微专题 利用椭圆的定义求方程 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

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微专题：利用椭圆的定义求方程
【考点梳理】
椭圆即点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|＜2a”这个条件.

【典例剖析】
典例1．已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（       ）
A．10 B．9 C．8 D．2
典例2．已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（     ）
A． B．
C． D．
典例3．已知，是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则的面积是（       ）
A．3 B．6 C． D．
典例4．已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
典例5．已知圆，，动点为圆上任意一点，则的垂直平分线与的交点的轨迹方程是（       ）
A． B． C． D．


【双基达标】
6．已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
7．已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为
A． B．
C． D．
10．已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
11．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（       ）
A．1 B．3 C．6 D．1或3
12．已知椭圆C的焦点为，，过的直线交于C与A，B，若，，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
13．已知椭圆对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，该椭圆的一焦点坐标为且过点，求该椭圆的长轴长为（       ）
A． B．
C． D．
14．已知的两个顶点分别为的周长为18，则点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
15．设椭圆C：的两个焦点分别为，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为（       ）
A． B． C． D．
16．已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的焦距为（     ）
A． B． C． D．
17．已知两定点，，直线 ：，在上满足的点 的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
18．已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上一点，，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
19．已知定圆， ，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为
A． B． C． D．
20．已知椭圆与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个交点，且，过椭圆的右焦点做倾斜角为的直线交椭圆于，两点，且，则可以取（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8

【高分突破】
一、 单选题
21．已知两定点，，直线：，在上满足的点的个数为（        ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
22．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
23．已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点，若周长为12，则的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
24．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（       ）
A． B．
C． D．
25．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（       ）
A． B． C． D．
26．方程，化简的结果是（       ）
A． B．
C． D．
27．设，若，则点的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
28．方程化简的结果是（       ）
A． B． C． D．
29．记的面积为，若，，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
30．已知椭圆的两个焦点分别为，，是椭圆上的动点，，的最小值为1，则的焦距为（       ）
A．10 B．8 C．6 D．4

二、多选题
31．下列说法正确的是（       ）
A．已知，且三角形的周长是6，则顶点的轨迹方程是
B．点关于直线的对称点是
C．过，两点的直线方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程是
32．设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，．过点的直线交椭圆于两点，且关于点对称，则下列结论正确的有（       ）
A．椭圆的方程为
B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在个点，使得
D．直线的方程为
33．在平面直角坐标系xOy中，已知，，，若动点P满足，则（       ）
A．存在点P，使得
B．面积的最大值为
C．对任意的点P，都有
D．椭圆上存在2个点P，使得的面积为
34．已知P是圆O:x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是（       ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
35．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中r1，r2为正常数，满足或，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（       ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
36．（多选）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为（     ）
A． B．
C． D．

三、填空题
37．设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________.
38．已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
39．已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____．
40．已知，则的最值为_________.
41．点在焦点为、的椭圆上，交轴于点，且△为正三角形，若，则椭圆的标准方程为________．

42．已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为________．

四、解答题
43．设点是椭圆上一动点，分别是椭圆的左，右焦点，射线分别交椭圆于两点，已知的周长为8，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：   为定值.
44．已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．
(1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于、两点，记、的斜率分别是、，以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
45．已知平面内B、C是两个定点，.
①的周长为18；
②直线AB、AC的斜率分别为、，且.
请从上面条件中任选一个作答，以BC中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出三角形ABC顶点A的轨迹方程.
46．已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)过点的直线与曲线交于两点.关于轴的对称点为，求面积的最大值.
47．平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.关于原点的对称点为，圆的半径等于，以为圆心的动圆过且与圆相切.
（1）求动点的轨迹曲线的标准方程；
（2）四边形内接于曲线，点分别在轴正半轴和轴正半轴上，设直线的斜率分别是，且.
（i）记直线的交点为，证明：点在定直线上；
（ii）证明：.
48．已知圆和点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；
（2）点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交于两点， 直线的斜率分别是，试探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

参考答案
1．C
【分析】利用向量的加法运算求出，根据向量数量积基底模式求出，
再用两点间的距离公式及点在椭圆上即可求解.
【详解】由椭圆定义可得点在椭圆上，因为点A，B关于点对称，所以，而，因为，
所以当时取得最大值3，所以的最大值为.
故选:C．
2．A
【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为的周长等于10，，
所以，
因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上，
因此有，
所以顶点的轨迹方程可以是，
故选：A
3．A
【分析】由，利用勾股定理结合椭圆的定义求解.
【详解】因为，
所以，
则，
所以，
所以，
故选：A
4．A
【分析】根据垂直平分线的性质得，再由椭圆的定义可得出点的轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的方程可求得动点的轨迹方程.
【详解】由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．
∵线段的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
∴，，，
∴其轨迹方程为．
故选：A
5．C
【解析】的垂直平分线与的交点，所以，则
，
进而可以利用椭圆的第一定义和焦距进行求解
【详解】的垂直平分线与的交点，所以，则
，
故的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，，，
，点的轨迹方程是
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的第一定义的运用，属于基础题
6．B
【分析】因为，所以三点共线，且，根据椭圆的定义求得，
设，根据，求得，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解.
【详解】因为，所以三点共线，且，
因为分别为和的中点，
所以，所以，
设，，，
由，可得，
求得，，所以，
因为点在椭圆上，所以，求得，，
所以椭圆的方程为.
故选：B.

7．B
【分析】根据两点间距离公式和椭圆的定义可知曲线为椭圆，从而得出椭圆方程；设与直线平行且与曲线相切的直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，利用判别式为零，求解交点坐标即可.
【详解】 设,则,
点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 曲线的方程是：
设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.由得，，，，
当时，，；当时，，；又中靠近的点应该在椭圆的下方，曲线上到直线的距离最近的点的坐标是.
故选：
8．D
【分析】当在圆内时，由几何性质可得，此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.
【详解】当在圆内时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1 .

连接, 则, 所以
则
此时的轨迹是以为焦点的椭圆.
当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.
当在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2 .

连接, 则, 所以
则
此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.
同理当在圆上运动时，还会得到
所以动点的轨迹是双曲线，则在圆外,所以
故选： D
9．D
【分析】根据题意，的周长为16，即，结合椭圆的定义，有，即可得的值；又由椭圆的离心率，可得的值，进而可得的值；由椭圆的焦点在轴上，可得椭圆的方程．
【详解】解答：解：根据题意，的周长为16，即,
根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率为，即，则，故，则，则椭圆的方程为，故选D．
【点睛】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．
10．B
【分析】根据关系式，可知点满足椭圆方程，即可根据定义，求解椭圆方程.
【详解】由题设可知椭圆的焦点在轴上，其坐标分别为，，，故，，，所以椭圆的标准方程为．
故选：B
11．B
【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.
【详解】若，则由得（舍去）；
若，则由得．
故选：B.
12．B
【分析】根据给定条件利用椭圆定义及余弦定理列出方程求出即可得解.
【详解】依题意，设椭圆方程为，
由椭圆定义知，，因，，则，解得，
于是得，，，显然点A在y轴上，如图，

在中，，，在中，，
由余弦定理得，即，解得，，
所以椭圆C的方程为.
故选：B
13．C
【分析】由椭圆的一焦点坐标为，则另一焦点为，由又椭圆过点,根据椭圆的定义可得答案.
【详解】由椭圆的一焦点坐标为，可得所求椭圆焦点在轴上，
设所求椭圆方程为：，
则椭圆的另一焦点为，又椭圆过点
由椭圆的定义可得：
故选：C
14．A
【分析】根据，利用椭圆的定义得到点的轨迹是以为焦点的椭圆求解.
【详解】由题意得，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设其标准方程为，则，从而．
又三点不共线，
∴点不在轴上，
点的轨迹方程为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义求方程，属于基础题.
15．D
【解析】根据，得到 ，由椭圆的定义得到，结合，求得，然后在中，由余弦定理求得a即可.
【详解】因为，所以 ，
P是C上一点，由椭圆的定义得：，
又，
所以，
又，则，
所以在中，由余弦定理得：，
即，
整理得：，
解得，则，
所以椭圆C的方程为
故选：D
16．D
【解析】不妨设为椭圆的右焦点，为椭圆的左焦点，连接，利用椭圆的定义，以及的最小值，列方程组可得椭圆的焦距．
【详解】不妨设为椭圆的右焦点，为椭圆的左焦点，连接

因为为等边三角形，所以，所以是直角三角形，所以．因为，所以．因为的最小值为，所以，所以，椭圆的焦距为
故选：D
17．B
【解析】求出点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的点的个数．
【详解】∵，，∴在以为焦点，为长轴长的椭圆上，
由于，，又，因此，
椭圆方程为，
由，解得， ∴点只有一个．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查求平面满足题意的的个数，方法是求出满足动点的一个条件的轨迹方程，由方程组的解的个数确定曲线交点个数，从而得出结论，这也是解析几何的基本思想．
18．D
【详解】因为，所以．因为，所以，，
故椭圆C的标准方程为．
故选：D.
19．A
【分析】将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.
【详解】定圆， ，动圆满足与外切且与内切
设动圆半径为，则
表示椭圆，轨迹方程为：

故答案选A
【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.
20．D
【分析】先求出椭圆的标准方程为再求出点的坐标即得解.
【详解】由题得椭圆的焦点为不妨设在第一象限，
设椭圆方程为，
因为，
所以①
，②
又，③
解①②③得，所以椭圆的方程为
由题得直线方程为即：
联立直线和椭圆方程得或，
所以,或
当时，
所以,
所以
所以.
当时，.
所以可以取8.
故选：D
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，看到焦半径，一般要马上联想到该圆锥曲线的定义，再利用该定义解题求解.
21．B
【分析】求出点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的点的个数．
【详解】详解：
∵，，∴在以为焦点，为长轴长的椭圆上，
由于，，又，因此，
椭圆方程为，
由，解得,∴点只有一个．
故选：B．
22．B
【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.
【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B.
故选：B
23．C
【解析】根据椭圆的定义，可得，求得，再由离心率为，求得，进而得到，即可求得椭圆的方程，得到答案.
【详解】的周长为12，
，，
又，，，
的标准方程为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
24．C
【分析】根据题意得出的轨迹为椭圆，且方程为.设出点的坐标，利用向量数量积的定义求出，结合椭圆中的取值范围即可求出的最大值.
【详解】易知的轨迹为椭圆，其方程为，设，则，

因为，所以，即，
.
故选：.
25．B
【分析】由椭圆的定义结合勾股定理求出，即可求解
【详解】由，
得，
又因为，
所以，
由，
得，
所以，
又.
因为椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的方程是.
故选：B.
26．B
【分析】由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.
【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,
表示点与点的距离.
所以原等式化简为
因为
所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆:
根据椭圆中:,得:
所以椭圆的方程为: .
故选:B.
【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.
27．B
【解析】由椭圆的定义可得出点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，由此可得出椭圆的标准方程.
【详解】由题意可知，点到点的距离与到点的距离之和为定值，并且，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，所以，因为，所以，
所以点的轨迹方程为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的.
28．D
【分析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解.
【详解】∵方程，
表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，
∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；
∴；
∴椭圆的方程是，即为化简的结果．
故选：D．
29．C
【分析】以的中点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系，结合椭圆的定义和三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：以的中点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系，
由椭圆的定义易知，点的轨迹是分别以，为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且，，
则，故该椭圆的标准方程为，
当点为椭圆的上下顶点时，即时，取最大值，
则三角形面积，当且仅当时取等号．
故选：C．

30．B
【解析】由椭圆定义及性质，布列方程组，即可得到结果.
【详解】由已知得，解得，
∴焦距为8.
故选：B
【点睛】本题考查椭圆的定义及基本性质，考查计算能力，属于基础题.
31．AB
【解析】根据椭圆的定义，可判断A的正误；根据点关于线的对称点的求法，可求得对称点坐标，即可判断B的正误；根据直线的两点式方程，即可判断C的正误；根据直线的截距式方程，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为，所以，所以C点到两定点A、B的距离之和为定值4>2，满足椭圆的定义，
所以，解得，，
所以顶点的轨迹方程是，故A正确；
对于B：设点关于直线的对称点是，
则，解得，故对称点为，故B正确；
对于C：当时，过，两点的直线方程为，故C错误；
对于D：若直线在轴和轴上截距都为0时，设直线，又直线过点，代入解得k=1，所以直线方程为；
当直线在轴和轴上截距都相等且都不为0时，设截距为a，则直线方程为，又直线过点，代入解得a=2，所以方程为，整理可得，故D错误.
故选：AB
32．ACD
【分析】由椭圆定义、勾股定理和椭圆关系可求得椭圆方程，知A正确；
由的值可确定焦距，知B错误；
由知在以线段为直径的圆上，由知C正确；
利用点差法可求得直线方程，知D正确.
【详解】对于A，由椭圆的定义知：，解得：．
，，解得：，
，椭圆的方程为，A正确；
对于B，由知：焦距为，B错误；
对于C，由知，在以线段为直径的圆上，
由知：以线段为直径的圆与椭圆有个交点，
即椭圆上存在个点，使得，C正确；
对于D，由题意知点为弦的中点，
设，，则，，
两式相减得：．
，，则，，
直线的方程为：，即，D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：本题D选项考查了与弦中点有关的直线方程的求解问题，点差法是解决此类问题的常用方法，若弦中点坐标为，则以为中点的弦所在直线的斜率与中点坐标有关，具体结论为：
（1）椭圆中，；
（2）双曲线中，；
（3）抛物线中，.
33．AD
【分析】根据题意求得P的轨迹是椭圆，从而判断椭圆上是否存在点，使得，判断A；
当点P为椭圆上、下顶点时，面积的取最大值，进而判断B；
由椭圆定义知，验证C选项；
求得使得的面积为的P点坐标满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数，判断D.
【详解】由题知，点P的轨迹是，，焦点在x轴上的椭圆，
则，椭圆方程为，
A：当点P为椭圆右顶点时，，故A正确；
B：当点P为椭圆上、下顶点时，面积的取最大值，
且最大值为，故B错误；
C：，
因，故C错误；
D：设使得的面积为的P点坐标为，
由坐标知，，直线的方程为，
则，解得或，
联立，化简得，
则，因此存在两个交点；
同理可得直线与椭圆没有交点；
综上，有且仅有2个点，使得的面积为，故D正确；
故选：AD
34．BC
【分析】分点A在圆内、圆外、圆上、圆心，作图，结合椭圆、双曲线定义以及圆的性质可知.
【详解】当点A在圆内时，如图1，因为点Q在PA的垂直平分线上，所以，所以，又，所以由椭圆定义知，此时轨迹为椭圆；
当点A在圆外时，如图2，，且，由双曲线定义可知，此时轨迹为双曲线；当点A在圆上时，易知点Q为定点，即圆心O；当点A在于点O重合时，易知Q为AP的中点，轨迹为圆.
故选：BC

35．BCD
【分析】两圆圆心距C1C2＝4，当r1+r2＜4，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切；当r1+r2＞4，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，分别讨论，得出结论．
【详解】解：根据题意圆，半径r1，圆，半径r2，所以，设圆P的半径为r，
（1）当，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，
①均内切时，，此时，
当时，此时P点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，
当时，此时点P在C1，C2的垂直平分线上．
②均外切时|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此时．
此时P点的轨迹是与①相同．
③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，
|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r2，
与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得，
此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．
（2）当，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，
④均内切时轨迹和①相同．
⑤均外切时轨迹和①相同
⑥与一个内切另一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，
|PC1|＝r1﹣r，|PC2|＝r+r2，|PC1|+|PC2|＝r1+r2
此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．
与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得，
此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．
故选：BCD．
【点睛】本题考查动点的轨迹问题，圆与圆的位置关系以及椭圆与双曲线的定义的应用，解答本题的关键是根据动圆圆心与已知圆的圆心距离，的和与差与，间的关系，结合椭圆与双曲线的定义进行分析
36．AC
【分析】求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，由此可得出椭圆的标准方程.
【详解】由椭圆的定义可得，可得，椭圆的离心率为，则，
所以，.
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为.
故选：AC.
37．
【分析】由题意可知为直角三角形，由椭圆的定义结合已知条件即可求解
【详解】∵PF1⊥PF2，
∴为直角三角形，
又知的面积为9，
∴|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，
∴a2－c2＝9，即b2＝9，
又知b>0，
∴b＝3，
∵的周长为18，
∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，
∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，
∴所求的椭圆方程为.
故答案为：
38．
【分析】利用椭圆的定义可得轨迹方程.
【详解】连接，由题意，，则，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为：.
故答案为：.

39．x24+y23=1##y23+x24=1
【分析】根据椭圆的定义判断出点M的轨迹C为椭圆，直接求出其标准方程.
【详解】设圆M的半径为r.
∵圆M与圆F1相内切，∴MF1＝4－r.
∵圆M过点F2，∴MF2＝r，∴MF1＝4－MF2，即MF1＋MF2＝4>F1F2，
∴点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，设椭圆的方程为 (a>b>0)，
则有2a＝4，c＝1，∴a＝2，b＝，
∴轨迹C的方程为
故答案为：.
40．最大值为，最小值为.
【分析】由，可知点的轨迹表示以定点，的距离之和为定长20的椭圆，进而结合点到直线的距离得到答案.
【详解】满足题设的点的轨迹是定点，的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在、长半轴a满足，即.线段长为，即，所以椭圆的短半轴长.又椭圆长轴所在直线方程为.如图可知，使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过.

即，解得.
椭圆上任意一点均满足.
由，得的最大值为，最小值为.
故答案为：最大值为，最小值为.
41．
【分析】利用图中的几何关系以及椭圆的定义即可求解.
【详解】由已知得，点在焦点为、的椭圆上，交轴于点，且△为正三角形，则,
即为△的中位线，,
又∵在等腰△中，,
∴,∴,
由椭圆的定义可知，即，
又∵，∴，
∴，则椭圆方程：．
故答案为：．
42．##
【分析】利用椭圆的定义求椭圆的离心率.
【详解】解析: 如图，，即
∵点在椭圆上，且
∴，即，
∴##
故答案为：##.

43．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆定义和点在椭圆上建立方程，解出方程即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理表示出点和点的坐标关系，同理也可以表示出点和点的坐标关系，然后将化简为三点的坐标表示，最后化简即可
(1)
根据椭圆的定义可得：
解得：
将代入方程，得
解得：
椭圆C的方程为：
(2)
由题知，，设，则直线的方程为

由得




同理可得





   为定值.
【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
44．(1)；
(2)是定值，.

【分析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程；
(2)设出直线的方程，结合韦达定理，分别求得为定值，也为定值，从而可得是定值．
(1)

由题意知，
，
根据椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，
则，，
曲线的方程为；
(2)
由题意知直线的方程为且m≠0)，
设直线与椭圆的交点为，，，，
由得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是定值，为．
45．或
【分析】（1）结合椭圆的定义来求轨迹方程；
（2）利用建立关于点的坐标 的方程求出A轨迹方程.
【详解】（1）根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值,且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，
， 以及 ，则有
那么 ，且A,B,C三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为
（2）设点，B坐标为 ，C坐标为，则有，，且，那么 ，
化简可得 ， ，
且A,B,C三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为.
46．(1)；
(2).

【分析】(1)由题得，的轨迹是以为焦点的椭圆，再借助椭圆的定义直接求出方程即可.
(2)根据条件设出直线PQ的方程，联立直线和椭圆方程消元，结合韦达定理及基本不等式求解即可计算作答.
(1)
依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
设圆的半径为，则有，，因此，，
于是得点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，此时，焦距，短半轴长b有：，
所以动圆圆心的轨迹的方程为：.
(2)
显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，
由消去得：，则，，
点关于轴的对称点，，，如图，

显然与在3的两侧，即与同号，
于是得
，
当且仅当，即时取“=”，因此，当时，，
所以面积的最大值.
47．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）由抛物线定义表示出，即可求出点的坐标，由此求出的值，进而求出抛物线的方程，然后求出点，的坐标，利用椭圆的定义即可求出动点的轨迹方程；（2）（i）设出点的坐标，然后分别设出直线，的方程，求出，的关系式，利用已知建立等式关系，再由为四边形，即可证明；（ii）求出，的坐标，即可求出直线的斜率，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率公式表示出，并令该关系式等于，化简求出直线的斜率，由此即可证明．
【详解】解：（1）由题知：，所以，
所以，解得，
所以抛物线的标准方程为，，
设动圆的半径为，由题意知，，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其长轴长焦距为，，
所以曲线的标准方程为：.
（2）（i）设点，因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，整理得，
因为为四边形，所以，
所以点在定直线上；
（ii）由题知，直线，
设，直线，
将代入得，
所以，
所以
，
所以，
所以，
所以，解得，
所以.
48．（1）；（2）是定值为.
【解析】（1）由圆的方程可得圆心和半径，由线段垂直平分线的性质可得，
由椭圆的定义即可求解；
（2）设，设直线：与椭圆方程联立得由根与系数的关系可得、，计算即可求解.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，
点在圆内，，
所以曲线是为焦点，长轴长为的椭圆，
由，得，所以曲线的方程为.
（2）①设，由已知直线的斜率存在，
设直线：，联立方程组得，
，

（定值）
所以是定值.
【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.