微专题 平面向量数量积的基本概念及运算 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 平面向量数量积的基本概念及运算 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共29页。

微专题：平面向量数量积的基本概念及运算
【考点梳理】
1. 向量的数量积

(1)向量数量积的定义
①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)向量的投影

①定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
(3)向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝|a|cos_θ.
②a⊥b⇔a·b＝0.
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 　
④|a·b|≤|a||b|.
(4)向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
①a·b＝b·a；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(5)数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y；＝. 　
②a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
③≤.
④设θ是a与b的夹角，则
cosθ＝＝.



【题型归纳】
题型一：平面向量数量积的定义及辨析
1．关于平面向量，下列说法正确的是（       ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
2．已知的面积为，则（       ）
A． B． C． D．
3．满足的△ABC（       ）
A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形
C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形


题型二：平面向量数量积的运算
4．如图，正六边形的边长为1，延长，交于，则（       ）


A． B． C．9 D．
5．如图，在平面四边形中，，且，则等于（       ）

A． B． C． D．
6．已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（       ）
A． B． C．1 D．2




【双基达标】
7．若且在方向上的投影为2，则实数（       ）
A． B． C． D．
8．在中，是三角形的外心，过点作于点，，则=（       ）
A．16 B．8 C．24 D．32
9．已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则（       ）
A． B． C．5 D．3
10．若，点C在∠AOB外，且，设实数m，n满足，则等于（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
11．在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（       ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
12．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．1
13．若与是相反向量，且=3，则等于（       ）
A．9 B．0 C．-3 D．-9
14．设是定直线的法向量，定点在直线上，定点在直线外，为一动点，若点满足，则动点的轨迹为（       ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
15．扇形的半径为1，圆心角为，是上的动点，则的最小值为（       ）
A． B．0 C． D．
16．在中，已知，，且满足，，若线段和线段的交点为，则（       ）.
A． B． C． D．
17．在中，若，则的形状一定是（       ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
18．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（       ）
（1）若，则；（2）若，则
（3）若，则（4）若，则或
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
19．已知在三角形中，，，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
20．已知向量的夹角是，，则的值是（       ）
A． B． C． D．
21．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
22．在平行四边形中，，则（       ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
23．在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
24．已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：
甲：；       乙：；
丙：；       丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（       ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
25．在中，，，点是边的中点，则的值为（       ）
A． B．6 C． D．8

【高分突破】
一、 单选题
26．在中，若，则－定是（       ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
27．若非零向量满足，则与的夹角为（       ）
A． B． C． D．
28．已知，为单位向量，，记是与方向相同的单位向量，则在方向上的投影向量为（       ）
A． B． C． D．
29．如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，，则（       ）

A．9 B．10 C．11 D．12
二、多选题
30．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（       ）

A．为定值 B．的取值范围是
C．当时，为定值 D．的最大值为12
31．在平行四边形中，若，则（       ）
A．
B．
C．
D．若
32．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（       ）
A． B．
C． D．
33．对于任意的平面向量下列说法错误的是（       ）
A．若且，则
B．
C．若，且，则
D．
三、填空题
34．在正方形中，，点在正方形区域内（含边界），且满足，则的最大值为________.
35．已知平面向量，满足，，则的最小值是___________.
36．若两个向量与的夹角为，且是单位向量，向量，，则向量与的夹角为__________．
37．在中，若，，则_____.
38．已知非零向量，，，则的最大值为______．
39．若，与､的夹角都是60°，且，，则___________.
四、解答题
40．在如图所示的平面图形中，已知，，，，求：

(1)设，求的值；
(2)若，且，求的最小值及此时的夹角.
41．在中，，，，点，在边上且，.

（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
42．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且满足.
(1)求角A；
(2)若，，求的周长.
43．已知，，．
(1)求的值；
(2)求与的夹角．
44．已知，.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用向量垂直及数量积的定义可判断A，根据平面向量数乘的分配律即可判断B，利用数量积的定义可判断CD．
【详解】
对于A，若和，都垂直，显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；
对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；
对于C，若，则，，
而与不一定相等，所以命题不成立；
对于D，与分别是一个和，共线的向量，显然命题不一定成立．
故选：B．
2．C
【解析】
【分析】
由向量数量积的定义及三角形面积公式可得，结合三角形内角性质即可求.
【详解】
由题设，，又，
所以，即，而，故.
故选：C
3．C
【解析】
【分析】
由向量数量积的定义及三角形内角的性质可得，即可判断三角形形状.
【详解】
由，而，
所以且，故.
所以△ABC一定为钝角三角形.
故选：C
4．D
【解析】
【分析】
由正六边形的性质易得，，，则在直角中可求得，在中，利用余弦定理可求得，从而可求出，进而利用数量积的定义可求得结果
【详解】
由正六边形的性质易得，，，所以，
所以为直角三角形，且，，，
在中，，
所以，，
所以．
故选：D．
5．A
【解析】
【分析】
由已知条件可求出的值，从而可求出，进而利用数量积公式可求出
【详解】
在中，，，
所以，，
在中，， ，
所以，，
因为为锐角，所以，
所以，
所以

，
所以，
故选：A
6．B
【解析】
【分析】
利用数量积的定义直接求解.
【详解】
因为是等边三角形，所以.
所以是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，所以.
所以.
故选：B
7．D
【解析】
由向量投影定义及投影值，即可确定的值.
【详解】
根据定义可知向量在向量方向上的投影为
，
解得.
故选:D.
【点睛】
本题考查了平面向量投影定义及简单应用，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算及外心的性质，即可求出数量积的值.
【详解】
如图，

,
因为,
所以，
又因为是三角形的外心，
所以,
所以.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：利用三角形外心的性质，可知在向量上的投影为，是解题的关键，属于中档题.
9．D
【解析】
【分析】
根据数量积的定义即可求解.
【详解】
.
故选：D.
10．C
【解析】
【分析】
由，两边平方得，，由，结合两边同时平方得，，从而可求.
【详解】
∵，
∴①
∵且，两边同时平方得，
∴②
①②联立得：.
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件构造关于m、n的齐次方程，进而求得两参数的比值.
11．A
【解析】
【分析】
由数量积的定义，结合条件即可求解.
【详解】
因为，而，所以，所以，故.
故选：A
12．C
【解析】
【分析】
由题意得，然后转化为椭圆上的点P到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求．
【详解】
解：由题意得．
设椭圆上一点，则，
，又，
当时，取得最小值．
故选：C．
13．D
【解析】
【分析】
直接根据向量的数量积公式求解即可.
【详解】
由已知得
故选：D
14．D
【解析】
【分析】
以为原点，直线为轴，建立直角坐标系，设出点的坐标及，根据题意列出的方程，从而可判断出动点的轨迹为抛物线.
【详解】
以为原点，直线为轴，建立直角坐标系，设，，
则，，
因为，所以，
整理，得，所以动点的轨迹为抛物线.
故选：D.
15．C
【解析】
【分析】
由题设有，，，，即可得，分析使的最小时的位置关系，进而求的最小值.
【详解】

由题设，，，
∴，
∴，，
∴，要使的最小，即同向共线.
又，
∴.
故选：C
16．B
【解析】
【分析】
待定系数法将向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算
【详解】
设，
由知，∴，∵，，三点共线，∴①，
由知，∴，∵，，三点共线，∴②，
由①②得：.，∴，
而，
∴
故选：B
17．B
【解析】
【分析】
先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：B
18．B
【解析】
根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
已知非零平面向量，，，
（1）若，则，所以或，即（1）错；
（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；
（3）若，则，所以，则；即（3）正确；
（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.
19．A
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出，最后根据平面向量数量积的定义计算可得；
【详解】
解：因为，，所以，即，解得，由余弦定理，所以
，因为，所以，所以，即；
故选：A
20．A
【解析】
【分析】
先求出，再求出，即得解.
【详解】
向量的夹角是，，∴.
∴，
.
∴.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．A
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】

的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】
该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
22．A
【解析】
【分析】
根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；
【详解】
，，
，，
，
，
故选：A
23．A
【解析】
【分析】
利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，
所以，
所以，整理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得.
所以的最大值为
故选：A
【点睛】
关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.
24．B
【解析】
【分析】
先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.
【详解】
甲：，则，故P为△ABC的重心；
乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；
丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.
故选：B．
25．A
【解析】
【分析】
将作为基底表示出，然后求其数量积即可
【详解】
解：因为在中，点是边的中点，
所以，
因为，，，
所以
故选：A
26．C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积的运算公式，求得，得到为钝角，即可求解.
【详解】
由向量的数量积的运算公式，可得，即，
因为，所以为钝角，所以－定是钝角三角形.
故选：C.
27．C
【解析】
【分析】
设与的夹角为，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得，进而得答案.
【详解】
解：根据题意，设与的夹角为，则，
若，则，
即，
又由，则，
故选：C．
28．C
【解析】
【分析】
利用向量投影的定义求解.
【详解】
由题设可得，即，则，
设与的夹角为，则.
又，故,
因为是与方向相同的单位向量，所以在方向上的投影向量为.
故选: C
29．D
【解析】
【分析】
连接，根据正六边形的特征可得，从而可得，再根据当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，即可求得，，从而得出答案.
【详解】
解：连接，在正六边形中，，
∴，
∵正六边形的边长为2，∴，
因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，
所以当在上运动时，取得最大值，为，
当移动到点时，取得最小值，为0．
∴，，∴．
故选：D.
【点睛】
30．AC
【解析】
【分析】
根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误，取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B的正误，根据直径的大小可判断D的正误.
【详解】

如图，设直线与圆于，.
则,
故A正确.
取的中点为，连接，则

，
而，故的取值范围是，故B错误.
当时，
，故C正确.
因为，故，故D错误.
故选：AC
31．ACD
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算、向量数量积的运算性质结合条件逐项判断即得.
【详解】
∵在平行四边形中，，
∴分别为AB、AD的中点，
∴，故A正确；

因为，故B错误；
因为，故C正确；
若，则，又，
∴，
∴
∴，故D正确.
故选：ACD.
32．BCD
【解析】
【分析】
利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果.
【详解】
由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A项错误；
过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，则

，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有，故，
由欧拉线定理可得，故C项正确；
如图（2），由可得，即，则有，D项正确，

故选：BCD.
33．ACD
【解析】
【分析】
对于A，注意；对于B，根据平面向量数乘的分配律即可判断；对于C，若和，都垂直即可判断；对于D，根据数量积定义即可判断．
【详解】
对于A，，命题不成立；
对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；
对于C，若和，都垂直，显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；对于D，与分别是一个和，共线的向量，显然命题不一定成立．
故选：ACD．
34．9
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，由题意结合双曲线的定义可得点的轨迹方程为，转化条件得，由求出最大值后即可得解.
【详解】
以所在直线为轴，的中垂线为轴，如图建立直角坐标系，

则，，
由得点的轨迹方程为，
所以，
设，则，
因为，所以，所以的最大值为9.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算法则及向量模的坐标表示，考查了双曲线定义的应用，属于中档题.
35．3
【解析】
【分析】
由得，结合模长求解过程，得到，根据二次函数的性质，结合基本不等关系，求得最小值.
【详解】
，则，
，易知当时，最小为，
此时，，同向.
故答案为：3
【点睛】
关键点点睛：由题干条件，求得，最后把模长表达出来后，利用基本不等关系求解，最后要考虑等号成立条件，满足则可以取得最小值.
36．
【解析】
【分析】
求出及，然后由数量积定义可得夹角．
【详解】
由已知，
所以，
，
设与的夹角为，则，，所以．
故答案为：．
37．
【解析】
【分析】
由题知是等腰直角三角形，故，，再根据数量积定义计算即可.
【详解】
由，，知是等腰直角三角形，
∴，，
∴.
故答案为：.
38．13
【解析】
【分析】
根据向量数量积的运算性质，有，即可求的最大值.
【详解】
∵，
∴当时，有最大值为169.
∴的最大值为13.
故答案为：13.
39．22
【解析】
【分析】
利用数量积的定义及运算律可求的值.
【详解】

，
故答案为：22.
40．(1)
(2)的最小值为，为.
【解析】
【分析】
（1）由向量的减法公式，结合题意和平面向量共线定理，即可求得，进而求出结果；
（2）记，因为，所以，设，根据平面向量加法理和平面向量共线定可得，进而求得，化简整理可得，再根据二次函数和余弦函数的性质，即可求出结果.
(1)
解：因为，，
所以，所以，
即.
(2)
解：记，
因为，所以，
设，则，
所以


当时，取最小值，即最小值为，
又，所以，所以，
即，
所以的最小值为，此时为.
41．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.
【详解】
（1）设，，
则，，因此，
所以，
，
（2）因为，所以，
同理可得，，
所以
，
∴，即，
同除以可得，.
【点睛】
本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
42．(1)；(2).
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理将边化为角的表达式.结合正弦函数和角公式化简即可求得,即可得.
（2）由余弦定理及平面向量数量积的乘积,即可得.进而得三角形的周长.
【详解】
（1）因为,
在中,由正弦定理
所以,
即,
,
得,得,
,
；
（2）由余弦定理,代入可得.
即 ,
即,可得 ,
所以,得,
所以周长为.
【点睛】
本题考查了正弦定理在边角转化解三角形中的应用,余弦定理解三角形的应用,平面向量数量积定义及运算,属于基础题.
43．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量数量积运算法则得到，进而求出模长；（2）结合第一问，利用向量夹角坐标公式进行求解.
(1)
∵，，，
∴，解得:..
故；
(2)
设与的夹角，则，
又∵，∴
44．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；
（2）根据解方程即可得答案.
(1)
解：
(2)
解：∵向量与互相垂直，
∴，整理得，又，，
∴，解得.
∴当时，向量与互相垂直.