微专题 全称量词命题与存在量词命题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 全称量词命题与存在量词命题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共25页。

微专题：全称量词命题与存在量词命题
【考点梳理】
1.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x).
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x).
2. 全称量词命题和存在量词命题的否定
(1)全称量词命题的否定
全称量词命题
否定
结论
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，
p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
(2)存在量词命题的否定
存在量词命题
否定
结论
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
3 关键量词的否定
(1)常用全称量词的否定
每一个
所有的
一个也没有
任意
存在一个
有的
至少有一个
存在
(2)常用存在量词的否定
至少有n个
至多有一个
存在
至多有n－1个
至少有两个
任意
(3)一些常见判断词的否定
是
一定是
都是
大于
小于
不大于
不是
不一
定是
不都是
小于
或等于
大于
或等于
大于



【题型归纳】
题型一：根据全称命题的真假求参数
1．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
2．已知命题：，，命题：，恒成立，若命题，中至少有一个为假命题，则实数的取值范围为（       ）．
A． B．
C． D．
3．若命题“，”是真命题，则实数k的取值范围是（     ）
A． B．
C． D．


题型二：根据特称（存在性）命题的真假求参数
4．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
5．命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
6．若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．


题型三： 含有一个量词的命题的否定
7．命题“，”的否定是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
8．命题“，”的否定是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
9．下列命题正确的是（       ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”为假命题，则命题p与命题q都是假命题
C．“”是“”成立的必要不充分条件
D．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”


题型四：含有一个量词的命题的否定的应用
10．如果命题“使得”是假命题，那么实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
11．已知命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
12．已知命题p：x∈{x|1 A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3




【双基达标】
13．下列结论中，错误的是（       ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．已知命题，则
C．若复合命题是假命题，则都是假命题
D．命题“若，则的逆否命题“若，则
14．下列说法中，正确的个数为（       ）
①若，是非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的充要条件；②命题“在中，若，则”的逆否命题为真命题；③已知命题：，则它的否定是：.
A．0 B．1 C．2 D．3
15．设命题，则的否定为（       ）
A． B．
C． D．
16．已知命题，则为（　　）
A． B．
C． D．
17．已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
18．命题的否定是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
19．命题“，都有”的否定为（       ）
A．，使得 B．，使得
C．，都有 D．，使得
20．命题“对任意，都有”的否定是
A．对任意，都有 B．对任意，都有
C．存在，使得 D．存在，使得
21．下列说法错误的是（       ）
A．命题：，，，则：，，
B．“，”是“”成立的充分不必要条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
22．已知命题，则的否定为（       ）
A． B． C． D．
23．命题“，”的否定是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
24．下列命题正确的是（       ）
A．已知命题，则
B．“是“直线与直线垂直”的充分不必要条件
C．若随机事件互斥，且发生的概率均不为且则实数的取值范围为
D．在跳水比赛中共有7位评委分别给选手打分，在评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分､1个最低分，得到5个有效评分.则5个有效评分与7个原始评分相比，中位数､平均数､方差中，不变的数字特征是平均数
25．设命题p：所有正方形都是平行四边形，则p的否定为（       ）
A．所有正方形都不是平行四边形
B．有的平行四边形不是正方形
C．有的正方形不是平行四边形
D．不是正方形的四边形不是平行四边形
26．下列说法错误的是（       ）
A．“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“，”的否定是“，”
D．若“”为假命题，则均为假命题
27．若命题“”是假命题，则实数a的范围是（       ）
A． B． C． D．
28．命题“，”的否定是（       ）．
A．， B．，
C．， D．，
29．命题“，”的否定（       ）
A．， B．，
C．， D．，
30．已知命题关于的方程没有实根；命题，.若和都是假命题，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

【高分突破】
一、 单选题
31．已知命题，则命题为（       ）
A． B．
C． D．
32．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
33．下列说法错误的是（       ）
A．命题“，”，则：“，”
B．已知a，，“且”是“”的充分而不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
34．命题“”的否定是（       ）
A． B．
C． D．
35．已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
36．已知命题,，则
A．， B．，
C．， D．，
37．命题“，”的否定是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
38．下列命题正确的是（       ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
39．下列叙述正确的是（       ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充要条件
C．的展开式中的系数为
D．在空间中，已知直线满足，，则
40．下列说法正确的有（       ）
A．，
B．，
C．若，，则，
D．若，，则，
41．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
三、填空题
42．能够说明“，”是假命题的一个x值为__________．
43．若“，”为假命题，则实数的最小值为___________.
44．命题“”为真，则实数a的范围是__________
45．若“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
46．已知命题，是假命题，则实数的取值范围是________.(用区间表示)
47．已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.
四、解答题
48．设命题，，命题，.若p、q都为真命题，求实数m的取值范围.
49．已知，.，.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围．
50．已知函数．
(1)若为偶函数，求；
(2)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围．
51．已知，设恒成立，命题，使得.
（1）若是真命题，求的取值范围；
（2）若为假，为真，求的取值范围.
52．已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据命题是真命题，由，恒成立求解.
【详解】
因为命题“，”是真命题，
所以，恒成立，
所以，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
根据命题的真假，分别计算参数的取值范围，进而得解.
【详解】
因为与至少有一个是假命题，
由是假命题得：，解得；
由是假命题得：，解得或，
，
故选：B.
3．B
【解析】
【分析】
讨论、，根据二次不等式恒成立求参数范围即可.
【详解】
当时显然恒成立，
当时要使命题为真，则：
可得；而时不可能恒成立，
综上，k的取值范围是.
故选：B
4．B
【解析】
【分析】
由题可得恒成立，由即可求出.
【详解】
因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
5．A
【解析】
【分析】
根据特称命题与全称命题的关系，结合一元二次不等式恒成立问题即可求解.
【详解】
因为命题“，使得”为假命题，则
命题“，使得”为真命题，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
6．D
【解析】
【分析】
写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出，从而求出实数a的取值范围.
【详解】
因为“，使得”为假命题，
则“，使得”为真命题，
因为，
所以实数a的取值范围是
故选：D
7．A
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】
原命题的否定是：，，A正确．
故选：A
8．C
【解析】
【分析】
根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；
【详解】
解：命题“，”为存在量词命题，其否定为：，；
故选：C
9．A
【解析】
【分析】
根据充分条件的判断方法可以判断A和C，根据“且”命题真假判断的性质可判断B，根据含有一个量词的命题的否定的方法可判断D.
【详解】
A．由可得，从不能得到，故A正确；
B．命题“”为假命题有三种情况：p真假、p假真、假假，B不正确；
C．从“”可得“”，但从“”不能得“”，所以C不正确；
D.“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”，故D不正确；
故选：A．
10．B
【解析】
【分析】
特称命题是假命题，则该命题的否定为全称命题且是真命题，然后根据即可求解.
【详解】
依题意，命题“使得”是假命题，
则该命题的否定为“”，且是真命题；
所以，.
故选：B
11．A
【解析】
【分析】
首先写出特称命题的否定，再根据不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】
由题意可知“ ， ”为真命题，
所以 ，解得 ．
故选：A
12．D
【解析】
【分析】
根据给定条件写出命题，再由全称量词命题是真命题即可得解.
【详解】
因命题p：∃x∈{x|1 又是真命题，即x∈{x|1x恒成立，于是得a≥3，
所以实数a的取值范围是a≥3.
故选：D
13．C
【解析】
对A，可利用子集法确定；对B,D直接利用定义；对C，根据复合命题的真假判断；
【详解】
对A，或，所以“”“”，反之不成立，故A正确；
对B，D都是可以直接判断为正确的.
对C，复合命题假，只需至少有一假就可以了，所以C错误.
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
①用平面向量的数量积和夹角的应用判断；②用正弦定理以及大边对大角判断；③用含有特称量词的命题的否定判定即可.
【详解】
对于①，因为两向量是非零向量，当两向量同向时，依然可以得到，故①错；对于②，，所以②对；对于③，：，，所以③错；
故选：B.
15．B
【解析】
【分析】
由特称命题的否定可直接得到结果.
【详解】
命题，则的否定为：.
故选：B
【点睛】
全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．
16．B
【解析】
【分析】
根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】
根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“”的否定为：“”.
故选：B．
17．C
【解析】
【分析】
首先求出命题为真时参数 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件；
【详解】
解：因为，为真命题，所以，，因为函数在上单调递增，所以，所以
又因为
所以命题“，”是真命题的一个充分不必要条件为
故选：C
【点睛】
本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题.
18．A
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定形式直接求解.
【详解】
特称命题的否定是全称命题，
即命题“”的否定是“”.
故选：A
19．A
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定表示方法选出答案即可.
【详解】
命题“ 都有”的否定为：
“ 使得”，所以选项A正确.

故选：A.
20．D
【解析】
【分析】
根据全称命题的直接得到其否定命题.
【详解】
解：命题“对任意，都有”的否定是存在，使得.
故选：D.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，是基础题.
21．C
【解析】
【分析】
选项A：根据全称命题的否定为特称命题即可判断选项A正确；
选项B和选项C：可以通过举例说明；
选项D：根据韦达定理两根之积小于0进行判断.
【详解】
选项A：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：，，，则：，，，故选项A正确；
选项B：当，时可以得到；但由不一定得到，，例如：，满足，但不满足，，故“，”是“”成立的充分不必要条件，选项B正确；
选项C：当时满足，但不满足；当时满足但不满足，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选项C错误；
选项D：若关于的方程有一正一负根，设为其两根，则，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，选项D正确.
故选：C.
22．C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定可得答案.
【详解】
的否定为，
故选：C
23．D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定直接写出结果即可.
【详解】
命题“，”的否定是，.
24．B
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定可判断选项A，根据充分不必要条件的定义可判断选项B，根据概率的性质列不等式可判断选项C，根据中位数的定义可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：命题，则，故选项A不正确；
对于选项B：直线与直线垂直则：
即可得：或，
所以“是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，故选项B正确；
对于选项C：由题意可得：，解得：，实数的取值范围为故选项C不正确；
对于选项D：从7个原始评分中去掉1个最高分､1个最低分，得到5个有效评分.则5个有效评分与7个原始评分相比，中位数､平均数､方差中，不变的数字特征是中位数，故选项D不正确，
故选：B.
25．C
【解析】
【分析】
全称命题的否定是特称命题，把所有改为存在，把结论否定
【详解】
p的否定为“有的正方形不是平行四边形”.
故选：C.
26．D
【解析】
【分析】
根据逆否命题的定义、集合间的关系、全称命题的否定、为假命题的定义，对选项进行一一验证，即可得答案.
【详解】
对A，根据逆否命题的定义可知命题正确，故A正确；
对B，若，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对C，因为全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故C正确；
对D，若“”为假命题，则、中只要有一个为假命题，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题真假性的判断，考查对概念的理解与应用，属于基础题.
27．A
【解析】
根据命题的否定为真命题可求.
【详解】
若命题“”是假命题，
则命题“”是真命题，
当时，，所以.
故选：A.
28．D
【解析】
【分析】
由特称命题的否定可得出结论.
【详解】
由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
29．C
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题可得.
【详解】
根据特称命题的否定为全称命题，
则“，”的否定为，.
故选：C.
30．D
【解析】
【分析】
计算出当命题为真命题时实数的取值范围，以及当命题为真命题时实数的取值范围，由题意可知真假，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
若命题为真命题，则，解得；
若命题为真命题，，，则.
由于和都是假命题，则真假，所以，可得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.
31．C
【解析】
【分析】
给定命题是全称量词命题，由全称量词命题的否定的意义即可得解.
【详解】
因是全称量词命题，则命题为存在量词命题，由全称量词命题的否定意义得，
命题：.
故选：C
32．C
【解析】
【分析】
等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.
【详解】
解：命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C
33．C
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，命题p：“，”，则，：“，”满足命题的否定形式，所以A正确；
对于B选项，已知a，，“且”能够推出“，“”不能推出“且”，所以B正确；
对于C选项，时，成立，反之，时，或，所以C不正确；
对于D选项，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D正确．
故选：C．
34．C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题判断即可.
【详解】
根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.
故选：C
35．A
【解析】
由题可得命题p的否定为真命题，即可由此求解.
【详解】
为假命题，
，为真命题，
故恒成立，
在的最小值为，
∴.
故选：A.
36．A
【解析】
【分析】
根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，
则，，故选A．
【点睛】
本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
37．B
【解析】
【分析】
由特称命题的否定：将存在改任意，并否定原结论，即可得答案.
【详解】
由特称命题的否定为全称命题，
所以原命题的否定为，.
故选：B
38．ACD
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的恒成立问题结合必要不充分条件的定义判断A；由且时，判断B；解不等式结合充分不必要条件的定义判断C；由命题“”是真命题，再由判断D.
【详解】
对于A，当时，显然不成立；当时，有，解得，故A正确；
对于B，当且时，，则“且”是“”的充分条件，故B错误；
对于C，由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，命题“”是假命题，则命题“”是真命题，即在上恒成立，即，故D正确；
故选：ACD
39．AC
【解析】
【分析】
对于A运用全称命题否定形式的相关知识判断；对于B根据对数函数相关知识判断；对于C根据二项式展开式相关知识即可判断；对于D直观想象即可得出直线和的位置关系.
【详解】
对于A，命题“，”为全称命题，其否定是“，”，故A正确.
对于B，充分性：当时，显然不成立，故充分性不满足；必要性：当时，，显然此时成立，故必要性满足.所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误.
对于C，的展开式中的系数为，故C正确.
对于D，若在空间中直线满足，，则和相交或异面或平行，故D错误.
故选：AC
40．BC
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断AB选项的正误；利用全称命题、特称命题的否定可判断CD选项的正误.
【详解】
对于A选项，取，则，A错；
对于B选项，取，则成立，B对；
对于C选项，由特称命题的否定可知，若，，则，，C对；
对于D选项，由全称命题的否定可知，若，，则，，D错.
故选：BC.
41．BD
【解析】
【分析】
求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.
【详解】
命题“"等价于，即命题“”为真命题所对集合为，
所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，显然只有Ü，{4}Ü,
所以选项AC不符合要求，选项BD正确.
故选：BD
42．3
【解析】
【分析】
取代入验证即可得到答案.
【详解】
因为，而，
∴说明“，”是假命题．
故答案为：3
【点睛】
本题考查命题与简易逻辑，属于基础题．
43．
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题，可得“，”为真命题，然后转化为恒成立问题求解.
【详解】
因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以对恒成立，即.
故答案为：.
44．
【解析】
【分析】
将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围.
【详解】
由题意知：不等式对恒成立，
当时，可得，恒成立满足；
当时，若不等式恒成立则需，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：
（1）先分析的情况；
（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；
（3）综合（1）（2）求解出最终结果.
45．
【解析】
【分析】
先得到原命题的否定为真命题，再根据不等式恒成立即可求解.
【详解】
因为“”为假命题，
所以恒成立，
即在恒成立，
所以且，
又因为在上是增函数，
所以，
所以.
故答案为：.
46．
【解析】
先得到命题，是真命题，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
因为命题，是假命题，
所以命题，是真命题，
即不等式对任意恒成立，
所以只需，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
47．
【解析】
【分析】
根据任意性的定义，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】
当时，，
因为“，使得”是真命题，所以.
故答案为：
48．
【解析】
先求出命题为真时，的取值范围，再取交集可得答案.
【详解】
若命题，为真命题，则，解得；
若命题，为真命题，则命题，为假命题，
即方程无实数根，
因此，，解得.
又p、q都为真命题，所以实数m的取值范围是.
【点睛】
本题考查全称命题与特称命题的真假求参数值、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
49．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据为真命题，则，解之即可；
（2）分别求出，是真命题时，的范围，再分是真命题，是假命题时和是假命题，是真命题时，两种情况讨论，即可得出答案.
(1)
解：由，，
若为真命题，
则，解得或，
所以的取值范围为；
(2)
解：若为真命题时，
则对恒成立，
所以，
若，一个是真命题，一个是假命题，
当是真命题，是假命题时，
则或，解得，
当是假命题，是真命题时，
则，解得，
综上所述.
50．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的定义直接求解即可；
（2）由题知命题“，”为真命题，进而得对，且恒成立，再分离参数求解即可得的取值范围是
(1)
解：因为函数为偶函数，
所以，即，
所以，即，
所以.
(2)
解：因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，
所以，对，且恒成立，
所以，对，且恒成立，
由对勾函数性质知，函数在上单调递增，
所以，且，即实数的取值范围是.
51．（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）由为真，求得，由为真，求得或，结合是真命题，得出为真，即可求解；
（2）由为假，为真，得出p，q同真同假，分类讨论，即可求解.
【详解】
（1）若为真，即恒成立，
可得，解得，
若为真，即，使得，
则，解得或，
若是真命题，则为真，可得，所以，
所以的取值范围.
（2）因为为假，为真，所以一真一假，即p，q同真同假，
当都真时，由（1）知，
当都假时，，即，
综上可得或，故a的范围为或.
52．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；
（2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．
【详解】
解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.
实数的取值范围是.
(2)由(1)知命题为真命题时，.
命题为真命题时，，解得为真命题时，.
，解得，即实数的取值范围为.