微专题 利用导数研究不等式恒成立问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 利用导数研究不等式恒成立问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共35页。

微专题： 利用导数研究不等式恒成立问题
【考点梳理】
　


【典例分析】
典例1．已知函数(为实数)
（1）若，求在的最值；
（2）若恒成立，求的取值范围.


典例2．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求c的取值范围.


典例3．已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围．


典例4．已知函数．
（1）求证：在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方;
（2）若存在，，使成立，求满足上述条件的最大整数m．



典例5．已知，.
（1）讨论单调性；
（2）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.



典例6．设函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；
（2）若对任何恒成立，求的取值范围．


【双基达标】
7．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
8．已知函数（其中，为自然对数的底数）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，，求的取值范围．
9．已知函数.
（1）若函数的图象上任意两个不同点的连线的斜率小于1，求证：.
（2）若，且函数的图象上任意一点处的切线的斜率为k，试证明当时，.
10．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
11．函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若在恒成立，求实数m的取值范围.
12．已知函数，．
(1)若时，恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求的最小值．
13．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
(1)讨论函数f（x）的定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f（x）在x＝1处取得极值，∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的最大值．
14．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
15．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.

【高分突破】
16．已知函数，，
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，使成立，求m的取值范围.
（3）当时，若关于x的方程有两个实数根，，且，求实数k的取值范围，并且证明：.
17．已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
18．已知，其中.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围.
19．已知函数，.
（1）（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明：.
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数f(x)=ex，g(x)=2ax+1.
（1）若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值集合；
（2）若a>0，且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1，x2，证明： 21．已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数．
(1)若函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求满足条件的示数的最大整数值．
23．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
24．已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）若，，证明：有且仅有一个零点.
25．已知函数(其中)，为的导数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围.
26．已知函数.
（Ⅰ）求证：当时，；
（Ⅱ）若，若对任意恒成立，求的取值范围.
27．函数.
(1)求函数在的值域；
(2)设，已知，求证：.
28．已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若，求实数的取值集合．

参考答案
1．（1）最小值为，最大值为；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在区间上的最大值；
（2）首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；
【详解】
（1）当 时，，
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，，
则函数在区间上的最小值为，最大值为.
（2）由题得函数的定义域为，若 恒成立，则，
即恒成立，
令 ，则，
当 时， ；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以 ，
故的取值范围为.
2．（1）极大值，极小值；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，令，再利用导数与函数单调性的关系即可求解；
（2）根据（1）中的单调性求出即可得结果.
【详解】
（1）因为，所以，.
令，解得或，
当，即或；当，即，.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，.
所以，时，有极大值，.
当时，有极小值.
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，.
又，，.
所以时，，.
因为对任意的都有成立，所以.
3．(1)最小值
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，，求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值；
（2）令，依题意只须在上恒成立，求出函数的导函数，根据、的取值范围，可得，即在上单调递增，即可得到，即可求出参数的取值范围；
(1)
解：由函数，得的定义域为，
当时，，，
令，解得；令，解得，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以当时，取得最小值，即．
(2)
解：令，
因为对于任意都有，只须在上恒成立，
又由，
因为，
所以，，即
所以在上单调递增，所以，解得，
所以当时，对任意都有成立．
4．（1）证明见解析；（2）4．
【解析】
【分析】
（1）由题转化为在区间上恒成立，即证；
（2）由题知，即求.
【详解】
（1）设，
则，
在区间上，，，
所以当时，，单调递减，
且，
故时，，
所以，
所以在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方．
（2）由，得，
当时，，
所以，
．
存在，，使成立等价于，
即，
，
故满足条件的最大整数为4．
5．（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，对m讨论，得到单调性；
（2）当时，先求出，由题意，原不等式等价于，，利用导数求出，进而求出m的范围.
【详解】
（1），所以当时，有恒成立，在单调递增，当时，由解得：，在上单调递增；由解得：，在上单调递减；
（2）当时，，
根据题意，不等式等价于，，
对于，，，
所以在上单增，所以，
则有，
设，则，
在定义域内为减函数，
又，所以，
即的取值范围是.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)恒（能）成立问题求参数的范围：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；
③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.
6．（1）单调递减区间为，极小值为2；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导，利用求出，代入导函数可得单调性和极值；
（2）条件等价于对任意恒成立，设，可得在上单调递减，则在上恒成立，参变分离，转化为最值问题即可求解.
【详解】
（1）由条件得，
∵在点处的切线与垂直，
∴此切线的斜率为0，即，有，得，
∴，由得，由得．
∴在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值．
故的单调递减区间为，极小值为2
（2）条件等价于对任意恒成立，
设．　
则在上单调递减，
则在上恒成立，得恒成立，
∴（对仅在时成立），
故的取值范围是
7．（1）；（2）.
【解析】
（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；
（2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用导数求得最小值即可求得结果.
【详解】
解：（1）当时，，
∴，，
∴切线方程为，
即
（2）∵，
∴原条件等价于：在上，恒成立.
化为
令，
则
令，则
在上，，
∴在上，
故在上，；在上，
∴的最小值为，∴
8．(1)答案见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）计算，分别讨论、、、时，解不等式和可得单调增区间和单调减区间即可求解；
（2）已知不等式可转化为对恒成立，分离可得，令，利用导数求的最大值即可求解.
(1)
由可得
，
当时，，当时，；当时，，
此时的单调递增区间为，单调递减区间为
当时，由得，，，
①若，即时，恒成立，故在上单调递增；
②若，即时，
由可得：或；令可得：
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，即时，
由可得：或；由可得：
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述：
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为.
(2)
由可得对恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
则，
令，则，则在上单调递减，
又，，故在上有唯一的实根，
不妨设该实根为，
故当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
故，
又因为，所以，，，
所以，故的取值范围为．
9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设函数图象上任意不同的两点，，且.由得，由此可得证.
（2）当时，求导函数得，由题意得时恒成立.再由函数的单调性和基本不等式可得证.
【详解】
解：（1）设函数图象上任意不同的两点，，且.

.
，，
配方得，于是必有，得到.
（2）当时，，
由题意恒成立，得到，
于是在时恒成立.
在上为增函数，，而，
当且仅当，即时取等号，.
10．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）对a进行分类讨论，利用导数求出单调区间；
（2）记 ，则有对a进行分类讨论，求出a的取值范围.
(1)
的定义域为，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得：，所以在上单调递增；
令，解得：，所以在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减.
当时， 在上单调递增，在上单调递减；
(2)
设 ，
则有
当时，在上单调递增，所以满足题意；
当时，，且，
使时，单调递减，使得不合题意.
的取值范围为.
11．（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导，分别讨论和两种情况的正负，即可求得的单调区间.
（2）所求转化为求在恒成立问题，设，利用导数判断其单调性，并求得的最大值，可得关于m的不等式，即可得答案.
【详解】
（1）
当时，，所以在为增函数，
当时，令，解得；
当时，，为增函数，
当时，， 为减函数，
综上：当时，的单调增区间为，
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
（2）因为在恒成立，
所以在恒成立，
设，则.
设
所以在单调递增，又，
因此存在唯一，使得，
所以当时，，
当时，
当时，，当时，
所以函数在递增，在递减，在递增
因此，
由得，则.
所以，
因为，则，所以，
因为，
所以当时，，
所以，解得
所以的取值范围是
【点睛】
解题的关键是熟练掌握利用导数判断函数单调性，求极（最）值的方法，并灵活应用，在得到解析式，并且不能直接判断其正负时，可令，再次求导，根据的单调性，求得的值域，进而可得的正负，即可得的单调性，属中档题.
12．(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）首先将题意转化为恒成立，先证明恒成立，再分类讨论的范围即可得到答案.
（2）首先求导得到，设，根据的正负性得到的单调性，再利用隐零点求解函数的最值即可.
（1）因为时，恒成立，所以恒成立，即恒成立.首先证明恒成立，即证恒成立.设，，因为，，为增函数，，，为减函数，所以，即证：时，恒成立.当时，恒成立，当时，若不满足，故舍去.综上：.
（2），设，，∴在上单调递增，因为，，所以存在，使得，且时，，即单调递减，时，，即单调递增，所以，因为，所以，则，所以，设，，因为时，，为增函数，所以，则，∴．
13．(1)答案见解析；
(2)1.
【解析】
【分析】
（1）求导，再对分和两种情况讨论得解；
（2）等价于1，令g（x）＝1，求出函数的最小值即得解.
（1）解： f（x）的定义域为（0，+∞）．．当a≤0时，≤0在 （0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．f（x）在（0，+∞）上没有极值点．当a＞0时，由＞0得x，所以，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即f（x）在x处有极小值．综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．
（2）解：∵函数f（x）在x＝1处取得极值，＝a﹣1＝0，则a＝1，从而f（x）＝x﹣1﹣lnx．因此f（x）≥bx﹣2 ，即1，令g（x）＝1，则，由≥0得x≥e2则g（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）上递增，，故实数b的最大值是1．
14．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）依题意可得在上恒成立，令，再分、、三种情况讨论，结合函数的单调性计算可得.
（1）解：由知定义域为，且①时，在上，故在上单调递增；②时，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：由得，令①当时，在，恒成立，所以不可能； ②当时在上单调递减且，当时，，故在上存在，使得时，，则在上单调递增，所以与题不符.       当时，，所以在上单调递减，所以，符合题意. 综上所述，
15．（1）；（2），在单调递减；，在单调递增，在单调递减；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程；
（2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性；
（3）解法1：等价转化为.先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设，利用导数研究其单调性，进而得到
.由（1）可知，当时，，得，然后利用放缩证得；
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，先利用，得到，从而为证原不等式，只需证
构造函数，利用导数研究其单调性，进而得证.
【详解】
（1），则，
于是点处切线方程为：，即.
（2）若，则定义域，，在单调递减.
若，则定义域为，.
由得，由得，所以在单调递增，在单调递减.
解法1：（3）不等式等价于.
设，.
设，则，所以.
而，所以，在单调递减，所以.
由（1）可知，当时，，得.所以
.
因此当时，.
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，从而.
设，在单调递增.
因为，所以当时，，当时，.
所以.因此.
所以当时，.
【点睛】
利用，进行放缩是解决同时含有指数对数的不等式证明得常用方法，值得注意体会和掌握.
16．（1）f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）（0，）；（3）k＞1﹣ln2，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导得，分析的正负，进而可得f（x）的单调性，即可得出答案．
（2）求出f（x）min，令h（x）＝，求出h（x）min，只需f（x）min＞g（x）min，即可得出答案．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，分析f（x）的单调性，进而可得f（x）min，若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，则k＞1﹣ln2，且lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，推出lnx1＝lnx2+﹣，f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣，令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，求导分析F（x）的单调性，进而可得f（x1）＜f（1﹣x2），再结合f（x）在（0，）上单调递减，即可得出答案．
【详解】
解：（1），
令f′（x）＞0，得x＞，
令f′（x）＜0，得0＜x＜，
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣lnm，
令h（x）＝＝＝，x∈（0，3），
h′（x）＝＝，
在x∈（2，3）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在x∈（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）min＝h（2）＝＝，
所以1﹣lnm＞，
所以0＜m＜，
所以m的取值范围是（0，）．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，
由（1）可知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣ln2＞0，
若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，
则k＞1﹣ln2，
所以lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，
得lnx1+＝lnx2+，
所以lnx1＝lnx2+﹣，
f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx1+﹣ln（1﹣x2）﹣
＝（lnx2+﹣）+﹣ln（1﹣x2）﹣
＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣
令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，


＝，
因为x＞，
所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，
所以F（x）在（，+∞）单调递减，
所以F（x）＜F（）＝
所以f（x1）＜f（1﹣x2），
因为0＜x1＜＜x2，
所以﹣＞﹣x2，即1﹣＞1﹣x2，
所以0＜1﹣x2＜，
因为f（x）在（0，）上单调递减，
所以x1＞1﹣x2，
所以x1+x2＞1，得证．
【点睛】
关键点点睛：
1.对于若，，使成立，转化为是关键；
2.对于双变量问题，我们要想办法找到两变量之间的关系，进而利用关系消元，达到转化为单变量问题；
3.对于不等式的证明，可构造函数，利用用导数求函数最值来研究证明.
17．（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】
(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
[方法二]：特值探路
当时，恒成立．
只需证当时，恒成立．
当时，．
只需证明⑤式成立．
⑤式，
令，
则，
所以当时，单调递减；
当单调递增；
当单调递减．
从而，即，⑤式成立．
所以当时，恒成立．
综上．
[方法三]：指数集中
当时，恒成立，
记，
，
①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；
②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，
所以若满足，只需，即，所以当时，成立；
③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，
所以时，满足题意.
综上，.
【整体点评】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，设，求得，进而得到的符号，即可求解；
（2）由，得到恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最值，转化为恒成立，集合，即可求解.
(1)
解：当时，的定义域为，
可得，
设，可得，故在上单调递增，
所以，
由，解得；由，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
解：若要使得，只需恒成立，
设，可得，
由，可得；由，可得，
所以在为单调递减，在上单调递增，所以，
于是需要恒成立，即恒成立，
由（1）可得：当时，，从而，即，
用替换上式中的，可得，
结合时，，所以恒成立，
要使得恒成立，则，即实数的取值范围.
19．（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过研究导函数和的正负情况判断和的单调性，进而得到最值，即证结论；
（2）先代入化简为时，恒成立，构造函数，通过两次求导判断其导函数的的单调性，再对a进行分类讨论，结合（1）中结论判断能否成立，即得结果.
【详解】
解：（1）（ⅰ）证明：由可知．
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数有最小值，又，故；
（ⅱ）证明：由可知，．
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数有最小值，又，故．
（2）当时，恒成立，而，
故不等式等价于当时，恒成立．
设函数．
则，设，
则．
当时，，，，
结合（1）（ⅰ）问结论知，，
故函数在上单调递增．
若，则当时，，，函数在在上单调递增，又，故，满足题意；
若，因为，，
结合（1）（ⅱ）问结论可知，，
又，函数在上单调递增，故存在，使得，当时，，，函数在上单调递减，此时，又，即当时，，不符题意．
故实数的取值范围是．
【点睛】
关键点点睛：
第一问中证明不等式的关键在于利用函数导数研究最值，第二问的解题关键在于分类讨论后巧妙利用（1）中结论进行判断，突破难点.
20．（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）构造函数，求导，分类讨论得函数最值即可求解；（2）由题意得，，等价证明，令，构造函数求导证明即可
【详解】
（1）令，
当 恒成立，在R上单调递增，，当 不合题意，故舍去
当 则，故当 ，单调递减；当 ；单调递增，故
令，故在 递增，在递减，故即即，故即
故a的取值集合为
（2）方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1，x2
不妨令x1 若证 令，即证，令
因为，故，故单调递增，得证
【点睛】
本题关键是利用，，等价证明，构造函数证明
21．（1）     （2）证明见解析            （3）存在     
【解析】
【分析】
（1）求出函数得到函数大单调性，从而得到函数的极大值.
（2）由（1）可得，即，然后可得，，，相加可证明.
(3) 与的图象在 处有公共点,设函数与存在“分界线” ,由令，由求出参数的值，再证明成立即可.
【详解】
（1），则
由，可得 ，，可得
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有极大值
（2）由（1）可知，为的最大值，即
所以，即（当且仅当时等号成立）
令，则，取，则，即
则，，
由上面不等式相加得
即
即
（3）设 ，则
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以
即与的图象在 处有公共点
设函数与存在“分界线”
令
由，即在上恒成立，
即在上恒成立，
成立，而，
所以 ，则
再证明，即恒成立.
设，则
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值，即
所以恒成立.
综上所述，可得且
故函数与存在 “分界线”，此时
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式，考查恒成立求参数，考查转化思想的应用，属于难题.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求，利用导数的几何意义求得在点处切线方程，由在轴上的截距为列方程即可得的值；
（2）由所给的不等式分离可得，令，利用导数判断的单调性和最小值，由即可求解.
(1)
函数的定义域为，，
则在点处切线的斜率为，又，
所以函数的图象在点处的切线方程为：，
即，所以，
因为其在轴上的截距为，所以，解得．
(2)
即，
又，所以，可得对于恒成立，
当时，令，则．
再令，则，
所以在上单调递增；
又，，
所以使，即，使，
当时，，；当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，又因为，所以实数的最大整数值是．
【点睛】
方法点睛： 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
23．（1）见解析；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.
【详解】
（1）
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
       ，使得
又在上单调递减       为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减       
可知不恒成立
综上所述：
【点睛】
本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可知等价于，构造函数利用导数可证；
（2）利用导数判断函数单调性，可求函数的极值，再结合零点存在性定理可证.
【详解】
（1）当时，等价于.
设，当时，，单调递增，
故，，即.
于是当时，.
（2）定义域为，.
若，当或时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，在单调递增.
，
所以函数在上没有零点；
因为，，所以，
∴，
当满足且时，由（1）可知，
∴函数在上有一个零点；
综上所述，有且仅有一个零点.
25．(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)对f(x)求导，再求出导函数在0处的导数值，利用点斜式写出方程而得；
(2)不等式恒成立，等价转化为，构建新函数，分类讨论求其最小值不小于0而得解.
【详解】
(1)，∴，
又∵，∴函数在处的切线方程为.
(2)令，，
∵()，
∴在上单调递增，
①当时，，
所以为增函数，故恒成立，即.
②当时，∵在上为增函数，且，
，
故存在唯一，使得.
则当时，，为减函数，，此时与恒成立矛盾.
综上所述，.
【点睛】
利用导数解决含参函数问题，求导后不能准确判断导数值的正负，还需二次求导判断一阶导数的单调性，再分类讨论解决.
26．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用导数可判断函数在上单调递增，即可证得：当时，，问题得证．
（Ⅱ）求得：，对的范围分类讨论，当时，在上单调递减，即可得到恒成立；当时，利用（Ⅰ）中结论可判断：当时，，即不符合题意，问题得解
【详解】
解：（Ⅰ）证明：，
当时，，函数在上单调递增，
∴，
∴当时，.
（Ⅱ），
当时，，，∴，
∴在上单调递减，
∴恒成立；
当时，∵对任意恒成立，
∴，
∴当时，，不符合题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了利用导数证明不等式成立，还考查了分类思想、转化能力及计算能力，属于难题．
27．(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)对函数求导，利用导数探讨函数在上的单调性即可计算作答.
(2)利用(1)中信息求出并探讨其单调性，借助单调性构造函数，结合不等式性质即可推理作答.
(1)
依题意，，求导得，令，
则，由得或，而，
当或时，，当时，，
于是得在，上都是单调递增的，在上单调递减，，，
于是得，成立，即，因此，在上单调递增，
，，
所以函数在的值域是.
(2)
由(1)知，，求导得，令，则
显然在R上单调递增，当时，，当时，，即在上 单调递减，在上单调递增，
则，即，于是得在R上单调递增，
令，求导得，令，
则，当且仅当时取“=”，即有在R上单调递增，
而，即当时，，当时，，
因此，在单调递减，在上单调递增，，于是得，
由得，于是得，
所以当时，成立.
【点睛】
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，再探讨函数的性质是解决问题的关键.
28．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，判断函数单调性，求出函数在时的极值，可得答案;
（2）将，并由此构造函数
，根据题意可判断为其最小值，由此判断1为的极值点，因此可求得得或，再分别证明在或 时满足题意，则可得答案.
(1)
，
时，的单调性和极值情况如下表：
x
0

1

2


-
0
+
19

0
减函数
极小值
增函数
6

所以，的值域为．
(2)
， ，
即，
设，
则，
∵在内，且，
∴，则1为的极值点，
∴，即，解得或．
当时，，
设，
则，
∴在内为减函数；在内为增函数，
∴，则，故成立．
当时，，
设，
则


，
设，则．
当时，为减函数；当时，为增函数．
∴（当且仅当时等于0）．
设，则，
故在内为增函数，且．
所以，当时，；当时，，
于是，当时，为减函数；时，为增函数，
∴，故成立．
综上所述，a的取值集合为．
【点睛】
本题考查了导数的应用，利用导数判断函数的单调性以及求极值最值问题，考查了利用导数解决不等式成立时求参数的值的问题，综合性较强，计算量很大；解答的关键是合理的变形，从而构造新函数，利用导数解决问题.