微专题 利用导数研究双变量问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

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微专题：利用导数研究双变量问题
【考点梳理】
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【典例分析】
典例1．已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．



典例2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：若，，则．



典例3．已知函数（k为常数），函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当，时，有且只有两个不相等的实数根，且；有且只有两个不相等的实数，，且．证明：．






【双基达标】
4．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设，若，，且，使得，求的最大值.
5．已知函数.
（1）求的单调区间与极值.
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
6．已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，．
①证明：；
②证明：．
7．已知函数．
(1)试讨论的极值；
(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．
8．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段中点的横坐标为，证明：.
9．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.
10．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对，，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【高分突破】
11．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)任取两个正数，当时，求证：.
12．已知函数．
(1)若在上单调递减，求实数a的取值范围．
(2)若是方程的两个不相等的实数根，证明：．
13．已知函数，.
（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）若，与为的两个不同极值点，证明：.
14．已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
15．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．
16．已知函数（），且有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
17．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
18．已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个零点分别为，证明：.
19．已知函数．
(1)若存在，使≤成立，求a的取值范围；
(2)若，存在，，且当时，，求证：．
20．已知函数，且是函数的导函数，
(1)求函数的极值；
(2)当时，若方程有两个不等实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：．
21．已知函数f(x)＝x－alnx
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若方程有2个不等的实根，证明：.
22．已知，函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)若有两个不同的极值点，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：（……为自然对数的底数）.
23．已知.
(1)若恒有两个极值点，（），求实数a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明.
24．已知函数，实数，为方程的两个不等的根.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
25．已知函数.
(1)证明：；
(2)若有两个不相等的实数根，求证：.
26．已知函数，其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.
27．已知函数，其中，且.
（1）讨论的单调性；
（2）若直线恒在函数图像的上方，求实数的取值范围；
（3）若存在，，使得，求证：.
28．已知函数.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.

参考答案
1．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数，判定单调性，求解最值可得范围；
（2）把双变量问题转化为单变量，结合导数求解单调性和最值，可以证明结论.
（1）∵， ，∴，设 ，，当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，与已知矛盾．当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件；综上，取值范围是．
（2）证明：当时，，当，，当，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，∵在区间上单调递增，∴只需证，∵，∴只需证．设，则，∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立，∴．
【点睛】
方法点睛：恒成立问题的处理方法主要有：
（1）分离参数法：转化为函数最值问题；
（2）直接法：直接求解函数最值，必要时进行分类讨论.
双变量问题一般利用等量代换转化为单变量问题进行求解.
2．(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求定义域，再求导，分与求解函数的单调性；
（2）由得到，即证，构造函数，，求导后得到在上单调递增，
∵，∴，从而证明出成立．
(1)
由题意知：．
当时，当时，，在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增．
(2)
证明：∵，即，
又，∴要证，只需证，
即证 ①
设，，则，
∴在上单调递增，
∵，∴，不等式①成立，即成立．
【点睛】
对于双元问题，要转化为单元问题，构造函数，结合函数单调性和极值等进行求解.
3．(1)详见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，分，讨论即得；
（2）由题可知，进而可得，，问题转化为证明，构造函数，利用函数的导数可得函数的单调性，结合函数的单调性即得.
(1)
因为，
当时，，函数在单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，函数在单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
(2)
当时，，，
∴，
所以方程与的根互为倒数，
又因为方程有且只有两个不相等的实数根，，且，
方程有且只有两个不相等的实数根，，且，
所以，，可得，，
所以，
故要证，只需证明，
要证，只需证，
因为，所以，
因为在上单调递增，
所以只需证，
进而只需证，
因为，
只需证明，
构造函数，，
则，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，
则，即，
所以，即，
故．
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，然后对分、、三种情况讨论即可求解；
（2）由题意，当满足时，取得最大值，令，求出的值即可得答案.
(1)
解：因为，所以，
当时，令，可得或，令，可得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，所以在R上单调递增；
当时，令，可得或，令，可得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
(2)
解：因为，所以由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
因为，，且，使得，
所以当满足时，取得最大值，
令，
所以当时，，
同理可得，
所以当时，，
所以此时，即的最大值为.
5．（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极大优值，无极小值；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
首先求函数的导数，利用导数和单调性，极值点的关系，即可求解；
（2）首先由条件变形为，即，通过构造函数，，转化为极值点偏移问题，即可求解.
【详解】
（1）解：的定义域为，.
当时，；当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.
（2）证明：易知，，


即，.
不妨设，，.
（1）可知，，
当时，，
当时，，

设，，
则，
因为，，
所以，在区间上单调递增，
，
所以，
又因为，，所以，
即，故.
6．(1)极大值为，无极小值
(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求单调区间，由单调区间即可求出极值；
（2）由和可得，由已知条件所给的不等式即可证得①；
由①可得，则，令，构造函数，利用二次求导根据单调性即可证得②.
(1)
函数的定义域为，
，
则当时，；时，．
即在上递增，上递减，
故的极大值为，无极小值．
(2)
结合（1）由，；，，可得，
①由题意可得，从而，
即，
结合参考的公式可得：，
故，
且，即，从而有．
②由①可得，令，则，
所以，
则，
则，∴递减，
又∵，∴，
故递增，∴，
即，
即．
7．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先讨论的单调性，再确定极值（2），，使得等价于，分别求出与，即可求解
(1)
函数的定义域为，
．
当时，，所以在上为增函数，此时函数不存在极值．
当时，由，解得，故在上单调递增．
由，解得，故在上单调递减．
此时函数在处取得极大值．无极小值．
综上所述，当时，函数不存在极值．
当时，函数在处取得极大值，无极小值．
(2)
由（1）知当时，在上为增函数，
故无最大值，此时不符合题意；当时，．
易知在上单调递减，所以．
因为，，使得，
所以，即
解得，所以实数a的取值范围是．
8．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先写出函数定义域，然后求出，并按，讨论，最后判断即可.
（2）由（1）可得，设，，，计算，化简，计算，换元并构建函数，利用导数判断函数的单调性，最后可证结果.
(1)
的定义域为，
．
①若，则，所以在单调递增．
②若，则由得，
且当时，，当时，．
所以在单调递增，在单调递减．
(2)
由（1）可知：当时，函数在上单调递增，
故图像与x轴至多有一个交点，不符合题意，从而．
当时，在单调递增，在单调递减，
不妨设，，，则．
由，
两式相减得：，
即：，
又

令，，
则，从而函数在上单调递减，
故，从而，又，所以．
9．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求导并通过导数的正负讨论f(x)的单调性；
(2)换元，将问题转化为即可.
(1)
函数定义域为，
，

①当时，在上恒成立，即函数的单调递减区间为
②当时，，解得，当时，，
函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递减区间为，
综上可知：
①当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
依题意，是函数的两个零点，
设，因为，
，，
不等式，
，所证不等式即
设，令，
则，在上是增函数，且，
所以在上是增函数，且，
即，从而所证不等式成立.
【点睛】
本题关键是换元，结合已知条件可将双变量转换为单变量问题求解.
10．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程即可求解；（2）不等式恒成立等价于恒成立，即，构造函数，求出其最大值即可得到的取值范围.
(1)
当时，，，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
(2)
，令得或，
∵，所以，
当时，，所以函数在上单调递减，
则，，
∵对，不等式恒成立，
∴，
即对恒成立，
令，则函数在上单调递增，
所以只需．所以．
【点睛】
关键点：（1）关键是应用导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解切线方程；（2）关键是通过函数的最大、最小值去掉不等式中的绝对值符号，转化为，即，构造函数，求出其最大值即可得到的取值范围.
11．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性；
（2）求出，运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数的单调性，进而证明原不等式成立.
(1)
.
当时，，令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当，即时，令，得或；令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
当，即时，恒成立，所以在上单调递增.
当，即时，令，得或；令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上所述，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时， 在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
(2)
证明：由题意得，.
要证，
只需证，
即证，
即证.
令，
所以只需证在上恒成立，
即证在上恒成立.
令，则，
令，则.
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以.
所以.
12．(1)；
(2)详见解析
【解析】
【分析】
（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；
（2）将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明，恒成立.
(1)
，
，在上单调递减，
在上恒成立，即，
即在，
设，，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以函数的最大值是，所以；
(2)
若是方程的两个不相等的实数根，
即又2个不同实数根，且，，
得，即 ，
所以，
不妨设，则，
要证明，
只需证明，
即证明，即证明，
令，，
令函数，
所以，
所以函数在上单调递减，
当时，，所以，，
所以 ，即，即得
【点睛】
本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.
13．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意知有解，分离可得有解，令，可得，利用导数求的最大值即可求解；
（2）由题意知，是的两根，将，代入整理可得，所证明不等式为，令，问题转化为证明成立，利用导数证明单调性求最值即可求证.
【详解】
（1）函数定义域为，根据题意知有解，
即有解，令，，
且当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以；
（2）由，是的不同极值点，知，是的两根，
即，所以①，
联立可得：②，
要证，由①代入即证，即，
由②代入可得③，
因为，则③等价于，
令，问题转化为证明④成立，
而，
在上单调递增，当，④成立，即得证.
【点睛】
方法点睛：破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
14．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分，讨论，当时，求的最小值，根据可得；
（2）将问题转化为有两个零点，先利用导数研究两个零点的范围，然后由，，作商取对数得.若选①，令，构造函数，若选②，构造函数，根据极值点偏移问题的方法可证；若选③，构造函数，由单调性可证.
(1)
当时，，
当时，因为，所以此时不合题意；
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
要，只需，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，则由得，
所以，故实数b的取值范围为．
(2)
当时，，，
令，则，
因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，
若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，
令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
因为有两个零点，所以，则，
设，因为，，则，
因为，所以，，
则，取对数得，
令，，则，即
①令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，
则，在上单调递减，
因为，所以，即，
亦即，
因为，，在上单调递增，所以，
则，整理得，
所以，故①成立
②令，则，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，则，在上单调递增，
又，所以当时，，即，
因为，，在上单调递增，所以，
所以，即，
所以，
即，故②成立．
③令，，则，
令，则，
∴在上单调递增，则，
∴，则，
两边约去后化简整理得，即，
故③成立．
【点睛】
双变量的不等式证明问题，主要通过换元构造函数，利用单调性证明即可.本题属极值点偏移问题，关键在于构造适当的对称函数.
15．(1)的单增区间为；单减区间为，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；
（2）若选①，不等式转化为证明，变形为证明，通过构造函数，即可证明；
若选②，首先根据函数有两个极值点，证得，，再变换为，通过构造函数，利用导数，即可证明.
（1），当时，，令，解得；令，解得或，所以的单增区间为；单减区间为，．
（2）证明①：由题意知，是的两根，则，，将代入得，，要证明，只需证明，即，因为，所以，只需证明，令，则，只需证明，即，令，，所以在上单调递减，可得，所以，综上可知，．证明②：设，因为有两个极值点，所以，解得，因为，所以，，由题意可知，可得代入得，，令，，当，所以在上单调递减，当，所以在上单调速增，因为，所以，由，可得，所以，所以，所以，即．
16．(1)
(2)不存在；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）求导之后，根据导函数在上有两个变号零点，列式即可求解（2），假设存在，由（1）知，则，不妨设，代入，消元得，构造函数（）可知上述方程无实解，故不存在实数a，使成立
(1)
由题设，知函数的定义域为，
且，                 
因为函数有两个极值点，
所以在上有两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实数根，                       
则有，                           
解得，即所求实数的取值范围是．
(2)
由题意，得，
又由（1）知，
所以
．                      
要使成立，只需．
由（1）知，则只需，
即．（※）                  
由于，所以不妨设，
则（※）式成立，等价于成立．             
设（），
则，
所以函数在区间上单调递减，且，
所以                  
所以无实数解，即（※）式不成立，
所以不存在实数a，使成立．
17．（1）；（2），在单调递减；，在单调递增，在单调递减；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程；
（2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性；
（3）解法1：等价转化为.先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设，利用导数研究其单调性，进而得到
.由（1）可知，当时，，得，然后利用放缩证得；
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，先利用，得到，从而为证原不等式，只需证
构造函数，利用导数研究其单调性，进而得证.
【详解】
（1），则，
于是点处切线方程为：，即.
（2）若，则定义域，，在单调递减.
若，则定义域为，.
由得，由得，所以在单调递增，在单调递减.
解法1：（3）不等式等价于.
设，.
设，则，所以.
而，所以，在单调递减，所以.
由（1）可知，当时，，得.所以
.
因此当时，.
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，从而.
设，在单调递增.
因为，所以当时，，当时，.
所以.因此.
所以当时，.
【点睛】
利用，进行放缩是解决同时含有指数对数的不等式证明得常用方法，值得注意体会和掌握.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先构造函数得到，把放缩为，
构造函数求导确定单调性即可证明；
（2）先由两个零点得到，，消去参数，再构造函数及，
求导确定函数单调性即可证明.
(1)
令，则在上恒成立，
所以在，上单调递增，所以，即在上恒成立.
当时，要证，即证，
又，所以只需证，即.
令，则.
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，故.
所以.
(2)
由题意知，
两式相加得，
两式相减得，即.
所以，
即.
显然，记，
令，则.
所以在上单调递增，则，
所以，则，即.
所以，
所以，
所以，即.
令，则时，，
所以在上单调递增，又，故.
所以，
所以，则，即
【点睛】
本题的关键点在于利用，消去参数，
得到，再通过构造函数
及，求导确定函数单调性进而证明结论.
19．(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)参变分离不等式≤，构造函数，求h(x)的最小值即可得a的取值范围；
(2)整理化简可得，构造函数并判断单调性，从而可利用将等式中替换掉，问题即可转化为证明，令即可进一步转化为证明即可．
(1)
由，得，，即，
令， ，则，
设，，则，
在上单调递增，，
在上，，单调递增，
，
取值范围是；
(2)
不妨设，
，(*)，
，
令，故，故函数在上单调递增．
，从而，
由(*)得，
，
下面证明：，
令，则.即证明：，则只要证明，
设，在恒成立，
在单调递减，故，
，
．
【点睛】
本题第二问关键是构造函数，将转化为，构造，将问题转化为即可．
20．(1)极小值为，没有极大值．
(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域和，利用导数研究函数的单调性，然后确定极值；
（2）（ⅰ）将不等式等价变形，进行比值换元，构造函数，利用导数证明；（ⅱ）由，是方程的两个不等实根，得到同构方程，两方程相减转化，利用（ⅰ）的结论和重要不等式进行推理证明．
(1)
由题意可知函数的定义域为．
由，
所以．
令，解得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有极小值为，函数没有极大值．
(2)
（ⅰ）由题意，，
因为．
设，则,，
构造函数，则．
当时，，所以函数在上单调递减，
故，所以．
（ⅱ）因为当时，方程有两个不等实根，
所以
即
两式相减得，
所以．
由（ⅰ）得．
由重要不等式得，
所以，
即，所以，
所以，
所以，即．
因为，
所以，所以．
故由（Ⅰ）得
【点睛】
方法点睛：1、对于不等式的证明，需要构造函数，然后转化为的求函数的最值问题；
2、对于双变量问题，需要通过换元法，转化为单变量问题.
21．(1)时无极值点；a＞0时，极小值点是，无极大值点；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求f(x)导数，讨论f(x)的单调性即可求函数的极值点；
(2)构造函数，证明g(x)在(0，a)上单调递减，得到，即，即可转化为，再根据f(x)单调性可得结论.
(1)
f(x)的定义域是，求导得，
当，，函数f(x)没有极值点；
当时，令，得
在(0，a)上，，f(x)单调递减，在上，，f(x)单调递增，
∴函数f(x)有极小值点，无极大值点；
(2)
由(1)知方程有2个不等的实根时，f(x)在定义域上不单调，一定有，在(0，a)上f(x)单调递减，在上f(x)单调递增，不妨设，
令，
∵，
∴，
由得，∴，
∴g(x)在(0，a)上单调递减，∴，
即，
结合题设有，
∵，而f(x)在上单调递增，
∴，即.
【点睛】
本题关键点点睛：，联想到，而，则，故构造函数，证明其在(0，a)上单调递减得，即.
22．(1)递减区间为，递增区间为，极小值为，无极大值
(2)（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)求出解析式，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的极值；
(2)(i)由，构造函数()，将问题转化函数有个不同的零点，利用导数分类讨论函数当、、时的单调性，结合极值点的定义即可得出结果；
(ii)由(i)，利用换元法可得，令，整理可得，
利用放缩法和导数证明在上恒成立即可.
(1)
当时，()，则，
故当时，，当时，，
故的递减区间为，递增区间为，
极小值为，无极大值；
(2)
(i)因为()，
令()，问题可转化函数有个不同的零点，
又，令，
故函数在上递减，在上递增，
故，故，即，
当时，在时，函数，不符题意，
当时，则，，，
即当时，存在，，
使得在上递增，在上递减，在上递增，
故有两个不同的极值点的a的取值范围为；
（ii）因为，，且，
令，则，，
又，
令，即只要证明，即，
令，
则，
故在上递增，且，所以，即，
从而，
又因为二次函数的判别式，
即，即，
所以在上恒成立，故.
【点睛】
破解含双参不等式证明题的3个关键点
（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
23．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据极值点的定义可知方程有两个不等实根，即函数与图像有两个交点，利用导数研究函数的单调性求出的值域，结合图形即可得出结果；
(2)构造函数，根据导数研究它的单调性进而得，有，构造函数（），
利用导数证明，结合即可证明.
(1)
函数的定义域为，，
则方程有两个不同的正根，
即函数与图像有两个交点，
，令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，且当时，，
当时，，如图，

由图可知；
(2)
设，
则，
在单调递增，故，
即.
而，故，
又，，在单调递减，故，即；
由知；
由(1)知，，为函数的极值点，
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
时，函数单调递减，
所以，故，
令（）.
，
，令，故当时，
单调递增，且，所以，故单调递减，
由，得，
即，即.
【点睛】
破解含双参不等式证明题的3个关键点：
(1)转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
(2)巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
(3)回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
24．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用函数的单调性即可求解；
（2）通过观察发现在处的切线方程为，在处的切线方程为，利用导数即可证明和，再利用在区间和上的切线与的交点的横坐标与零点的关系即可证明.
(1)
函数的定义域为，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以
(2)
在处的切线的斜率为，其切线方程为，
首先证明：
，
,
在上单调递增，在上单调递减,
的最大值，所以成立,
在处的切线的斜率为，其切线方程为，
再证明：,
，

在上单调递增，在上单调递减,
的最大值，所以成立,
不妨设，实数，为方程的两个不等的实根,
设直线与在处的切线的交点的横坐标为，
则可得,
由可得，
设直线与在处的切线的交点的横坐标为，
则可得,
由可得，
所以.
（注：不等式，可以直接使用）
25．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）令，利用导数证明不等式即可；
（2）先由的单调性得出，再由等价于，构造函数，由导数得出，即可证明.
(1)
令，
当时，；当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
故
(2)
，当时，；当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增
当时，，且
又有两个不相等的实数根，不妨设，所以
，即
等价于，即
令，
，则函数在上单调递增
当时，，
则存在，使得，即；
即在上单调递减，在上单调递增
当时，，，即成立，故.
【点睛】
关键点睛：解决问题二时，对于双变量，关键是由单调性得出等价于，从而将双变量变为单变量问题.
26．(1)
(2)①;②详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义即可求解.
（2）①先对函数求导，得到，推出，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；
②先设，求导得.
设，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点，得到，再由①得时，，推出所以，得到，得到函数在区间上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.
(1)
时，,,,，所以函数在处的切线方程，即.
(2)
①由题设知，，
，，
由，得，所以函数在区间上是增函数；
由，得，所以函数在区间上是减函数.
故在处取得最小值，且.
由于恒成立，所以，得，
所以的取值范围为；
②设，则.
设，
则，
故函数在区间上单调递增，由（1）知，，
所以，，
故存在，使得，
所以，当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增.
所以是函数的极小值点.因此，即.
由①可知，当时，，即，整理得，
所以.
因此，即.
所以函数在区间上单调递增.
由于，即，
即，
所以.
又函数在区间上单调递增，所以.
27．（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）写出函数的定义域并求导，进而讨论参数a，最后求出函数的单调性；
（2）将问题转化为不等式恒成立问题，进而求出a的范围；
（3）构造函数，进而求出函数的单调性，然后将化到同一单调区间，最后得到答案.
【详解】
（1）的定义域为，.
①当时，，∴函数在上单调递增.
②当时，在区间上，；在区间上，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，取，
则，不符合题意.
当时，令，
则.
问题转化为当恒成立时，求实数的取值范围.
∵，
∴在区间上，，单调递减；在区间上，，单调递增.
∴的最小值为，∴只需，即，
∴，∴.
即实数的取值范围为.
（3）由题意知， .
构造函数（），
则，
∴，
∴函数在区间上单调递减.       
∵，∴，∴.
又，∴.
由（1）知，当时在上单调递减，∴，即.
【点睛】
本题第（3）问是双变量问题，采用了构造函数法，比较典型，自己可以总结归纳；另外，双变量问题大多数采取转化为单变量问题，如本题的“，又，∴”，注意总结技巧.
28．（1）恒过定点，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，进而可证得结论；
（2）令，可得，构造，用导数可证得在上单调递增，则，即，故.
【详解】
（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.
（2）若有两个零点，，则，，得.
因为，令，则，
得，则，
所以.
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以.
所以，则在上单调递增，
所以，即，故.
【点睛】
关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：构造，用导数证得在上单调递增，进而得到.