到大的顺序圈出较小数的倍数，第一个圈出的数就是它们的最小公倍数。

（3）分解质因数法：分别把两个数分解质因数，相同质因数对齐写，独有的质因数单独写，然后相同的质因数取一个，独有的质因数都取出来，把它们连乘，积就是最小公倍数。

（4）短除法：用两个数公有的质因数按从小到大的顺序，依次作为除数连续去除这两个数，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。

求两个数的最小公倍数的特殊情况

1.如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

2.如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

分母相同及分子相同的分数大小比较的方法

1.分母相同的两个分数大小比较的方法：分母相同，分子不同的两个分数，分子大的分数大。

2.分子相同的两个分数大小比较的方法：分子相同，分母不同的两个分数，分母小的分数大。

通分的意义和方法

1.公分母：把异分母分数化成同分母分数，这个相同的分母叫做它们的公分母，其中最小的一个叫做最小公分母。

2.通分的意义：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

3.通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。

小数化成分数的方法

根据小数的意义，有限小数可以直接写成分母是10，100，1000，……的分数。原来是几位小数，就在1后面写几个0作分母，把原来的小数点去掉作分子，能约分的要约分。

分数化成小数的方法

分数化成小数的方法：（1）分母是10，100，1000，……的分数化成小数，可以直接去掉分母，看1后面有几个0，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。（2）分母不是10，100，1000，……的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，如果不作特殊要求，一般按“四舍五入”法保留两位小数。

判断一个最简分数能否化成有限小数的方法

一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中除了含有质因数2或5以外，还含有其他的质因数，这个最简分数就不能化成有限小数。

教学环节2：易错知识警示与总结

易错点1 没有正确地理解分数单位的意义。

【例题1】判断：不同的分数，分数单位一定不同。（   ）

错误答案:√

正确答案:×

错点警示:没有正确理解分数单位的含义，分母相同的分数，分数单位是相同的。

规避策略:不是所有分数的分数单位都不相同；分母不同的分数，分数单位是不同的；分母相同的分数，分数单位是相同的。

易错点2 没有理解假分数的特征。

【例题2】判断：假分数一定大于1，真分数一定小于1。（）

错误答案:√

正确答案: ×

错点警示:错在没有理解假分数的特征，当假分数的分子和分母相等时，它的分数值是1，因此说假分数一定大于1是错误的。

规避策略:在判断假分数时，要考虑假分数等于1的特殊情况。

【例题3】判断：分数的分子和分母同时乘相同的数，分数的大小不变。（   ）

错误答案:√

正确答案: ×

错点警示:此题错在没有说明同时乘的数不能为0，同时乘0，分数就没有意义了。

规避策略:在叙述分数的基本性质时，不能忘记限定的条件，即同时乘或者除以的数不能为0。

易错点4 两个合数的最大公因数可能是1。

【例题4】判断：两个合数的最大公因数不能是1。（   ）

错误答案:√

正确答案: ×

错点警示:两个合数的最大公因数可能是1，如14和15，27和32，它们的最大公因数都是1。

规避策略:解此题时，要仔细思考，两个合数的最大公因数也可能是1。

【例题5】判断：两个数的公倍数一定比这两个数都大。（   ）

错误答案:√

正确答案: ×

错点警示:此题忽略了当两个数成倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数这一特殊情况。

规避策略:两个数的公倍数不一定比这两个数都大，两个数的公因数不一定比这两个数都小。

易错点6 没有透彻理解和掌握判断分数是否能够化成有限小数的方法。

【例题6】下面的分数中能化成有限小数的是（   ）。

错误答案:A

正确答案:AB

错点警示:本题漏选了答案B。不是最简分数，化成最简分数是，能化成有限小数，即能化成有限小数。

规避策略:判断一个分数能不能化成有限小数，先看这个分数是不是最简分数，再看它的分母中含有哪些质因数。

教学环节3：单元复习训练

1.填空。

（1）把4米长的铁丝平均分成5段，每段是4米的。

（2）56是5个，5个19是。

（3）（   ）÷（   ）＝23  15÷60＝。

（4）3.375＝3＝

1693＝（   ）。（化成带分数）

（5）把和按照从小到大的顺序排列为（   ）。

（6）a为大于0的自然数。当a（   ）时，是真分数；当a（   ）时，是假分数；当a（   ）时，可化为整数。

分析：运用分数的意义、分数单位、分数与除法的关系、真分数、假分数等知识解答。

2.把下面各分数约分，能化成带分数或整数的要化成带分数或整数。

分析：运用约分和假分数化成带分数或整数的方法解答。

3.把下面的小数化成分数，分数化成小数。（最后两个得数保留两位小数）

0.36  0.07  2.5   

分析：运用小数与分数互化的方法做题。

4.在一张正方形的纸上截出长30cm、宽12cm的长方形纸片若干张，没有剩余，这张正方形纸的边长至少是多少厘米？

分析：运用最小公倍数的知识解决实际问题。

2×3×5×2＝60（cm）

答：这张正方形纸的边长至少是60cm。

5.某书店出售《动物王国》《植物世界》《地球故事》三种书，这三种书原来各有120本，一段时间后，《动物王国》还剩，《植物世界》还剩，《地球故事》还剩，哪种书卖出的本数最多？

分析：运用异分母分数通分、比较大小知识解决问题。

答：《动物王国》卖出的本数最多。