微专题 求二项式展开式的特定项 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 求二项式展开式的特定项 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共26页。

微专题：求二项式展开式的特定项
【考点梳理】
1. 二项式定理
概念
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式.

2. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其系数.



【题型归纳】

题型一：求二项展开式
1．展开式中，的系数为（       ）
A．20 B． C．160 D．
2．二项式的展开式中为常数项的是（       ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
3．展开式中的常数项为
A．第5项 B．第5项或第6项 C．第6项 D．不存在


题型二：求二项展开式的第k项
4．若展开式中第2项与第12项的二项式系数相同，那么展开式的中间一项为（       ）
A． B． C． D．
5．在二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的第项系数为（       ）
A． B． C． D．
6．已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（       ）
A．6 B．15 C． D．

题型三：根据二项式的第k项求值
7．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（       ）
A．14 B．16 C．18 D．20
8．展开式中的常数项为－160，则a＝（       ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
9．已知的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（       ）
A．第2项 B．第4项 C．第5项 D．第6项




【双基达标】
10．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中第（       ）项是常数项.
A．3 B．4 C．5 D．6
11．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形数阵的第行第个数，则（       ）

A．5050 B．4851 C．4950 D．5000
12．的展开式中，第二项为（       ）
A． B． C． D．
13．若，则（       ）
A．1 B．0 C． D．
14．展开式中无理项的项数为（       ）
A．7 B．6 C．5 D．4
15．设i为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第三项为（ ）
A．－20i B．15i C．20 D．－15
16．的展开式中的常数项为（       ）．
A．－120 B．120 C．－60 D．60
17．在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（       ）
A．﹣360 B．﹣160 C．160 D．360
18．若二项式的展开式中所有项的系数的绝对值的和为，则展开式中二项式系数最大的项为（       ）
A． B． C． D．
19．设随机变量，若二项式，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
20．展开式的第项为（       ）
A． B． C． D．
21．展开式中的第2项是（       ）
A． B． C． D．
22．在的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式的中间项为（       ）
A． B． C． D．
23．若的展开式中的系数为，则等于（       ）
A． B． C．1 D．2
24．二项式的展开式中的常数项为（       ）
A．80 B．－80
C．40 D．－40
25．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是第几项（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
26．已知的展开式的常数项为，则（       ）
A．5 B．6 C．7 D．9
27．若a为正实数，且2020的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2020项为（       ）
A． B．－
C． D．－
28．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（       ）
A． B．或 C． D．或
29．设，则（       ）
A．21 B．64 C．78 D．156
30．已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为，则不正确的命题是（       ）
A． B．
C．展开式中常数项为 D．展开式中含的项为

【高分突破】
一、 单选题
31．已知，则可化简为（       ）
A． B． C． D．
32．在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（     ）
A． B． C． D．
33．的展开式的中间项为（       ）
A．-40 B． C．40 D．
34．的展开式中的常数项为-160，则a的值为（       ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
35．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（       ）
A． B．
C． D．
36．若的展开式有9项，则自然数的值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10

二、多选题
37．已知，设，其中则（       ）
A． B．
C．若，则 D．
38．对于的展开式，下列说法正确的是（       ）
A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是240
C．展开式的二项式系数之和为64 D．展开式的各项系数之和为1
39．关于及其展开式，下列说法正确的是（       ）
A．该二项式展开式中二项式系数和是
B．该二项式展开式中第8项为
C．当时，除以100的余数是9
D．该二项式展开式中不含有理项
40．将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（       ）

A．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．第8行中间一项是
C．
D．
41．下列关系式成立的是（       ）
A．
B．
C．
D．
42．设常数，，对于二项式的展开式，下列结论中，正确的是（       ）
A．若，则各项系数随着项数增加而减小
B．若各项系数随着项数增加而增大，则
C．若，，则第7项的系数最大
D．若，，则所有奇数项系数和为239

三、填空题
43．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______．
44．展开式的中间项为________．
45．若，则的展开式中的常数项是___________.
46．二项式的展开式的常数项是____ ．
47．在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）
48．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中x的系数为_________

四、解答题
49．已知的二项展开式中，第三项的系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.
50．已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．
51．若的展开式中第2项小于第1项，但不小于第3项，求实数x的范围．
52．已知在的展开式中，_________（填写条件前的序号）
条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；
条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；
条件③.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含的项.
53．已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）.
（1）求数列的通项；
（2）求数列前项和；
（3）若，求.
54．已知．
（1）若且，求n的值；
（2）若，求证：．

参考答案
1．D
【分析】求出展开式的通项，令的指数位置等于即可求解.
【详解】展开式通项为，
令可得，
所以的系数为，
故选：D.
2．C
【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x的幂指数为0所对项数即可.
【详解】依题意，的展开式的通项为，，
令，得，即是二项式的展开式的常数项，
所以展开式中的常数项是第5项.
故选：C
3．C
【分析】根据题意，写出展开式中的通项为，令的指数为0，可得的值，由项数与的关系，可得答案．
【详解】解：根据题意，展开式中的通项为，
令，可得；则其常数项为第项；
故选．
【点睛】本题考查二项式系数的性质，解题的关键是正确应用二项式定理，写出二项式展开式，其次注意项数值与的关系,属于基础题．
4．B
【分析】由二项式系数相等求得值，然后根据二项式定理求解．
【详解】由题意，所以，
因此展开式共有13项，中间一项是第7项，
．
故选：B．
5．B
【分析】根据题意得，则，分析求解即可.
【详解】由的展开式中只有第项的二项式系数最大可知，
则的展开式的通项为，
则展开式中的第项为，系数为，
故选：B．
6．D
【分析】根据二项式系数之和为64求出，从而求出展开式的通项公式，求出第5项.
【详解】由题意得：，解得：，
则展开式的通项公式为，
第五项是
故选：D
7．C
【分析】写出二项式展开式的通项，令时的指数位置等于即可求解.
【详解】展开式的通项为，
令可得为常数项，可得，可得，
故选：C.
8．B
【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值.
【详解】的展开式通项为，
∴令，解得，
∴的展开式的常数项为，
∴
∴
故选：B.
9．D
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，利用常数项列方程求出值，进而可得展开式中系数最大的项．
【详解】展开式的通项.令，解得，所以展开式中的常数项为，又，所以，所以即，其展开式共有11项，且正中间一项的二项式系数最大，又展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，
故选：D
10．B
【分析】依题意求得，进而求得二项展开式通项公式为，令可得结果.
【详解】由题设可得：，解得：，
∴的展开式的通项公式为，，1，… ，9，
令，解得：，∴为常数项，
故选：B.
11．B
【解析】依据二项展开式系数可知，得到第行第个数应为，即可求得的值.
【详解】依据二项展开式系数可知，第行第个数应为，
故第100行第3个数为
故选：.
【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第行第个数应为是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
12．C
【分析】先表示出展开式的通项，再令r=1可求得.
【详解】,
第二项是，即=
故选：C
13．C
【解析】由结合二项式定理可得出，利用二项式系数和公式可求得的值.
【详解】，
当且时，，
因此，.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.
14．D
【解析】写出二项式展开的通项公式，让为分数，得到的即为无理项，求解符合条件的r，即可得答案.
【详解】二项式展开的通项公式，当，3，5，7时，对应的项均为无理数，故无理项的项数为4个，
故选：D.
15．D
【分析】直接利用二项展开式的通项求解即可.
【详解】解：(1＋i)6展开式中的第三项为．
故选：D
16．D
【分析】先求出展开式的通项，令即得解.
【详解】的展开式中的项为，
令，解得，
所以的展开式中的常数项为.
故选：D．
17．B
【分析】根据展开式二项式系数最大，求出n＝6，然后利用展开式的通项公式进行求解即可．
【详解】∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大，
∴展开式共有7项，则n＝6，
则展开式的通项公式为Tk+1＝Cx6﹣k（）k＝（﹣2）kCx6﹣2k，
由6﹣2k＝0得k＝3，
即常数项为T4＝（﹣2）3C160，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二项展开式的应用，求出n的值，结合展开式的通项公式是解决本题的关键．属于中档题．
18．A
【分析】令，根据展开式中系数的绝对值的和得到．再判断二项式系数最大的项为第4项，根据二项式定理计算得到答案.
【详解】令，可得展开式中系数的绝对值的和为，解得．
展开式有项，
二项式展开式中二项式系数最大的为第项，.
故选．
19．C
【分析】利用二项式的展开式和题设条件，得到且，结合选项和二项分布的期望与方程的公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，二项式，
因为，
可得且，
若选项A成立，则， 解得，
代入上式验证不成立，所以A错误；
若选项B成立，则， 解得，
代入上式验证不成立，所以B错误；
若选项C成立，则， 解得，
代入上式验证成立，所以C正确；
若选项D成立，则， 解得，显然不成，所以D错误.
故选：C.
20．B
【分析】由展开式的通项公式求解即可
【详解】因为，
所以展开式的第项为，
故选：B
21．C
【分析】直接利用二项展开式的通项公式计算后，即可做出判定.
【详解】展开式中的第2项是.
故选：.
【点睛】本题考查利用二项式的展开式的通项公式求特定项，属于基础性题.
22．C
【分析】由题知偶数项的二项式系数的和为，进而得，再求解对应项即可.
【详解】解：因为二项展开式中，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数相等，
所以，偶数项的二项式系数的和为，即，
所以，展开式的中间项为．
故选：C
23．D
【解析】利用整式乘法将表达式展开,由二项展开式的通项可知当出现或时,展开式中有的项,进而根据的系数即可求得的值.
【详解】将题中所给式子可化为
根据二项式定理展开式通项为,的通项为
令
解得
所以的项为
令
解得
所以的项为
综上可知, 的系数为
解得
故选:D
【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,根据项的系数求参数,属于中档题.
24．B
【分析】求出二项式展开式的通项公式，令的指数为，求出的值，代入通项公式可得常数项．
【详解】二项式的展开式的通项为Tk＋1＝·(x3)5－k＝(－2)kx15－5k．令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝(－2)3＝－80．
故选：B
25．D
【解析】先求得二项式的展开式的通项，再根据前三项的系数成等差数列，由求得，从而由展开式中中间项二项式系数最大求解.
【详解】二项式的展开式的通项为：，因为前三项的系数成等差数列，
所以，
即，
解得（舍去）
所以展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大，
故选：D
26．B
【解析】先根据二项式定理的通项公式列出常数项，建立等量关系，解之即可求出a，然后根据定积分的定义求出即可．
【详解】展开式通项，
当展开式常数项为1，
当，展开式无常数项，
当展开式常数项为
当，展开式无常数项，
因此，
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查定积分，二项式定理，考点较为综合题，既考查了二项式定理的通项，又考查了定积分公式的应用，属于中等题.
27．D
【分析】由二项式展开式的各项系数和求出的值，进而利用二项式展开式的通项公式求出第2020项．
【详解】由条件知，(a－1)2020＝1，所以a－1＝±1．因为a为正实数，所以a＝2．
所以展开式的第2020项为
T2020＝·(2x)·＝－2·x－2018＝－4040·x－2018＝－．
故选：D
28．D
【分析】根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果.
【详解】由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大，
，即，，又，或.
故选：D．
29．A
【分析】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得；
【详解】解：的展开式的通项为，，
所以.
故选：A.
30．C
【分析】由题意判断出展开式的项数，即可得；令代入计算等于所有项系数的和，即可求得的值，从而写出通项公式，分别由选项C与D列式求解值，并代入求解，即可判断选项C，D.
【详解】由题意，展开式中只有第项的二项式系数最大，所以可知展开式中共有项，即，故A正确；
若展开式中所有项的系数和为，令，则，所以得，故B正确；
由通项公式得，令，解得，所以展开式中的常数项为，故C错误；
令，解得，所以展开式中含的项为，故D正确.
故选：C
31．A
【分析】根据二项式定理的逆用直接化简即可.
【详解】,
故选：A.
32．C
【分析】根据二项式定理，展开项系数中，当n为奇数时最中间的那一项最大.
【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8，
二项式展开项的通项公式为： ，
，
∴ 的系数为
故选：C.
33．B
【解析】根据二项式定义可知一共有项，通项为可知第项为中间项，计算可得.
【详解】解：的展开式的通项为
则中间项为.
故选：B.
【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.
34．A
【分析】由已知，根据二项式列出其展开式的通项，根据要计算的常数项，先计算出，然后根据其常数项的系数列出关于a的方程，解方程即可完成求解.
【详解】由已知，展开式的通向为，
所以其展开式的常数项即，，
所以常数项为，解得.
故选：A.
35．D
【分析】令可得各项系数和，求出，根据二项展开式求出 的常数项和含的项与相乘，合并同类项即可求解展开式的常数项.
【详解】令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，



，
展开式中常数项为的常数项与含的系数和，
展开式的通项为，
令得；令，无整数解，
展开式中常数项为，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式各项的系数和，二项展开式的通项公式，赋值法，属于中档题.
36．B
【分析】根据二项式展开式的项数即可得解.
【详解】解：因为的展开式共有项，所以，所以，
故选：B．
37．AC
【分析】根据二项式定理判断A，利用组合数公式结合二项式定理判断B，设是中最大项，列不等式组，求解后判断C，举反例判断D．
【详解】A． ，A正确；
B．，
所以
（除非），B错；
C．设是中最大项，
，即，
注意到，，又，
不等式组可解为，所以，所以，C正确；
D．例如时，，，
，D错误．
故选：AC．
【点睛】方法点睛：本题考查二项式定理，掌握二项式定理是解题关键．处理方法：（1）组合数的变形公式，（2）求二项展开式中最大项（或最小项）的方法，设第项是，可设第项最大，则有，解此不等式可得．
38．BCD
【分析】根据二项式定理，二项式系数的性质判断．
【详解】的展开式中有7项，A错；
二项式系数和为，C正确；
各项系数和为，D正确，
展开式通项公式为，由得，
所以常数项为，B正确．
故选：BCD．
39．BC
【分析】由二项式系数和与各项系数和可判断A；由展开式通项可判断B和D，变形展开式可判断C.
【详解】对于选项A：令得展开式各项系数和为，但其二项式系数和为，故A错误；
对于选项B：展开式中第8项为，故B正确；
对于选项C：当时，

，
能被100整除，
而，除以100的余数是9，
当时，除以100的余数是9，故正确；
对于选项D：的展开式的通项，
当为整数，即，3，，2021时，为有理项，故D错误.
故选：BC.
40．BCD
【分析】根据题意，结合“莱布尼茨三角形”的特点逐个分析判断即可
【详解】对于A，根据杨辉三角的特点，当为偶数时，中间的一项取得最大值，当为奇 数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以A错误，
对于B，第8行共有9个数，中间的项为第5项，即为，所以B正确，
对于C，每一行距离首末距离相等的两项相等，即，所以C正确，
对于D，由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，即，所以D正确，
故选：BCD
41．ABCD
【分析】A.由，利用二项式定理判断；B.原式左边利用二项式定理判断；C.由结合组合数运算放缩判断； D.由化简判断.
【详解】A.，故正确；
B.原式左边
=右边，故正确；
C.①.
由①式知，
另一方面，,
,
，故正确；
D.，
.
原式左边

=右边，故正确.
故选：ABCD
42．BCD
【解析】求出二项展开式的通项，取即可判断A；利用反证法可判断B；依次求出各项系数即可判断C；直接求出奇数项和即可判断D.
【详解】二项式的展开式的通项为，
对于A，当时，则任意项的系数均为0（除常数项），故A错误；
对于B，若，则最后两项为，有，与已知矛盾，故，故B正确；
对于C，若，，则各项系数为，，，
，，，，，，，，故第7项的系数最大，故C正确.
对于D，若，，则所有奇数项系数和为，故D正确.
故选：BCD.
43．
【分析】首先根据题意，可得，进而可得其二项式展开式的通项，令x的指数为3，可得r的值，最后将r的值代入通项可得其展开式中的项，即可得答案．
【详解】由题知，则，
令，得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
44．
【分析】利用通项公式求解.
【详解】展开式的中间项为．
故答案为：
45．
【分析】利用，先求出，进而利用二项展开式的通项公式，直接计算求解即可
【详解】由可得，或，
解得或（舍去），对于，其展开式通项为：，所以，令时，可得常数项为
故答案为：
46．
【分析】求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案．
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，
令，可得，即展开式的常数项是．
故答案为：．
47．15
【分析】利用二项展开式的通项公式计算可得.
【详解】解：，令，解得，所以常数项为
故答案为：15.
48．
【分析】令，求得a，再利用通项公式求得x项求解.
【详解】解：因为的展开式中各项系数的和为，
所以令，得，
解得，
所以二项式为，
则展开式中含x的项为，
故x的系数为-120，
故答案为：
49．（1）证明见解析；（2）；；.
【分析】（1）先根据二项展开式通项公式得第三项的系数，再解方程得，最后根据二项展开式通项公式写出前三项系数，根据等差中项性质即可判断；
（2）先根据二项展开式通项公式得的指数，再根据的指数为整数确定对应项，即得结果.
【详解】解：（1）
∵，（负值舍去）
所以前三项分别为，，

所以前三项系数分别为1，4，7，前三项系数成等差数列.
（2），
∴，展开式中的指数为整数，
所以展开式中所有有理项为：、、.
【点睛】本题考查二项展开式通项公式、等差数列判断，考查基本分析求解能力，属基础题.
50．（1）n=10；（2）；（3）6项．
【解析】（1）写出二项展开式的通项，根据第九项为常数项求出n的值；
（2）令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，即可得解；
（3）要使2n-k，即为整数，得出k的取值.
【详解】二项展开式的通项Tk+1==(-1)k．
（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n-k=0，解得n=10．
（2）令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，
所以x5的系数为(-1)6．
（3）要使2n-k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
51．
【分析】利用二项展开式，求得第1、2、3项，根据题意列出不等式，求出的范围.
【详解】解：通项公式，则，
得，化简得，
解得.
【点睛】本题考查了二项式定理，通项公式的求解与应用是解决问题的关键，属于容易题.
52．（1）（2）
【分析】（1）求出二项展开式的通项，根据选择的条件求出的值，即可知道二项式系数最大的项；
（2）在通项公式中，令的指数为，求出，再根据通项公式可求出结果.
【详解】通项公式为，，
若填条件①，
（1）依题意得，即，
所以，整理得，
所以或（舍），
因为，所以的展开式共有项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以.
（2）通项公式为，
令，得，
所以展开式中含的项为.
若填条件②，
（1）依题意得，所以，
所以，即，
所以或（舍），
因为，所以的展开式共有项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以.
（2）通项公式为，
令，得，
所以展开式中含的项为.
若填条件③，
（1）依题意得，则，
所以，所以，
因为，所以的展开式共有项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以.
（2）通项公式为，
令，得，
所以展开式中含的项为.
【点睛】关键点点睛：掌握二项展开式的通项公式和二项式系数的性质是解题关键.
53．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）利用二项式定理求得的展开式的第二项，可求得数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得；
（2）分和两种情况讨论，利用等比数列的求和公式可求得；
（3）分和两种情况讨论，利用二项式定理可求得的表达式.
【详解】（1）的展开式的第二项为，
所以，数列的公比为，则；
（2）当时，则，；
当时，.
综上所述，；
（3）当时，，，
此时，；
当时，，
此时，.
综上所述，.
【点睛】本题考查等比数列通项的求解、等比数列求和以及利用二项式定理求和，考查计算能力，属于中等题.
54．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求出，建立不等式组求解，结合是正整数求解；
（2）由题意得，根据二项展开式，利用放缩法即可求证.
【详解】（1）由二项展开式通项及题意得，
解得，，
所以.
（2）由题意得，，
．
所以当时，．