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微专题 排列的基本问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练
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这是一份微专题 排列的基本问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共26页。
微专题：排列的基本问题
【考点梳理】
1. 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
2. 排列数
定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.
全排列的概念
n个不同的元素全部取出的一个排列.
阶乘的概念
正整数1到n的连乘积，用n！表示. A＝n！，0！＝1.
排列数公式
(n，m∈N*，m≤n).
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).
阶乘式A＝.
3. A＝(n－m＋1)A＝nA；(n＋1)！－n！＝n·n！.
4. 有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.
【题型归纳】
题型一：全排列问题
1．某医院住院部现有5个空床位，有3名儿童，4名老人需要住院治疗，如果安排2名儿童，3名老人入住，则不同的安排方式有（ ）
A．1260种 B．1440种 C．2400种 D．2520种
2．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则不同的排列顺序有（ ）种
A．6 B．4 C．3 D．2
3．有名同学合影留念站两排，前排人和后排人，不同排法的种数为（ ）
A． B． C． D．
题型二：相邻问题的排列问题
4．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（ ）
A．72种 B．60种 C．48种 D．36种
5．现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（ ）
A．72种 B．144种 C．288种 D．576种
6．某中学篮球队的5个首发队员站成一排照相，高二、高三均有2个，高一有1个，则高二和高三两个年级中仅有一个年级的队员相邻的站法种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
题型三：不相邻排列问题
7．把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为（ ）
A． B．1 C． D．
8．小红，小明，小芳，张三，李四共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．中国古乐中以“宫､商､角､徵､羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫”､“羽”两音阶不相邻的音序共有（ ）
A．72种 B．36种 C．48种 D．24种
题型四：元素（位置）有限制的排列问题
10．4人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（ ）
A．14种 B．16种 C．10种 D．13种
11．5名学生，1名教师站成前后两排照相，要求前排3人，后排3人，其中教师必须站在前排，那么不同的排法共有（ ）
A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种
12．8个人坐成一排，现要调换其中3个人的每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（ ）
A． B． C． D．
题型五：定序问题
13．5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排放在b的左边，则一共有多少种排放方法（ ）
A．42 B．60 C．30 D．36
14．某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）.
A．42 B．56 C．30 D．72
15．习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
【双基达标】
16．汽车牌照由4个数字（可以重复）和2个字母（也不一定要不相同）构成，这6个字符可以任何顺序呈现，但两个字母必须相邻，则可以形成的不同的牌照有（ ）种.
A． B． C． D．
17．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
18．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
19．有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（ ）
A．120种 B．216种 C．384种 D．504种
20．2个男生和1个女生随机排成一排，则2个男生相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
21．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种
22．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
23．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
24．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高二年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A．120种 B．156 种 C．192种 D．240种
25．五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫､商､角､徵､羽，如果将这五个音排成一排，宫､羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（ ）
A．20种 B．24种 C．32种 D．48种
26．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是
A． B． C． D．
27．给出下列说法：
①“”是“”的充分不必要条件；
②命题“，”的否定形式是“，”.
③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为种.其中正确说法的个数为
A． B． C． D．
28．某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）
A．72种 B．48种
C．36种 D．24种
29．年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样.某小区的个家庭买了张连号的门票，其中甲家庭需要张连号的门票，乙家庭需要张连号的门票，剩余的张随机分到剩余的个家庭即可，则这张门票不同的分配方法的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有（ ）
A．400种 B．396种 C．380种 D．324种
【高分突破】
一、 单选题
31．2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲､乙､丙､丁､戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，丙､丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
32．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．120种
33．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A．288种 B．144种 C．72种 D．36种
34．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．16种 B．18种 C．24种 D．36种
35．某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天24：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
36．高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
37．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的六位数的个数为（ ）
A．478 B．479 C．480 D．481
38．大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表，语文､数学､外语､物理､化学各一节，现要求数学和物理不相邻，且都不排在第一节，则课表排法的种数为（ ）
A．24 B．36 C．72 D．144
39．永定土楼.位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列人世界遗产名录.它历史悠久､风格独特，规模宏大､结构精巧.土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形､五角形相邻，则共有（ ）种不同的排法.
A． B． C． D．
40．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有（ ）
A．18种 B．12种 C．9种 D．6种
41．某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（ ）
A．126 B．360 C．600 D．630
42．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种
43．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
二、多选题
44．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ）
A．共有60种不同的坐法
B．空位不相邻的坐法有72种
C．空位相邻的坐法有24种
D．两端不是空位的坐法有18种
45．随着高三毕业日期的逐渐临近，有()个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（ ）
A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为
B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为
C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为
D．记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则
46．2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有种.
A． B． C． D．
47．5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（ ）
A． B．60
C．72 D．
48．（多选）计划在某画廊展出幅不同的画，其中幅水彩画、幅油画、幅国画，排成一行陈列，要求同一品种挂在一起，水彩画不在两端，那么下列不同的排列方式种数中错误的有（ ）.
A．种 B．种
C．种 D．种
49．（多选）将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ）
A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种
B．诗集相邻的不同放法有种
C．四大名著互不相邻的不同放法有种
D．四大名著不放在两端的不同放法有种
三、填空题
50．将3个不同颜色的小球放入排成一排的6个相同的盒子，每个盒子最多可以放一个小球，则3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有_________种.（用数字作答）
51．将，，，，五个字母排成一排，若与相邻，且与不相邻，则不同的排法共有__种.
52．有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答）
53．有4名男生和2名女生共6人组成两个志愿者队伍去两个不同的场馆，要求每队既有男生又有女生，则不同的分配方法有_______________种．（用数字表示）
54．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有_______．
55．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有______种填法．
四、解答题
56．写出下列问题的所有排列：
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
（2）两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？
57．一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
58．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
59．有5名同学站成一排拍照．
（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？
（3）求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
60．用0，1，2，3，4，5，6这七个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比31560大的五位数？
61．有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）．
（1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？
（2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？
参考答案：
1．B
【解题思路】先从3名儿童选2名儿童，从4名老人选3名老人，再将5人安排到5个床位，即可得出答案.
【解题过程】解：先从3名儿童选2名儿童，从4名老人选3名老人，有种选法，
再将5人安排到5个床位，有种排法，
再根据分布乘法原理可得不同的安排方式有种排法.
故选：B.
2．A
【解题思路】运用排列的定义进行求解即可.
【解题过程】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，
则不同的排列顺序有，
故选：A
3．B
【解题思路】分成两步，先排前排的2人，再排后排的3人，利用分步乘法原题可求解.
【解题过程】先从人中选人站在前排，有种排法，再将剩下人全排列，有种排法，共有种排法．
故选：B
4．C
【解题思路】利用捆绑法，将甲乙捆绑在一起.再由分步计数原理即可计算出结果.
【解题过程】甲、乙相邻共有种.
将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有种.
则共有种.
故选：C.
5．B
【解题思路】先安排甲同学在第二位、第三位、第四位、第五位，再安排两位老师，最后安排其他同学，利用分类加法原理、分步计数原理可得答案.
【解题过程】若甲同学在第二位，两位老师可以在第三第四位，或者两位老师在第四第五位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种；
若甲同学在第三位，或者两位老师可以在第一第二位，或者两位老师可以在第四第五位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种；
若甲同学在第四位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种；
若甲同学在第五位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第三第四位，其他同学没有限制要求，有种；
所以共有种.
故选：B.
6．C
【解题思路】根据题意相邻可以考虑“捆绑”法，不相邻考虑“插空法”即可求解.
【解题过程】分两类，第一类高二年级队员相邻高三年级队员不相邻，
把高二两个队员“捆绑”看作一个元素与高一一个队员排列有种不同排法，把高三年级两个队员排入3个空位中的2个（插空法）有种不同方法，
故第一类有种站法，
第二类高三年级队员相邻高二年级队员不相邻，与第一类方法相同，也有种站法，
由分类加法计数原理知，共有种站法，
故选：C.
7．C
【解题思路】由排列数公式计算4本书排成一行、语文书和英语书不相邻的排法，由古典概型公式计算可得答案.
【解题过程】根据题意，语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，有种不同的排法，
若语文书和英语书不相邻，其排法有种，
则语文书和英语书不相邻的概率.
故选：C.
8．C
【解题思路】利用捆绑法和插空法进行求解即可.
【解题过程】解：由题意得：
5名同学参加演讲比赛出场顺序总的方法：种；
将小红小明捆在一起，然后张三李四两个排列，再后小芳与小红小明组插空，总的方法数有：种
在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为
故选：C
9．A
【解题思路】先排商､角､徵进行全排列，再利用插空法，即可求解.
【解题过程】根据题意，先排商､角､徵有种排法，再将这三个音阶有四个空位可排宫､羽两音阶，有种排法，
所以其中宫､羽两音阶不相邻的音序共有（种）排法.
故选：A.
10．A
【解题思路】分两类：甲在排尾，另一种甲不在排头也不在排尾，然后利用分类加法原理求解即可.
【解题过程】根据题意分两类：
第一类：甲在排尾，其它3人全排列，有，
第二类：甲不在排头也不在排尾，则甲排在中间两个位置中的一个，然后从剩余的除乙外的2人中选一人排在排尾，最后剩下的2人排在剩余的2个位置，则有种，
所以由分类加法原理可得共有种，
故选：A.
11．B
【解题思路】先排教师的位置，再排5名学生，从而可得不同的排法.
【解题过程】教师在前排，由3种排法，
5名学生，前排2位，后排3位，共有，
故不同的排法总数为，
故选：B.
12．C
【解题思路】先从8人中任取3人，再对3人位置全调，然后利用分步计数原理求解.
【解题过程】从8人中任取3人有种，
3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，所以有种，
所以不同调换方式有种.
故选：C.
13．B
【解题思路】先求得5个编号任意排列的排法，分析可得a在b的左边和a在b的右边是等可能的，计算即可得答案.
【解题过程】由题意得5个编号任意排列，有种排法，
其中a在b的左边和a在b的右边是等可能的，其排法数目时一样的，
所以a排放在b的左边一共有种排法
故选：B
14．B
【解题思路】利用倍缩法，先将8个节目排好，由于原来6个节目顺序不变，则要除以原有的6个节目对应的不同排法，即可得解.
【解题过程】解：增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有种，
而原有的6个节目对应的不同排法共有种，
所以不同的排法有（种）.
故选：B.
15．A
【解题思路】优先排B元素，然后根据A、C、D顺序确定用除法可得.
【解题过程】先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共，由于A、C、D顺序确定，所以不同的排法共有.
故选：A
16．B
【解题思路】利用分步乘法计数原理以及插空法即可求解.
【解题过程】首先排4个数字共有种，
再将2个字母看成一个整体插在个空内，共有种，
所以形成的不同的牌照有.
故选：B
17．B
【解题思路】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【解题过程】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
18．C
【解题思路】先从4个视频中选2个，再全选2篇文章，然后将2篇文章捆绑与三个学习内容全排列，最后利用分步计数原理求解.
【解题过程】根据题意，从4个视频中选2个有种方法，
2篇文章全选有种方法，
2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有种方法，
最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有种方法，
故满足题意的学法有（种）．
故选：C
19．D
【解题思路】甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.
【解题过程】因为甲的成绩是中间一名，
所以只需安排其余6人位次，
因为乙不排第一名，丙不排最后一名，
所以由间接法可得,
故选：D
20．C
【解题思路】利用捆绑法求出两名男生相邻的情况种数，再根据古典概型求得结果.
【解题过程】两名男生相邻的情况共有：种
则两名男生相邻的概率.
故选：C.
21．C
【解题思路】由题目信息可以得到要将6个人排到6个不同的位置，列出排列式，然后直接计算，即可求得答案.
【解题过程】 6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人
不同的排法共有：种
故选：C.
【点睛】本题考查了排列应用的题目，关键是掌握排列的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
22．C
【解题思路】根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解.
【解题过程】解：记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，
则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；
所以，
故选：C.
23．C
【解题思路】利用古典概型的概率公式可求概率.
【解题过程】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
24．C
【解题思路】将丙班、丁班捆绑与乙、戊、己全排列，再在除去开头以及丙班、丁班之间还有个空中任取一个排甲，由分布乘法计数原理即可求解.
【解题过程】将丙班、丁班捆绑与乙、戊、己全排列，有种，
除去开头以及丙班、丁班之间还有个空选一个排甲有种情况，
所以不同安排方案共有种，
故选：C.
25．C
【解题思路】根据角音所在的位置分两类，根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.
【解题过程】根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一､二､三､四､五分两类：
第一类，角音排在位置一或五，则不同的排列顺序有（种）；
第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有（种）；
根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有（种）.
故选：C.
26．B
【解题思路】先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可.
【解题过程】解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为，
故选B.
【点睛】本题考查了古典概型，属基础题.
27．C
【解题思路】根据充要关系、存在性问题否定形式以及排列组合分别判断，最后得结果.
【解题过程】①时，反之不然，所以“”是“”的充分不必要条件；
②命题“，”的否定形式是“，”, ②错；
③四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，分法有种，其中甲、乙两名学生分到同一个班，有种，因此甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为种.
综上正确说法的个数为2，选C.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
28．C
【解析】本题可根据题意分2步分析：第一步将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，第二步将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），由分步计数原理计算可得答案．
【解题过程】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，
共有种排法，
再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，
共有种排法，
则后六场开场诗词的排法有种，
故选：C.
【点睛】方法点睛：排列组合常见解法有：直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题倍缩法、至少问题间接法、复杂问题分类法、列举法、隔板法.
29．C
【解析】根据甲、乙个家庭的张票是否连号分类计算.
【解题过程】若甲、乙个家庭的张票连号，则有种不同的分配方法，
若甲、乙个家庭的张票不连号，则有种不同的分配方法，
综上，这张门票共有种不同的分配方法，
故选：C.
【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
30．B
【解题思路】分两步进行，圆环的3个区域和中间的6个区域，其中中间的6个区域种植鲜花可分为3类.
【解题过程】圆环的3个区域种植绿色植物共有种.如图.中间的6个区域种植鲜花可分为3类：
第一类，均种相同植物，有种；
第二类，种2种不同植物，有种；
第三类，种的植物各不相同，有种.
故由乘法原理和加法原理得到不同的栽种方案共有种.
故选：B
31．B
【解题思路】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，可把甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案.
【解题过程】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：种；
又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，
所以不同的分配方法种数有：.
故选：B.
32．B
【解题思路】甲、乙相邻，利用捆绑法看作一个元素，求出总排法，再求出甲、乙相邻且在两端的排法，用总排法减去甲、乙相邻且在两端的排法即得答案.
【解题过程】甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法，
甲乙相邻且在两端有种排法，
故甲乙相邻且都不站在两端的排法有(种)．
故选：B．
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
33．B
【解题思路】利用捆绑法和插空法可求得结果.
【解题过程】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法；第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法.
根据分步计数原理，共有种不同排法.
故选：B
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
34．B
【解题思路】确定完成事件的方法：甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，由计数原理可得．
【解题过程】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，
故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有＝18种.
故选：B.
35．C
【解题思路】把问题转化为亮的2盏插空到不亮的3盏之间，计算出2盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.
【解题过程】5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到不亮的3盏之间，
那么亮的2盏不相邻的情况共有种，相邻的情况共有4种，
因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为 ，
故选：C.
36．B
【解题思路】利用分类分步计数，结合捆绑法、排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再由全排列求六位同学任意安排的方法数，应用古典概率的求法求概率即可.
【解题过程】1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有种；
2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的4个空中，分两种情况：
当插入前2个空有种，再把甲插入五名同学所成排的5个空中后3个空有种；
当插入后2个空有种，再把甲插入有种；
所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有种，
而六位同学任意安排的方法数为种，
所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为.
故选：B
37．B
【解题思路】可从反面入手，考虑比201345小，即首位是1的情况
【解题过程】用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数的个数为．
以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为，
由于201345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个，
所以没有重复数字且大于201345的六位数的个数为．
故选：B
38．B
【解题思路】分数学排在第一节、物理排在第一节、数学和物理都不排在第一节但相邻三类，分别求得排法数求和，由5节课任意排的排法减去三类情况的排法数即可.
【解题过程】1、将数学排在第一节的排法有种；
2、将物理排在第一节的排法有种；
3、数学和物理都不排在第一节，但相邻的排法有种；
而5节课任意排的排法有种，
∴数学和物理不相邻且都不排在第一节的排法有种.
故选：B.
39．A
【解题思路】分圆形排在第一个圆形和排在最后一个两类，根据方形､五角形相邻，利用捆绑法求解.
【解题过程】当圆形排在第一个，因为方形､五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形､五角形内部排列 ，
有种不同的排法.,
同理当圆形排在最后一个有种不同的排法.
综上：圆形要排在第一个或最后一个，方形､五角形相邻，则共有480种不同的排法.
故选：A
40．B
【解题思路】先确定1号盒子的选择情况，再确定剩下盒子的选择情况，进而根据分布计数原理求得答案.
【解题过程】由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球2种方法，则剩下3个盒子各放一个球有种方法，一共有种方法.
故选：B.
41．D
【解题思路】按两个班共选择活动项数进行分类，至少选两项，至多选四项，故分三类求解即可.本题等同染色问题，即四区域六色涂，相邻不能涂同色问题.
【解题过程】按两个班共选择活动项数分三类：
第一类：两个班共选择2项活动，有种方法；
第二类：两个班共选择3项活动，有种方法；
第三类：两个班共选择4项活动，有种方法.
则活动安排方案的种数为.
故选：D.
【点睛】直接分类法是求解有限制条件排列问题的常用方法：先选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数.而对于分类过多的问题，正难则反，一般采用间接法处理.
42．D
【解题思路】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.
【解题过程】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.
故选：D
43．C
【解题思路】利用古典概型的概率公式可求概率.
【解题过程】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
44．ACD
【解题思路】按照题目给定的条件排列即可.
【解题过程】对于A， ，故A正确；
对于B，相当于先排好这3个人有 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，
故有 种插法， ，故B错误；
对于C，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中， ，
故C正确；
对于D，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，
第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有 种，
故D正确；
故选：ACD.
45．ACD
【解题思路】考虑个同学时的情况，若个同学都拿到其他同学的卡片，则第个同学可以与其中任何一个交换卡片，若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片，由此能推导出结论．
【解题过程】解：考虑个同学时的情况，
若个同学都拿到其他同学的卡片，则第个同学可以与其中任何一个交换卡片，
若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片，
，故正确；
，
，，，，
代入数据可得，
当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为，故正确；
当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为，故错误；
甲和乙恰好互换了卡片的概率为，故正确．
故选：ACD．
【点睛】结论点睛：记表示个元素错位排列的方法数，则．
46．BC
【解析】由题意，先排男生，再插入女生，可得选项B正确，或用减法，先进行全排列再减去女生相邻的情况，可得选项C正确．
【解题过程】由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确；
也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确；
故选：BC.
【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.
47．AC
【解析】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共种不同的排法，再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共种不同的排法，由此可得选项.
【解题过程】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共=3×2×1=6种不同的排法，
再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共=12种不同的排法，
所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是=6×12=72，故选：AC．
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
48．ABC
【解题思路】首先采用捆绑法可将油画和国画分别看作整体；根据水彩画不在两端知油画和国画排在水彩画两边，由此可计算得到结果.
【解题过程】将幅油画捆绑看作一个整体，有种排法；幅国画捆绑看作一个整体，有种排法；
水彩画不在两端，则油画和国画排在水彩画两边，共种排法，
不同的排列方式种数有种，则ABC错误，D正确.
故选：ABC.
49．BC
【解题思路】根据题设，依次分析各选项的条件，再列式即可判断作答.
【解题过程】对于A，戏曲书只有1本，将戏曲书放在正中间，其余6本书全排列，不同放法种数为，A错误；
对于B，诗集共2本，把2本诗集看为一个整体，则7本书的不同放法种数为， B正确；
对于C，四大名著互不相邻，先将四大名著全排列，再在每种排列的中间3个空隙中放置其他书，共有种放法，则不同放法种数为，C正确；
对于D，在第2至第6这5个位置上任选4个位置放四大名著，共有种放法，其余3本书在剩下的3个位置上全排列，则不同放法种数为，D错误．
故选：BC
50．72
【解题思路】先分类，再在不同情况下，求出放法个数，相加得到答案.
【解题过程】当两个相邻空盒恰好在两端时，放法有种；
当两个相邻空盒不在两端时，放法有种；
所以3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有36+36=72种.
故答案为：72
51．36
【解析】可利用分步乘法计数原理，先排，，再将捆绑，看作一个元素，插入三个空位之一，这时、、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一即可.
【解题过程】依题意，可分三步，先排，，有种方法，产生3个空位，将捆绑有种方法，将捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有种方法，这时、、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一，有种方法，根据分步乘法计数原理得：共有种，
故答案为：36.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
52．
【解题思路】先考虑相声、跳舞相邻的情况，再考虑考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，利用捆绑法与间接法可求得结果.
【解题过程】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，
然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有种排法.
接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，
其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序，
此时共有种排法.
综上所述，由间接法可知，共有种不同的排法.
故答案为：.
53．28
【解题思路】先把女生分配好，再分配男生，则可求不同的分配方法总数.
【解题过程】女生的分配方法有2种，男生的分配方法有，
故不同的分配方法总数为28.
故答案为：28
54．28
【解题思路】对《诗经》的位置分两种情况（位于第4节和第5节）讨论，利用间接法列式计算得解.
【解题过程】当《诗经》位于第5节时，《周易》和《礼记》相邻有3种情形，且《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，因此满足条件的情形有种；
当《诗经》位于第4节时，《周易》和《礼记》相邻有2种情形，《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，此时满足条件的情形有种．
所以满足条件的情形共有种．
故答案为：28
55．441000
【解题思路】先确定第一行两个偶数有种填法，再根据这两个偶数所在的列，还需再填一个偶数，分别设为a，b．分a，b位于同一行和a，b位于不同的两行，得到偶数的位置情况数，再利用分步计数原理求解.
【解题过程】第一行两个偶数有种填法，
每列还需再填一个偶数，分别设为a，b．
若a，b位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；
若a，b位于不同的两行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择．
所以偶数的位置的情况种数为．
因此总的填法种数为．
故答案为：441000
56．（1）12种；（2）站法见解析，8种．
【解题思路】（1）根据每一个起点和终点情况画图即可得结果；
（2）由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生，画树状图即可得结果．
【解题过程】（1）列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种；
（2）由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：
由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．
57．（1）；（2）；（3）．
【解题思路】（1）利用捆绑法可求解；
（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；
（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.
【解题过程】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
58．(1)2520
(2)2400
(3)3720
(4)288
(5)720
(6)1440
(7)144
(8)960
(9)5040
(10)840
【解题思路】对于排列问题，按照先特殊后一般，分类分步进行即可.
（1）
无条件的排列问题，排法有种；
（2）
先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有种；
（3）
排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；
（4）
把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有种排法；
（5）
即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法；
（6）
即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（7）
对比（6），让女生插空，共有种排法；
（8）
（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法；
（9）
分步完成共有种排法；
（10）
由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，
7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法.
59．（1）；（2）；（3）
【解析】（1）利用捆绑法求得方法数.
（2）利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，计算出方法数.
（3）利用分步计数原理，求得方法数
【解题过程】（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有种.
（2）如果甲排左端，则方法数有种；如果乙排左端，则方法数有种.故总的方法数有种.
（3）按照甲、乙、丙、其他三个同学的顺序进行安排，所以方法数有种.
【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题的求解，考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题.
60．（1）300；（2）660；（3）1334.
【解题思路】（1）先排个位，再排千位，再在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位上，利用分步乘法计数原理即可求出；
（2）考虑个位上的数字是0和个位上的数字是5两种情况讨论求解；
（3）由分类加法计数原理讨论求解.
【解题过程】（1）根据题意，分3步进行分析：
①个位从1，3，5中选择一个，有种选法；
②千位上不可选0，从剩下的5个数中选一个，有种选法；
③在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位上，有种选法．
则有个无重复数字的四位奇数．
（2）分2种情况讨论：
①个位上的数字是0，在其余的6个数字中任选4个，安排在前4个数位，有种情况，则此时的五位数有个；
②个位上的数字是5，万位上不可选0，从剩下的5个数字中选一个，有种选法，在余下的5个数字中选出3个，安排在中间3个数位，有种情况，则此时符合条件的五位数有个．
故满足条件的五位数共有个．
（3）符合要求的比31560大的五位数可分为四类：
第一类：形如4****，5****，6****，有个；
第二类：形如32***，34***，35***，36***，有个；
第三类：形如316**，有个；
第四类：形如3156*，有2个．
由分类加法计数原理知，所求五位数有个．
61．（1）7680种；（2）1152种.
【解题思路】(1)将一对夫妇视为一组，，视为一组，先将6组人圆排列，再对每一组内的两人调整位置，然后用分步乘法计数原理计算即得；
(2)先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得.
【解题过程】（1）若5对夫妇都相邻，，相邻，可将每对夫妇划分为1组，，划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法，
由于每一组内两人还有顺序问题，所以共有种坐法；
（2）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定，
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法，
第三步，排，二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法．
微专题：排列的基本问题
【考点梳理】
1. 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
2. 排列数
定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.
全排列的概念
n个不同的元素全部取出的一个排列.
阶乘的概念
正整数1到n的连乘积，用n！表示. A＝n！，0！＝1.
排列数公式
(n，m∈N*，m≤n).
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).
阶乘式A＝.
3. A＝(n－m＋1)A＝nA；(n＋1)！－n！＝n·n！.
4. 有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.
【题型归纳】
题型一：全排列问题
1．某医院住院部现有5个空床位，有3名儿童，4名老人需要住院治疗，如果安排2名儿童，3名老人入住，则不同的安排方式有（ ）
A．1260种 B．1440种 C．2400种 D．2520种
2．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则不同的排列顺序有（ ）种
A．6 B．4 C．3 D．2
3．有名同学合影留念站两排，前排人和后排人，不同排法的种数为（ ）
A． B． C． D．
题型二：相邻问题的排列问题
4．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（ ）
A．72种 B．60种 C．48种 D．36种
5．现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（ ）
A．72种 B．144种 C．288种 D．576种
6．某中学篮球队的5个首发队员站成一排照相，高二、高三均有2个，高一有1个，则高二和高三两个年级中仅有一个年级的队员相邻的站法种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
题型三：不相邻排列问题
7．把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为（ ）
A． B．1 C． D．
8．小红，小明，小芳，张三，李四共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．中国古乐中以“宫､商､角､徵､羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫”､“羽”两音阶不相邻的音序共有（ ）
A．72种 B．36种 C．48种 D．24种
题型四：元素（位置）有限制的排列问题
10．4人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（ ）
A．14种 B．16种 C．10种 D．13种
11．5名学生，1名教师站成前后两排照相，要求前排3人，后排3人，其中教师必须站在前排，那么不同的排法共有（ ）
A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种
12．8个人坐成一排，现要调换其中3个人的每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（ ）
A． B． C． D．
题型五：定序问题
13．5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排放在b的左边，则一共有多少种排放方法（ ）
A．42 B．60 C．30 D．36
14．某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）.
A．42 B．56 C．30 D．72
15．习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
【双基达标】
16．汽车牌照由4个数字（可以重复）和2个字母（也不一定要不相同）构成，这6个字符可以任何顺序呈现，但两个字母必须相邻，则可以形成的不同的牌照有（ ）种.
A． B． C． D．
17．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
18．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
19．有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（ ）
A．120种 B．216种 C．384种 D．504种
20．2个男生和1个女生随机排成一排，则2个男生相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
21．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种
22．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
23．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
24．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高二年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A．120种 B．156 种 C．192种 D．240种
25．五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫､商､角､徵､羽，如果将这五个音排成一排，宫､羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（ ）
A．20种 B．24种 C．32种 D．48种
26．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是
A． B． C． D．
27．给出下列说法：
①“”是“”的充分不必要条件；
②命题“，”的否定形式是“，”.
③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为种.其中正确说法的个数为
A． B． C． D．
28．某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）
A．72种 B．48种
C．36种 D．24种
29．年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样.某小区的个家庭买了张连号的门票，其中甲家庭需要张连号的门票，乙家庭需要张连号的门票，剩余的张随机分到剩余的个家庭即可，则这张门票不同的分配方法的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有（ ）
A．400种 B．396种 C．380种 D．324种
【高分突破】
一、 单选题
31．2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲､乙､丙､丁､戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，丙､丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
32．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．120种
33．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A．288种 B．144种 C．72种 D．36种
34．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．16种 B．18种 C．24种 D．36种
35．某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天24：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
36．高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
37．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的六位数的个数为（ ）
A．478 B．479 C．480 D．481
38．大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表，语文､数学､外语､物理､化学各一节，现要求数学和物理不相邻，且都不排在第一节，则课表排法的种数为（ ）
A．24 B．36 C．72 D．144
39．永定土楼.位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列人世界遗产名录.它历史悠久､风格独特，规模宏大､结构精巧.土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形､五角形相邻，则共有（ ）种不同的排法.
A． B． C． D．
40．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有（ ）
A．18种 B．12种 C．9种 D．6种
41．某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（ ）
A．126 B．360 C．600 D．630
42．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种
43．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
二、多选题
44．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ）
A．共有60种不同的坐法
B．空位不相邻的坐法有72种
C．空位相邻的坐法有24种
D．两端不是空位的坐法有18种
45．随着高三毕业日期的逐渐临近，有()个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（ ）
A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为
B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为
C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为
D．记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则
46．2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有种.
A． B． C． D．
47．5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（ ）
A． B．60
C．72 D．
48．（多选）计划在某画廊展出幅不同的画，其中幅水彩画、幅油画、幅国画，排成一行陈列，要求同一品种挂在一起，水彩画不在两端，那么下列不同的排列方式种数中错误的有（ ）.
A．种 B．种
C．种 D．种
49．（多选）将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ）
A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种
B．诗集相邻的不同放法有种
C．四大名著互不相邻的不同放法有种
D．四大名著不放在两端的不同放法有种
三、填空题
50．将3个不同颜色的小球放入排成一排的6个相同的盒子，每个盒子最多可以放一个小球，则3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有_________种.（用数字作答）
51．将，，，，五个字母排成一排，若与相邻，且与不相邻，则不同的排法共有__种.
52．有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答）
53．有4名男生和2名女生共6人组成两个志愿者队伍去两个不同的场馆，要求每队既有男生又有女生，则不同的分配方法有_______________种．（用数字表示）
54．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有_______．
55．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有______种填法．
四、解答题
56．写出下列问题的所有排列：
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
（2）两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？
57．一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
58．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
59．有5名同学站成一排拍照．
（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？
（3）求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
60．用0，1，2，3，4，5，6这七个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比31560大的五位数？
61．有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）．
（1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？
（2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？
参考答案：
1．B
【解题思路】先从3名儿童选2名儿童，从4名老人选3名老人，再将5人安排到5个床位，即可得出答案.
【解题过程】解：先从3名儿童选2名儿童，从4名老人选3名老人，有种选法，
再将5人安排到5个床位，有种排法，
再根据分布乘法原理可得不同的安排方式有种排法.
故选：B.
2．A
【解题思路】运用排列的定义进行求解即可.
【解题过程】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，
则不同的排列顺序有，
故选：A
3．B
【解题思路】分成两步，先排前排的2人，再排后排的3人，利用分步乘法原题可求解.
【解题过程】先从人中选人站在前排，有种排法，再将剩下人全排列，有种排法，共有种排法．
故选：B
4．C
【解题思路】利用捆绑法，将甲乙捆绑在一起.再由分步计数原理即可计算出结果.
【解题过程】甲、乙相邻共有种.
将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有种.
则共有种.
故选：C.
5．B
【解题思路】先安排甲同学在第二位、第三位、第四位、第五位，再安排两位老师，最后安排其他同学，利用分类加法原理、分步计数原理可得答案.
【解题过程】若甲同学在第二位，两位老师可以在第三第四位，或者两位老师在第四第五位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种；
若甲同学在第三位，或者两位老师可以在第一第二位，或者两位老师可以在第四第五位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种；
若甲同学在第四位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种；
若甲同学在第五位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第三第四位，其他同学没有限制要求，有种；
所以共有种.
故选：B.
6．C
【解题思路】根据题意相邻可以考虑“捆绑”法，不相邻考虑“插空法”即可求解.
【解题过程】分两类，第一类高二年级队员相邻高三年级队员不相邻，
把高二两个队员“捆绑”看作一个元素与高一一个队员排列有种不同排法，把高三年级两个队员排入3个空位中的2个（插空法）有种不同方法，
故第一类有种站法，
第二类高三年级队员相邻高二年级队员不相邻，与第一类方法相同，也有种站法，
由分类加法计数原理知，共有种站法，
故选：C.
7．C
【解题思路】由排列数公式计算4本书排成一行、语文书和英语书不相邻的排法，由古典概型公式计算可得答案.
【解题过程】根据题意，语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，有种不同的排法，
若语文书和英语书不相邻，其排法有种，
则语文书和英语书不相邻的概率.
故选：C.
8．C
【解题思路】利用捆绑法和插空法进行求解即可.
【解题过程】解：由题意得：
5名同学参加演讲比赛出场顺序总的方法：种；
将小红小明捆在一起，然后张三李四两个排列，再后小芳与小红小明组插空，总的方法数有：种
在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为
故选：C
9．A
【解题思路】先排商､角､徵进行全排列，再利用插空法，即可求解.
【解题过程】根据题意，先排商､角､徵有种排法，再将这三个音阶有四个空位可排宫､羽两音阶，有种排法，
所以其中宫､羽两音阶不相邻的音序共有（种）排法.
故选：A.
10．A
【解题思路】分两类：甲在排尾，另一种甲不在排头也不在排尾，然后利用分类加法原理求解即可.
【解题过程】根据题意分两类：
第一类：甲在排尾，其它3人全排列，有，
第二类：甲不在排头也不在排尾，则甲排在中间两个位置中的一个，然后从剩余的除乙外的2人中选一人排在排尾，最后剩下的2人排在剩余的2个位置，则有种，
所以由分类加法原理可得共有种，
故选：A.
11．B
【解题思路】先排教师的位置，再排5名学生，从而可得不同的排法.
【解题过程】教师在前排，由3种排法，
5名学生，前排2位，后排3位，共有，
故不同的排法总数为，
故选：B.
12．C
【解题思路】先从8人中任取3人，再对3人位置全调，然后利用分步计数原理求解.
【解题过程】从8人中任取3人有种，
3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，所以有种，
所以不同调换方式有种.
故选：C.
13．B
【解题思路】先求得5个编号任意排列的排法，分析可得a在b的左边和a在b的右边是等可能的，计算即可得答案.
【解题过程】由题意得5个编号任意排列，有种排法，
其中a在b的左边和a在b的右边是等可能的，其排法数目时一样的，
所以a排放在b的左边一共有种排法
故选：B
14．B
【解题思路】利用倍缩法，先将8个节目排好，由于原来6个节目顺序不变，则要除以原有的6个节目对应的不同排法，即可得解.
【解题过程】解：增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有种，
而原有的6个节目对应的不同排法共有种，
所以不同的排法有（种）.
故选：B.
15．A
【解题思路】优先排B元素，然后根据A、C、D顺序确定用除法可得.
【解题过程】先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共，由于A、C、D顺序确定，所以不同的排法共有.
故选：A
16．B
【解题思路】利用分步乘法计数原理以及插空法即可求解.
【解题过程】首先排4个数字共有种，
再将2个字母看成一个整体插在个空内，共有种，
所以形成的不同的牌照有.
故选：B
17．B
【解题思路】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【解题过程】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
18．C
【解题思路】先从4个视频中选2个，再全选2篇文章，然后将2篇文章捆绑与三个学习内容全排列，最后利用分步计数原理求解.
【解题过程】根据题意，从4个视频中选2个有种方法，
2篇文章全选有种方法，
2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有种方法，
最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有种方法，
故满足题意的学法有（种）．
故选：C
19．D
【解题思路】甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.
【解题过程】因为甲的成绩是中间一名，
所以只需安排其余6人位次，
因为乙不排第一名，丙不排最后一名，
所以由间接法可得,
故选：D
20．C
【解题思路】利用捆绑法求出两名男生相邻的情况种数，再根据古典概型求得结果.
【解题过程】两名男生相邻的情况共有：种
则两名男生相邻的概率.
故选：C.
21．C
【解题思路】由题目信息可以得到要将6个人排到6个不同的位置，列出排列式，然后直接计算，即可求得答案.
【解题过程】 6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人
不同的排法共有：种
故选：C.
【点睛】本题考查了排列应用的题目，关键是掌握排列的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
22．C
【解题思路】根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解.
【解题过程】解：记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，
则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；
所以，
故选：C.
23．C
【解题思路】利用古典概型的概率公式可求概率.
【解题过程】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
24．C
【解题思路】将丙班、丁班捆绑与乙、戊、己全排列，再在除去开头以及丙班、丁班之间还有个空中任取一个排甲，由分布乘法计数原理即可求解.
【解题过程】将丙班、丁班捆绑与乙、戊、己全排列，有种，
除去开头以及丙班、丁班之间还有个空选一个排甲有种情况，
所以不同安排方案共有种，
故选：C.
25．C
【解题思路】根据角音所在的位置分两类，根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.
【解题过程】根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一､二､三､四､五分两类：
第一类，角音排在位置一或五，则不同的排列顺序有（种）；
第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有（种）；
根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有（种）.
故选：C.
26．B
【解题思路】先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可.
【解题过程】解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为，
故选B.
【点睛】本题考查了古典概型，属基础题.
27．C
【解题思路】根据充要关系、存在性问题否定形式以及排列组合分别判断，最后得结果.
【解题过程】①时，反之不然，所以“”是“”的充分不必要条件；
②命题“，”的否定形式是“，”, ②错；
③四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，分法有种，其中甲、乙两名学生分到同一个班，有种，因此甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为种.
综上正确说法的个数为2，选C.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
28．C
【解析】本题可根据题意分2步分析：第一步将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，第二步将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），由分步计数原理计算可得答案．
【解题过程】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，
共有种排法，
再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，
共有种排法，
则后六场开场诗词的排法有种，
故选：C.
【点睛】方法点睛：排列组合常见解法有：直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题倍缩法、至少问题间接法、复杂问题分类法、列举法、隔板法.
29．C
【解析】根据甲、乙个家庭的张票是否连号分类计算.
【解题过程】若甲、乙个家庭的张票连号，则有种不同的分配方法，
若甲、乙个家庭的张票不连号，则有种不同的分配方法，
综上，这张门票共有种不同的分配方法，
故选：C.
【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
30．B
【解题思路】分两步进行，圆环的3个区域和中间的6个区域，其中中间的6个区域种植鲜花可分为3类.
【解题过程】圆环的3个区域种植绿色植物共有种.如图.中间的6个区域种植鲜花可分为3类：
第一类，均种相同植物，有种；
第二类，种2种不同植物，有种；
第三类，种的植物各不相同，有种.
故由乘法原理和加法原理得到不同的栽种方案共有种.
故选：B
31．B
【解题思路】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，可把甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案.
【解题过程】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：种；
又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，
所以不同的分配方法种数有：.
故选：B.
32．B
【解题思路】甲、乙相邻，利用捆绑法看作一个元素，求出总排法，再求出甲、乙相邻且在两端的排法，用总排法减去甲、乙相邻且在两端的排法即得答案.
【解题过程】甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法，
甲乙相邻且在两端有种排法，
故甲乙相邻且都不站在两端的排法有(种)．
故选：B．
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
33．B
【解题思路】利用捆绑法和插空法可求得结果.
【解题过程】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法；第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法.
根据分步计数原理，共有种不同排法.
故选：B
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
34．B
【解题思路】确定完成事件的方法：甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，由计数原理可得．
【解题过程】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，
故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有＝18种.
故选：B.
35．C
【解题思路】把问题转化为亮的2盏插空到不亮的3盏之间，计算出2盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.
【解题过程】5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到不亮的3盏之间，
那么亮的2盏不相邻的情况共有种，相邻的情况共有4种，
因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为 ，
故选：C.
36．B
【解题思路】利用分类分步计数，结合捆绑法、排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再由全排列求六位同学任意安排的方法数，应用古典概率的求法求概率即可.
【解题过程】1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有种；
2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的4个空中，分两种情况：
当插入前2个空有种，再把甲插入五名同学所成排的5个空中后3个空有种；
当插入后2个空有种，再把甲插入有种；
所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有种，
而六位同学任意安排的方法数为种，
所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为.
故选：B
37．B
【解题思路】可从反面入手，考虑比201345小，即首位是1的情况
【解题过程】用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数的个数为．
以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为，
由于201345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个，
所以没有重复数字且大于201345的六位数的个数为．
故选：B
38．B
【解题思路】分数学排在第一节、物理排在第一节、数学和物理都不排在第一节但相邻三类，分别求得排法数求和，由5节课任意排的排法减去三类情况的排法数即可.
【解题过程】1、将数学排在第一节的排法有种；
2、将物理排在第一节的排法有种；
3、数学和物理都不排在第一节，但相邻的排法有种；
而5节课任意排的排法有种，
∴数学和物理不相邻且都不排在第一节的排法有种.
故选：B.
39．A
【解题思路】分圆形排在第一个圆形和排在最后一个两类，根据方形､五角形相邻，利用捆绑法求解.
【解题过程】当圆形排在第一个，因为方形､五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形､五角形内部排列 ，
有种不同的排法.,
同理当圆形排在最后一个有种不同的排法.
综上：圆形要排在第一个或最后一个，方形､五角形相邻，则共有480种不同的排法.
故选：A
40．B
【解题思路】先确定1号盒子的选择情况，再确定剩下盒子的选择情况，进而根据分布计数原理求得答案.
【解题过程】由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球2种方法，则剩下3个盒子各放一个球有种方法，一共有种方法.
故选：B.
41．D
【解题思路】按两个班共选择活动项数进行分类，至少选两项，至多选四项，故分三类求解即可.本题等同染色问题，即四区域六色涂，相邻不能涂同色问题.
【解题过程】按两个班共选择活动项数分三类：
第一类：两个班共选择2项活动，有种方法；
第二类：两个班共选择3项活动，有种方法；
第三类：两个班共选择4项活动，有种方法.
则活动安排方案的种数为.
故选：D.
【点睛】直接分类法是求解有限制条件排列问题的常用方法：先选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数.而对于分类过多的问题，正难则反，一般采用间接法处理.
42．D
【解题思路】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.
【解题过程】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.
故选：D
43．C
【解题思路】利用古典概型的概率公式可求概率.
【解题过程】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
44．ACD
【解题思路】按照题目给定的条件排列即可.
【解题过程】对于A， ，故A正确；
对于B，相当于先排好这3个人有 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，
故有 种插法， ，故B错误；
对于C，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中， ，
故C正确；
对于D，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，
第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有 种，
故D正确；
故选：ACD.
45．ACD
【解题思路】考虑个同学时的情况，若个同学都拿到其他同学的卡片，则第个同学可以与其中任何一个交换卡片，若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片，由此能推导出结论．
【解题过程】解：考虑个同学时的情况，
若个同学都拿到其他同学的卡片，则第个同学可以与其中任何一个交换卡片，
若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片，
，故正确；
，
，，，，
代入数据可得，
当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为，故正确；
当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为，故错误；
甲和乙恰好互换了卡片的概率为，故正确．
故选：ACD．
【点睛】结论点睛：记表示个元素错位排列的方法数，则．
46．BC
【解析】由题意，先排男生，再插入女生，可得选项B正确，或用减法，先进行全排列再减去女生相邻的情况，可得选项C正确．
【解题过程】由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确；
也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确；
故选：BC.
【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.
47．AC
【解析】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共种不同的排法，再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共种不同的排法，由此可得选项.
【解题过程】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共=3×2×1=6种不同的排法，
再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共=12种不同的排法，
所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是=6×12=72，故选：AC．
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
48．ABC
【解题思路】首先采用捆绑法可将油画和国画分别看作整体；根据水彩画不在两端知油画和国画排在水彩画两边，由此可计算得到结果.
【解题过程】将幅油画捆绑看作一个整体，有种排法；幅国画捆绑看作一个整体，有种排法；
水彩画不在两端，则油画和国画排在水彩画两边，共种排法，
不同的排列方式种数有种，则ABC错误，D正确.
故选：ABC.
49．BC
【解题思路】根据题设，依次分析各选项的条件，再列式即可判断作答.
【解题过程】对于A，戏曲书只有1本，将戏曲书放在正中间，其余6本书全排列，不同放法种数为，A错误；
对于B，诗集共2本，把2本诗集看为一个整体，则7本书的不同放法种数为， B正确；
对于C，四大名著互不相邻，先将四大名著全排列，再在每种排列的中间3个空隙中放置其他书，共有种放法，则不同放法种数为，C正确；
对于D，在第2至第6这5个位置上任选4个位置放四大名著，共有种放法，其余3本书在剩下的3个位置上全排列，则不同放法种数为，D错误．
故选：BC
50．72
【解题思路】先分类，再在不同情况下，求出放法个数，相加得到答案.
【解题过程】当两个相邻空盒恰好在两端时，放法有种；
当两个相邻空盒不在两端时，放法有种；
所以3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有36+36=72种.
故答案为：72
51．36
【解析】可利用分步乘法计数原理，先排，，再将捆绑，看作一个元素，插入三个空位之一，这时、、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一即可.
【解题过程】依题意，可分三步，先排，，有种方法，产生3个空位，将捆绑有种方法，将捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有种方法，这时、、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一，有种方法，根据分步乘法计数原理得：共有种，
故答案为：36.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
52．
【解题思路】先考虑相声、跳舞相邻的情况，再考虑考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，利用捆绑法与间接法可求得结果.
【解题过程】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，
然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有种排法.
接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，
其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序，
此时共有种排法.
综上所述，由间接法可知，共有种不同的排法.
故答案为：.
53．28
【解题思路】先把女生分配好，再分配男生，则可求不同的分配方法总数.
【解题过程】女生的分配方法有2种，男生的分配方法有，
故不同的分配方法总数为28.
故答案为：28
54．28
【解题思路】对《诗经》的位置分两种情况（位于第4节和第5节）讨论，利用间接法列式计算得解.
【解题过程】当《诗经》位于第5节时，《周易》和《礼记》相邻有3种情形，且《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，因此满足条件的情形有种；
当《诗经》位于第4节时，《周易》和《礼记》相邻有2种情形，《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，此时满足条件的情形有种．
所以满足条件的情形共有种．
故答案为：28
55．441000
【解题思路】先确定第一行两个偶数有种填法，再根据这两个偶数所在的列，还需再填一个偶数，分别设为a，b．分a，b位于同一行和a，b位于不同的两行，得到偶数的位置情况数，再利用分步计数原理求解.
【解题过程】第一行两个偶数有种填法，
每列还需再填一个偶数，分别设为a，b．
若a，b位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；
若a，b位于不同的两行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择．
所以偶数的位置的情况种数为．
因此总的填法种数为．
故答案为：441000
56．（1）12种；（2）站法见解析，8种．
【解题思路】（1）根据每一个起点和终点情况画图即可得结果；
（2）由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生，画树状图即可得结果．
【解题过程】（1）列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种；
（2）由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：
由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．
57．（1）；（2）；（3）．
【解题思路】（1）利用捆绑法可求解；
（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；
（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.
【解题过程】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
58．(1)2520
(2)2400
(3)3720
(4)288
(5)720
(6)1440
(7)144
(8)960
(9)5040
(10)840
【解题思路】对于排列问题，按照先特殊后一般，分类分步进行即可.
（1）
无条件的排列问题，排法有种；
（2）
先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有种；
（3）
排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；
（4）
把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有种排法；
（5）
即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法；
（6）
即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（7）
对比（6），让女生插空，共有种排法；
（8）
（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法；
（9）
分步完成共有种排法；
（10）
由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，
7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法.
59．（1）；（2）；（3）
【解析】（1）利用捆绑法求得方法数.
（2）利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，计算出方法数.
（3）利用分步计数原理，求得方法数
【解题过程】（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有种.
（2）如果甲排左端，则方法数有种；如果乙排左端，则方法数有种.故总的方法数有种.
（3）按照甲、乙、丙、其他三个同学的顺序进行安排，所以方法数有种.
【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题的求解，考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题.
60．（1）300；（2）660；（3）1334.
【解题思路】（1）先排个位，再排千位，再在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位上，利用分步乘法计数原理即可求出；
（2）考虑个位上的数字是0和个位上的数字是5两种情况讨论求解；
（3）由分类加法计数原理讨论求解.
【解题过程】（1）根据题意，分3步进行分析：
①个位从1，3，5中选择一个，有种选法；
②千位上不可选0，从剩下的5个数中选一个，有种选法；
③在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位上，有种选法．
则有个无重复数字的四位奇数．
（2）分2种情况讨论：
①个位上的数字是0，在其余的6个数字中任选4个，安排在前4个数位，有种情况，则此时的五位数有个；
②个位上的数字是5，万位上不可选0，从剩下的5个数字中选一个，有种选法，在余下的5个数字中选出3个，安排在中间3个数位，有种情况，则此时符合条件的五位数有个．
故满足条件的五位数共有个．
（3）符合要求的比31560大的五位数可分为四类：
第一类：形如4****，5****，6****，有个；
第二类：形如32***，34***，35***，36***，有个；
第三类：形如316**，有个；
第四类：形如3156*，有2个．
由分类加法计数原理知，所求五位数有个．
61．（1）7680种；（2）1152种.
【解题思路】(1)将一对夫妇视为一组，，视为一组，先将6组人圆排列，再对每一组内的两人调整位置，然后用分步乘法计数原理计算即得；
(2)先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得.
【解题过程】（1）若5对夫妇都相邻，，相邻，可将每对夫妇划分为1组，，划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法，
由于每一组内两人还有顺序问题，所以共有种坐法；
（2）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定，
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法，
第三步，排，二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法．
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