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微专题 函数的单调性 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练
展开这是一份微专题 函数的单调性 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共40页。
微专题：函数的单调性
【考点梳理】
1. 函数的单调性
(1)增函数与减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，
当x1
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)函数的单调性与单调区间：如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2. 判断函数单调性的主要方法(结论)
(1)定义法
教材习题中给出了其常见的两种等价形式：
设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，记Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么
①＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零.
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
(2)性质法
①当常数c>0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相同；当常数c<0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相反，特别地，函数y＝－f(x)与y＝f(x)的单调性相反.
②当y＝f(x)恒为正或恒为负时，y＝与y＝f(x)的单调性相反.
③若c为常数，则函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋c的单调性相同.
④若f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍是增(减)函数.
⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减函数)；若f(x)<0且g(x)<0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.
⑥奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).
(3)同增异减法
复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f(g(x))是减函数. 在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集.
(4)导数法
对于函数y＝f(x)，如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某个区间上f′(x)＜0，那么f(x)在该区间上单调递减.
(5)图象法.
【题型归纳】
题型一：求函数的单调区间
1．函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数f（x）＝6lnx－x2＋x，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：根据函数的单调性求参数值
4．“”是“函数在区间上单调递减”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数（且）在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设，且，则“函数在上是增函数”是“函数在上是减函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型三：根据图像判断函数单调性
7．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（）的图象如图所示，则它的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：复合函数的单调性
10．的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
11．函数的单调递增区间是（ ）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
12．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．（0，1）
题型五：根据函数的单调性解不等式
13．定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
15．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型六：比较函数值的大小关系
16．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
17．已知定义域为R的函数满足，且在单调递减，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型七：根据解析式直接判断函数的单调性
19．下列函数中，定义域为，又是上的增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
20．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
21．下列四个函数在是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
22．定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
24．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
25．函数是上的增函数，点，是其图象上的两点，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
26．已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
27．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
28．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A． B． C． D．
29．是定义在R上的可导函数，且对任意正实数a恒成立，下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
30．函数在的图像大致为
A．B．C．D．
【高分突破】
一、 单选题
31．下列函数中，在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
32．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，若实数x满足，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列比较大小错误的是（ ）
A． B． C． D．
35．已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
36．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
38．设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
39．已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
40．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
41．设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42．如果函数y=f（x）在区间I上是减函数，而函数在区间I上是增函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓减函数”，区间I叫做“缓减区间”．可以证明函数的单调增区间为，；单调减区间为，．若函数是区间I上“缓减函数”，则下列区间中为函数I的“缓减函数区间”的是（ ）
A．（﹣∞，2] B． C． D．
43．已知是自然对数的底数，设，则（ ）
A． B． C． D．
44．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
45．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
46．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
47．给定函数（ ）
A．的图像关于原点对称 B．的值域是
C．在区间上是增函数 D．有三个零点
48．已知函数，若对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，则整数t的取值可以是（ ）
A． B．1 C．3 D．5
49．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
50．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增
D．函数有4个单调区间
三、填空题
51．已知偶函数在上是减函数，且，则的解集__________
52．偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是___________.
53．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.
54．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．
55．函数，若，则实数的范围是____________．
56．定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________
四、解答题
57．已知函数，且．
（1）求m；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．
58．已知是定义在R上的奇函数，当时时，
（1）求解析式
（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）
59．已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，．
（1）求证：；
（2）求；
（3）解不等式．
60．已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
61．设是定义在上的奇函数，且当时，.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间.
【详解】
的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到， 如下图
的单调增区间是．
故选：C.
2．B
【解析】
【分析】
求导，解不等式可得.
【详解】
f（x）定义域为，又，
令，∵x＞0，∴，
由解得或，
则，即的单调减区间为．
故选：B．
3．D
【解析】
【分析】
先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间
【详解】
解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增
故选：D
4．B
【解析】
【分析】
由函数在区间上单调递减可得，进而可判断为充分不必要条件.
【详解】
对于函数，
当时，在R上单调递减；当时，若要使得在上单调递减，需满足且，解得.
“故”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件，
故选:B.
5．A
【解析】
【分析】
讨论、判断单调性，结合已知单调区间求a的范围，再利用二次函数性质求的取值范围.
【详解】
当，则在定义域上递减，不满足题设；
当，则在定义域上递增，又在上是增函数，
所以，可得，即.
由，故在上递增，
所以的取值范围是.
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
由在上是增函数，可得；由在上是减函数可得：，即可得答案.
【详解】
因为在上是增函数，
由复合函数的单调性可知,
由在上是减函数可得：，所以，
又因为，
所以函数在上是增函数”是“函数在上是减函数”的“充分而不必要条件”.
故选：A.
7．B
【解析】
【分析】
根据函数图象直接确定单调递减区间即可.
【详解】
由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，
所以的单调递减区间为.
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
利用给定图象直接写出单调递减区间作答.
【详解】
观察图象知，函数在上的图象从左到右是下降的，在上的图象从左到右是上升的，
所以函数（）的单调递减区间是.
故选：A
9．A
【解析】
【分析】
根据奇函数的图象关于原点对称以及增函数的定义即可得出答案.
【详解】
对于A，是奇函数且递增，符合题意；
对于B、C、D，均为是非奇非偶函数，不合题意.
故选：A.
10．C
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，再换元令，则，求出的单调区间，再利用复合函数单调性的求法得结果
【详解】
由，得或，则函数的定义域为，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域内为减函数，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调增区间为，
故选：C
11．D
【解析】
【分析】
这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，
其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”.
【详解】
先考虑定义域：，解得或，
是开口向上的抛物线，对称轴为x=3，
在上单调递增，在上单调递减，
函数是由 和复合而成的，
是减函数，根据复合函数同增异减的原理，
当 时 是增函数，
故选：D.
12．A
【解析】
【分析】
复合函数的单调性，同增异减
【详解】
已知定义域为R.设，，
∵在R上为减函数，在上为减函数，
∴在上是增函数.
故选：A
13．C
【解析】
【分析】
根据题意可得在上单调递增，再根据函数为奇函数可得不等式，即为不等式，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】
解：因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，解得．
故选：C.
14．D
【解析】
【分析】
根据条件可得在上单调递增，然后结合其是偶函数可得答案.
【详解】
当时，，则在上单调递增，
又函数是上的偶函数，且，
所以，不等式，
解得或
所以不等式的解集为，
故选：D
15．D
【解析】
【分析】
利用函数为奇函数，将不等式转化为，再利用函数的单调性求解.
【详解】
因为函数为奇函数，
所以，又，，
所以不等式，可化为，
即，
又因为在上单调递增，
所以在R上单调递增，
所以，
解得.
故选：D.
16．A
【解析】
【分析】
由奇偶性和单调性求解即可
【详解】
为奇函数，
∴，
又∵
∴，，，
又∵，且函数在区间上是增函数，
∴，
∴，，
故选：A.
17．D
【解析】
【分析】
根据得为偶函数，再根据单调性判断即可.
【详解】
由定义域为R的函数满足得：
函数是偶函数，
所以，
因为，又函数在单调递减
所以
即：
故选：D.
18．B
【解析】
【分析】
设，，利用导数可求得和在上的单调性，由单调性得，，由此可得的大小关系.
【详解】
由题意知：，，；
设，则，
当时，，在上单调递增，
，即，又，，即；
设，则；
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，，
在上单调递减，，
即，，即；
综上所述：.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较问题，解题关键是将变形后，转化为函数的不同函数值大小关系比较问题，通过构造函数的方式，结合导数知识求得函数单调性，进而得到大小关系.
19．A
【解析】
【分析】
根据定义域为，在上的单调递增逐项判断可得答案.
【详解】
对于A，定义域为，时，是单调递增函数，是单调递增函数，由复合函数单调性的定义可得函数是上的增函数，故A正确；
对于B，定义域为， 是上的减函数，故错误；
对于C，定义域为，故错误；
对于D，定义域为， 为开口向上对称轴为的抛物线，
所以在上单调递减，故错误.
故选：A.
20．D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性、单调性判断即可.
【详解】
解：对于A：为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：为偶函数，且在上单调递减，故B错误；
对于C：定义域为，故函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，且，
故为偶函数，又，所以在上单调递增，故D正确；
故选：D
21．D
【解析】
【分析】
根据各个函数的性质逐个判断即可
【详解】
对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．
对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．
对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．
对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．
故选：D
22．A
【解析】
【分析】
由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.
【详解】
令，则可得
所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，
是上单调递增，
所以是上单调递增，
因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数，根据已知条件判断的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式 .
23．C
【解析】
【分析】
由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.
【详解】
解：由题意得，
则
，
由，解得：，
故，
（2），
当时，，，，
在上恒成立，
即在上单调递增，
又，故为上的偶函数，
其图象关于轴对称，在上单调递减，
故，故，
故选：C．
24．C
【解析】
【分析】
根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.
【详解】
令，所以
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，，，
所以，即.
故选：C
25．C
【解析】
去绝对值化为，由点，是其图象上的两点，
，利用函数单调性，可得，即可求出结论；或根据函数单调性结合已知条件，得出时，，再将原不等式等价转化，即可求解.
【详解】
解法一：因为是上的增函数，，
是其图象上的两点，所以函数的草图如图所示.由图象得，
，即.
解法二：因为是上的增函数，，
是其图象上的两点，所以当时，.
又已知，即，
所以，解得.
故选：C
【点睛】
本题考查利用函数的单调性结合函数草图解不等式，属于基础题.
26．C
【解析】
【分析】
由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小.
【详解】
由可得，∴，
∴，即.由此可知函数在上单调递增.
而由换底公式可得，，，
∵，∴，于是，
又∵，∴，故，，的大小关系是.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.
27．A
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可
【详解】
对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确，
对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误，
对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误，
故选：A
28．B
【解析】
【分析】
根据一开始离学校最远，排除部分选项，再根据跑和走离学校的距离减少的较慢判断.
【详解】
首先一开始离学校最远，则CD错误；
开始是跑，所以在较短的时间内离学校的距离减少的较快，
而后是走，所以离学校的距离减少的较慢，
故选：B
29．D
【解析】
【分析】
令，求出，即可得到函数的单调性，即可得解；
【详解】
解：令，则．
因为，所以，所以，
所以在R上单调递增，又因为，所以，
即，即，故D正确，
故选：D．
30．B
【解析】
【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
31．D
【解析】
【分析】
根据函数单调性的性质可判断每个选项中函数在的单调性.
【详解】
对于A，当时，单调递增，故A错误；
对于B，，故在和上单调递增，故B错误；
对于C，在上单调递增，故C错误；
对于D，在上单调递减，故D正确
故选：D.
【点睛】
本题主要考查对函数单调性的判断，根据基本初等函数的复合函数单调性进行判断即可，属于基础题.
32．A
【解析】
【分析】
首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数在上单调递增，且，从而得到，，，，，，，，再分类讨论解不等式即可.
【详解】
因为奇函数在上单调递增，定义域为，，
所以函数在上单调递增，且.
所以，，，，
，，，.
因为，
当时，，即或，
解得.
当时，符合题意.
当时，，或，
解得.
综上：或.
故选：A
33．A
【解析】
【分析】
可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】
根据题意可知，
可转化为，
所以在[0，+∞)上是增函数，又，
所以为奇函数，所以在R上为增函数，
因为，，
所以，
所以，
解得，
即x的取值范围是.
故选：A.
【关键点点睛】
本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.
34．C
【解析】
【分析】
由已知条件可得，所以构造函数，求导后可得，从而可得g（x）在R上单调递增，然后分析判断
【详解】
由已知，可得，
设，则，
∵，因此g（x）在R上单调递增，
所以，，
即
所以，
所以ABD正确，C错误，
故选：C．
35．C
【解析】
【分析】
令，可根据已知等式验证出为偶函数，同时根据导数得到的单调性；将所求不等式转化为，根据单调性可得到，解不等式求得结果.
【详解】
令，则，
，，，
为定义在上的偶函数；
当时，，在上单调递减，
又为偶函数，在上单调递增.
由得：
，即，
，解得：，即不等式的解集为.
故选：.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到构造函数、利用导数确定函数的单调性等知识；解题关键是能够通过构造函数的方式将不等式转化为函数值的比较，再根据单调性转化为自变量之间的大小关系.
36．A
【解析】
【分析】
结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.
【详解】
函数的对称轴为，由于在上是减函数，
所以.
故选:A
37．C
【解析】
【分析】
结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【详解】
义在R上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上单调递减，且，
或，
故或，
故选：C
38．A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
39．A
【解析】
【分析】
设，分析出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出，即可求得原不等式的解集.
【详解】
令，则，
对任意的、，总有，则，
令，可得，可得，
令时，则由，即，
当时，，即，
任取、且，则，即，即，
所以，函数在上为增函数，且有，
由，可得，即，
所以，，所以，，解得.
因此，不等式的解集为.
故选：A.
40．D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
41．B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】
函数的对称轴为，
又函数在上为减函数，
，即．
故选：B.
【点睛】
本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.
42．C
【解析】
【分析】
根据题意，分析函数和的单调区间，结合“缓减函数”的定义分析可得答案.
【详解】
由题意可知，对于，是二次函数，
其对称轴为，在区间上为减函数，
对于，
在区间和上为减函数，
在和为增函数，
若函数是区间上“缓减函数”，
则在区间上是减函数，
函数在区间上是增函数，
区间为或 ，
故选.
【点睛】
本题主要考查二次函数，对号函数的单调性，同时考查学生对新题型的理解，考查学生的观察，分析能力.是中档题.
43．A
【解析】
【分析】
首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.
【详解】
设，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
，时，，即，
设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，
即，
令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，
得：，那么，
即，即，
综上可知.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小.
44．A
【解析】
【分析】
根据条件可得当a
【详解】
由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a
故选：A.
45．D
【解析】
【分析】
先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
46．D
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解：对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
，，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即.
故选：D．
47．AB
【解析】
【分析】
对于A：由函数的定义域为R，，可判断；
对于B：当时，，当时，，由或，可判断；
对于C：由在单调递增可判断；
对于D：令，解方程可判断.
【详解】
解：对于A：因为函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，所以的图像关于原点对称，故A正确；
对于B：当时，，
当时，，又或，所以或，
综上得的值域为，故B正确；
对于C：因为在单调递增，所以由B选项解析得， 在区间上是减函数，故C不正确；
对于D：令，即，解得，故D不正确，
故选：AB.
48．CD
【解析】
【分析】
首先判断在上为增函数，将不等式转化为，即对任意的[t，t+1]恒成立，利用一次函数的单调性，解不等式可得所求范围.
【详解】
，
当时，，在递增，
当时，，在上递增，
且，为连续函数，
所以在上为增函数，且，
由对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，
即，
即，所以对任意的[t，t+1]恒成立，
由在[t，t+1]上递增，
可得的最大值为，
即，解得.
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数的单调性的判断以及应用，解不等式以及不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将不等式转化为对任意的[t，t+1]恒成立，考查了转化思想和运算求解能力.
49．BC
【解析】
计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】
根据题意知，.
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，，
，，D错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.
50．ABD
【解析】
【分析】
结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】
解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．
由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD
51．
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论x的范围，根据函数的单调性可得到答案.
【详解】
因为是偶函数，且，所以，
又在上是减函数，所以在上是增函数，
①当时，由得，又由于在上为减函数，且，所以，得；
②当时，由得，又，在上是增函数，所以，所以.
综上，原不等式的解集为：.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且.偶函数在对称区间上的单调性相反，且..
52．
【解析】
【分析】
根据函数单调性的定义，结合偶函数的性质进行求解即可.
【详解】
因为当时，不等式恒成立，所以有，即
，所以函数在上单调递增，
因为函数的图象经过点，所以，
因此由，可得，函数是偶函数，且在在上单调递增，所以由，
故答案为：
53．
【解析】
利用函数的单调性分别求得函数在区间、，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
当时，；
当时，此时函数单调递增，此时.
由于函数在区间上的值域为，所以.
，
令，则函数在上单调递增，且，
所以，不等式的解为.
解不等式组得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用分段函数的值域求参数的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
54．
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】
由题知，，
所以恒成立，即．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
因此，，
由单调递增，单调递增，
易知函数单调递增，
故等价于
等价于
即，解得．
故答案为：
55．
【解析】
【分析】
根据解析式可判断是定义在上的奇函数且在上单调递增，转化不等式即可求解.
【详解】
，，
是定义在上的奇函数，且显然在上单调递增，
由可得，
，解得.
故答案为：.
56．
【解析】
【分析】
设，由已知不等式得函数是增函数，即得是增函数，又由函数表达式得函数为奇函数，不等式转化为的函数不等式，利用奇偶性变形，再由单调性可解．
【详解】
设，
因为对任意的，恒有，
所以函数在上为增函数，则在上为增函数，
又，而，所以，
所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数，
所以不等式等价于，
即，亦即，
可得，解得．
故答案为：．
57．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】
（1）根据题意，函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知，其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以是奇函数；
（3）在上是单调递增函数．
证明如下：
设，则，
因为，
所以，，则，即，
所以在上是单调递增函数．
58．（1）；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：，，单调递减区间为：，.
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的性质，当时，，当时，，即可得解；
（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.
【详解】
（1）当时，，
当时，，，
所以，
（2）的图像为：
单调递增区间为：，，
单调递减区间为：，.
59．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）令，，由此可求出答案；
（2）令，可求得，再令，，可求得；
（3）先求出函数在上的单调性，根据条件将原不等式化为，结合单调性即可求出答案．
【详解】
解：（1）令，，则，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）设、且，于是，
∴，
∴在上为增函数，
又∵，
∴，解得，
∴原不等式的解集为．
60．（1）；（2）.
【解析】
（1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解.
（2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解.
【详解】
（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且，
所以在区间为单调递增函数，
所以，解得，
由，。
又函数的图像关于轴对称，
所以为偶数，
所以，
所以.
（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，
所以不等式，等价于，
解得或，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
61．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先由函数奇偶性得；再设，则，根据已知函数解析式，结合奇函数的性质，即可求出结果；
（Ⅱ）先由题意，将不等式化为，再由函数单调性，得到，推出，求出，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）由题意知，.
设，则，故，
又因为是奇函数，故，
所以.
（Ⅱ）由，不等式，等价于，
因为，所以其在上是增函数，
∴，即，
∵，∴当时，，
得，故实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，由不等式恒成立求参数范围，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.
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