微专题 解三角形与三角恒等变换综合问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 解三角形与三角恒等变换综合问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共32页。

微专题：解三角形与三角恒等变换综合问题
【考点梳理】
在含有边角关系的等式中，利用正弦定理的变形a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可直接将等式两边的边化为角；也能利用余弦定理的变形如cosA＝将角化为边. 在三角形中利用三角变换求三角式的值时，要注意角的范围的限制.



【典例分析】
典例1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)若，且，求△ABC的面积；
(2)求的最大值．




典例2．为迎接冬奥会，石家庄准备进行城市绿化升级，在矩形街心广场中，如图，其中，，现将在其内部挖掘一个三角形空地进行盆景造型设计，其中点在边上，点在边上，要求．

(1)若，判断是否符合要求，并说明理由；
(2)设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值．






典例3．为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．

(1)当，求四边形的面积；
(2)当为何值时，线段最长并求最长值


【双基达标】
4．在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，满足___________（填写序号即可）
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围.
6．内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
7．如图，在平面凸四边形ABCD中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），AB=2，BC=5，CD=6．

(1)若，，求AD；
(2)已知AD=3，记四边形ABCD的面积为S．
①求的最大值；
②若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（直接写结果，不需要过程）
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求角C；
(2)求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围.
9．已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acosC＝（2b﹣c）cosA．
（1）若3，求△ABC的面积；
（2）若∠B＜∠C，求2cos2B+cos2C的取值范围.

【高分突破】
11．已知函数的最大值为，且的最小正周期为．
（1）若，求的最小值和最大值；
（2）设的内角、、的对应边分别为、、，为的中点，若，，，求的面积．
12．如图所示，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求（单位：千米）.

(1)若，求的值（保留根号）；
(2)若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取）
13．在①；②；③中选个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题.
问题：设钝角的内角，，的对边分别为，，.为的面积，______.
（1）求；
（2）若点为的外心，的面积为，求与的面积之和的最大值.
14．在中，设内角，，的对边分别为，，，且.
（1）若，，成等比数列，求证：；
（2）若（为锐角），.求中边上的高.
15．已知，，令.
（1）求的最小正周期及的解集；
（2）锐角中，，边，求周长最大值.
16．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
17．在①，②，③
这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.
在中，内角的对边分别为，且___________.
（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，若,

（1）用表示、；
（2）求取最大值时的值.
19．已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
20．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
（1）求角C；
（2）若，求的最大值.
21．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若，求的最大值．
22．三角形的内角所对的边分别是，，，且
（1）若三角形是锐角三角形，且，求的取值范围；
（2）若，，求三角形的面积．
23．在中，角、、所对的边分别是、、．且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积．
24．下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”.

（1）在图（i）中，，且，求；
（2）在图（ii）中，，设，求的最大值.
25．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若，，求的取值范围．
26．在中，，，分别是角，，的对边，已知向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
27．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围；
（3）若，D是边上的中点，，求．
28．如图，在中，，D为AC边上一点且，.

（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.

参考答案
1．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可.
（2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值.
(1)
由，故，而，
所以，故.
(2)
由，故，即，
由余弦定理知：，即，
所以，即，又，
故，
由，则或（舍），
所以，则，即，
，而，
所以，当时有最大值为.
【点睛】
关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值.
2．(1)不符合要求，理由见解析.
(2)（平方米）
【解析】
【分析】
（1）由百米，得到百米，百米，求得，在中，由余弦定理求得的值，即可求解.
（2）因为，得到，进而得出的面积，结合三角函数的性质，即可求解.
(1)
解：由题意，某城市有一矩形街心广场，其中百米，百米，
现将在其内部挖掘一个三角形水池进行盆景造型设计，
其中点在边上，点在边上，要求且百米，
可得百米，百米，
所以，
在中，可得，
所以不符合要求.
(2)
解：因为且，可得，
所以，
所以的面积为：，
又因为，
所以，即的最小值平方米.
3．(1)平方百米
(2)当时，的最大值为3百米
【解析】
【分析】
（1）在中，由余弦定理得，再由面积公式得四边形的面积，计算即可求解；
（2）由余弦定理计算得到，再由正弦定理得到，根据同角的平方关系得到，再由两角和的余弦公式求得，最后在中利用余弦定理得到，结合三角恒等变换得到关于的式子，利用正弦三角函数的图像及性质求的最值.
(1)
由题意得，百米，百米，，
所以在中，由余弦定理得
百米，
于是四边形的面积为
平方百米．
(2)
在中，由余弦定理得：
，∴百米，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以为锐角，∴，
∴
，
在中，由余弦定理得：

．
∵，∴当时，的最大值为3百米．
4．（1）条件选择见解析；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）选①，利用正弦定理化简已知条件，由此求得，进而求得.选②，利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，进而求得.选③，先求得，由此求得.
（2）用表示出，结合的取值范围，求得的取值范围.
【详解】
（1）若选①，由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，所以.
若选②，由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又因为，所以.
若选③，，
从而得，又因为，所以.
（2）由正弦定理得，
，
所以，
由是锐角三角形可得，得，则，
因为在上单调递增，所以，从而，
所以的取值范围为.
5．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中的射影定理，可以快速求解.
（2）利用正弦定理，将 构造成与角B有关的函数，转化成值域问题即可.
(1)

∵，∴
(2)

，
∵
∴
6．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理的边化角公式求出的值；
（2）由得出，再由的范围结合余弦函数的性质得出答案.
【详解】
解：（1）因为，所以.
又，所以，即.
又，所以.
（2）因为，所以
所以.
由题可知，，则，
故的取值范围是.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用正弦定理的边化角公式求出，再由三角函数的性质得出的取值范围.
7．(1)
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）结合余弦定理列方程，化简求得.
（2）①先求得的表达式，结合余弦定理列方程，化简求得的最大值.
②通过研究的范围来求得的取值范围，从而求得的取值范围.
(1)
，
，
∴，
∴或（舍）.
(2)
①，
．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由，得，
∴当时，取得最大值.
②.
由①知：，则需研究的范围．
当增大时，增大，从而B随之增大，
所以，当A，B，C趋于共线时，趋于，其中钝角满足，
当减小时，减小，从而B随之减小，
所以，当A，B，D趋于共线时，趋于，其中锐角满足，
，
令，则在上递增，在上递减
并且
，.
8．(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理结合和角公式得出角C；
（2）由正弦定理得出，由正弦定理的边化角公式得出，结合三角函数的性质得出△ABC的周长的取值范围.
(1)
由题，因为
所以由正弦定理可得
即
在△ABC中，，且，B，
又，所以，则
(2)
由正弦定理得，所以
由（1）知，，
所以


因为，所以
则
即△ABC的周长的取值范围为
9．（1）（2）
【解析】
（1）根据降幂公式化简的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间；
（2）由正弦定理边化角，从而可求得，根据锐角三角形可得从而可求出答案．
【详解】
解：（1），
由得
所以的单调递减区间为；
（2）由正弦定理得，
∵∴，
即，
，
得，或，
解得，或（舍），
∵为锐角三角形，
∴解得
∴
∴的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简与性质，考查正弦定理的作用，属于基础题．
10．（1）（2）（，）.
【解析】
（1）利用正弦定理可求角A，结合数量积3，可求△ABC的面积；
（2）结合角之间的关系，把2cos2B+cos2C化简为，然后结合角的范围可求.
【详解】
（1）∵acosC＝（2b﹣c）cosA，
∴由正弦定理可得sinAcosC＝（2sinB﹣sinC）cosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，
∵B为三角形内角，sinB≠0，
∴cosA，
又∵A∈（0，π），
∴A，
∵bccosAbc＝3，可得bc＝6，
∴S△ABCbcsinA.
（2）∵∠B＜∠C，CB，可得B∈（0，），
∴2B∈（，），
∴cos（2B）∈（，），
∴2cos2B+cos2C＝1+cos2Bcos2Bcos2（B）cos2Bcos2Bsin2Bcos（2B）∈（，）.
∴2cos2B+cos2C的取值范围（，）.
【点睛】
本题主要考查求解三角形及范围问题，求解三角形时边角的转化是求解的关键，范围问题一般是把目标式化简为标准型进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.
11．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，根据已知条件求出、的值，可得出，由求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得结果；
（2）由结合角的取值范围可求得的值，利用，结合平面向量数量积运算性质可求得的值，进而利用三角形的面积公式可求得.
【详解】
（1），为锐角，且.
所以，，解得，
由题意可得，因为为锐角，且，可得，.
当时，，，；
（2），，即，
，，则，.
，，
所以，，
即，即，，解得.
因此，.
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
12．(1)
(2)，千米
【解析】
【分析】
（1）若，得到，在等边中，得到，分别在直角中，求得，再在直角中，求得的长；
（2）若，在中，利用正弦定理求得，在中，利用余弦定理求得，进而求得最大值，即可求解.
(1)
解：若，又由，所以此时，
又因为为边长为3的等边三角形，所以，
在直角中，因为，所以，
在直角中，可得.
(2)
解：若，在中，，所以，
在中，，其中，
所以


，
即，
当且仅当时，即时，取得最大值27，
此时（千米），
所以当时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，
此时工厂距离村庄B的最远距离约为5.2千米.
13．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）选①利用余弦定理求出；选②由正弦定理结合求出；选③由三角形面积公式以及三角恒等变换化简得出，最后由正弦定理求出；
（2）先由面积公式得出的外接圆的半径，进而讨论为钝角的情况，结合三角函数的性质以及三角形面积公式得出最值.
【详解】
（1）选①，因为
所以，所以，
选②，由可得
因为，所以
又为钝角三角形，所以，即
选③，因为，所以
所以，所以，
（2）设的外接圆的半径为
因为的面积为，所以，所以
所以为等边三角形，所以
因为或为钝角时，与的面积之和的最大值相同
所以不妨设为钝角，如下图所示

设，则
所以

因为，，所以
所以当，与的面积之和取最大值，最大值为
当为钝角时，如下图所示

设，则
所以

因为，所以当时，与的面积之和取最大值，最大值为
因为，所以与的面积之和的最大值为
【点睛】
方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
14．（1）见解析（2）
【解析】
（1）由，，成等比数列得，再利用余弦定理及基本不等式求出的范围，从而证明；
（2）先利用二倍角公式解得；再由正弦定理求得；下面可采用种方法求解.方法一：由余弦定理求得，再利用边上的高代入即得；方法二：先由同角的三角函数的基本关系算出，进而算出，再利用边上的高代入即得
【详解】
解：（1）证明：因为，，成等比数列，所以
而（当且仅当时取等号）
又因为为三角形的内角，所以
（2）在中，因为，所以.
又因为，，
所以由正弦定理，解得
法1：由，得.
由余弦定理，得.
解得或（舍）
所以边上的高.
法2：由，得.
又因为，所以
所以
或（舍）
（或：因为，且，所以为锐角，）
又因为所以
∴
所以边上的高.
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，同角的三角函数基本关系式，二倍角公式等知识，考查了学生综合应用公式的计算能力.
15．（1），；（2）.
【解析】
（1）由向量的数量积公式，求出，用降幂公式、二倍角公式和辅助角公式化简为正弦型函数，即可求解；
（2）依题意求的最大值，由（1）求出角，利用正弦定理，将用表示，再把转化为角关系式，利用三角恒等变换，化为关于的正弦型函数，即可求解.
【详解】
（1）
，
∴，∵，∴，
∴，
∴的解集是.
（2），∴，
∴，∵，
∴
，
∵锐角三角形且角，
∴，当时，最大为，
∴周长最大值为.
【点睛】
本题考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数性质、正弦定理，考查计算能力，属于中档题.
16．条件选择见解析；（1）；（2）.
【解析】
（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值；
（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围.
【详解】
解：（1）选①，
由正弦定理得：，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
选②，
∴，
∴，
∵，∴，则，
∴；
选③，
得，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴.
（2）已知为锐角三角形，且，
由正弦定理得：，
∴，，
∴，
∵为锐角三角形，
∴，
∴，∴.
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）若选①，利用正弦定理进行边化角，再结合三角形中，即得，；若选②，利用二倍角公式化简整理，再利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理解出，；若选③，利用二倍角公式化简整理，即得，；
（2）利用正弦定理求得，化简计算，利用辅助角公式整理为，结合角的范围，求其范围，最后求周长的范围即可.
【详解】
（1）方案一：若选①，由已知及正弦定理得，，所以，所以，又，所以，所以，即，所以；
方案二：若选②，由已知及倍角公式得，
所以，
所以，
由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以；
方案三：若选③，依题意，
将，代入整理得，，，因为，所以；
（2）法一：由正弦定理
，，
故，即，
所以周长为.
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
18．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）本题首先可在中通过余弦定理得出、，然后在中，通过正弦定理得出，最后在中，根据得出；
（2）本题首先可根据、得出，然后通过三角恒等变换得出，最后根据正弦函数的性质即可得出结果.
【详解】
（1）在中，由余弦定理可得：，
即，解得，
因为，所以，
在中，因为，，所以，
由正弦定理可得：，即，
在中，，即.
（2）因为，，
所以，，
则

，
因为，所以，
当，即时，取最大值，
故当时，取最大值.
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查利用三角恒等变换以及正弦函数性质求最值，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查计算能力，考查化归与转化思想，是难题.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.
（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.
(1)
及，
，化简得，
，又，.
(2)
由（1）可得



为锐角三角形，
且，，
.
，，
故的取值范围为.
20．（1）；（2）最大值为4.
【解析】
（1）利用正弦定理和三角函数的和差公式可得答案；
（2）由可求出，然后，然后可得答案.
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴.
（2）设的外接圆半径为R，∵，
∴，
∴

.
∵，∴，
当，即时，，即的最大值为4
21．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）将题设条件化为，结合余弦定理即可知C的大小.
（2）由（1）及正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求最大值.
(1)
由，得，即，
由余弦定理得：，又，所以．
(2)
由（1）知：，则，．
设△ABC的外接圆半径为R，则，
当时，取得最大值为．
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）先利用得出，再解出，将用含的式子表示，然后根据角的范围，求的取值范围；
（2）利用余弦定理将化为关于三边的关系式，代入，，解出，然后再设法求其面积.
【详解】


又，且都为锐角，故，，
又，
所以
又，所以，得，，
所以，
故.
（2）由余弦定理得，
代入，整理得：，
解得：
则△为直角三角形，面积为.
【点睛】
本题考查解三角形中的综合问题，考查学生的计算能力，最值、取值范围问题的分析与处理能力，难度较大. 解答时，要注意利用余弦定理进行边角互化，取值范围问题要设法表示出所求量满足的关系式，然后利用函数的性质或不等式等求解.
23．(1)
(2)
(3)，的面积为
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可；
（2）根据（1）可得，得到，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；
（3）先根据直角三角形中的关系求解得，再设，推导可得，再根据求解即可
(1)
由正弦定理及，得，
即，化简得，故．
又，故．
(2)
由（1）知，，
故
.
又，则，，
故．
(3)

∵，∴，∵，为中点，∴，
∵，∴，，∴，，
设，则，
∴，，
∴，
在直角中，，
∴当时，的面积为．
24．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件结合诱导公式求得，在中，利用余弦定理，即可求解；
（2）由已知条件结合余弦定理，求得，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）当时，，
则
在中，由余弦定理可得，
所以.
（2）在中，由余弦定理知，，
所以
在中，由正弦定理知，可得，
在中，由余弦定理可得

，
所以当时，的取最大值.
答：（1）；（2）的最大值为.
25．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，求得，即可求解；
（1）由正弦定理可得，化简，结合三角函数的性质，即可求解.
，
(1)
解：因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，所以．
(2)
解：因为，，由正弦定理可得，
所以，，
所以
，
由且，可得，所以，所以，
所以，即的取值范围为．
26．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角的大小；
（2）根据余弦定理求出的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围.
【详解】
（1）由得，
由正弦定理，
得，
即，
因为在三角形中，
则，
又，
故；
（2）在中，因，，
由余弦定理得，
即，当且仅当时取等号，
解得，
又由三角形性质得，
故，
则，
即的周长的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理的应用，结合考查了两向量平行，属于一般题.
第二问属于典型的已知三角形一角和该角所对边的问题，可以利用圆中弦所对圆周角相等的这个几何性质求出三角形边长范围.
27．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可把边角关系转化为，从而可得.
（2）先根据锐角三角形可得，再利用三角变换公式可得，从而可求的取值范围；
（3）在和中分别用余弦定理可得关于的方程，求解后可得为直角三角形，从而可求的值.
【详解】
（1）因为，
由正弦定理可得，
而为三角形内角，故，故即.
（2）由（1）可得，
因为为锐角三角形，故，故.
又，
因为，故，故.
（3）中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
整理得到，解得，故，，
故，故，故.
【点睛】
方法点睛：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．
28．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在中，利用正弦定理求得，进而通过二角和差公式求出，再通过面积公式得到答案；
（2）由正弦定理求出、的表达式，求出的代数式，在运用角的关系和范围求的取值范围.
【详解】
（1），，
，
在中，，解得：，


；
（2）在中，得：，
在中，得：，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
故的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.