微专题 三角函数的定义域、值域 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 三角函数的定义域、值域 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共32页。

微专题：三角函数的定义域、值域
【考点梳理】
函数性质
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
图象(一
个周期)



值域
[－1，1]
[－1，1]
R



【题型归纳】

题型一：求三角函数的定义域
1．函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
2．函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为（　　）
A． B．且
C． D．或

题型二：求三角函数的值域和最值
4．已知函数，则该函数为（       ）
A．奇函数，最小值为 B．偶函数，最大值为
C．奇函数，最小值为 D．偶函数，最小值为
5．已知函数，则的（       ）
A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为
C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为
6．函数的值域为（       ）
A． B．
C． D．

题型三：由三角函数的值域（最值）求参数
7．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（       ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．已知函数的最大值为1，则实数的值为（       ）
A．-2 B．-1 C．2 D．-2或2






【双基达标】
10．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（       ）
A． B． C． D．
11．函数的值域是（       ）.
A． B． C． D．
12．函数的最小值为（       ）
A． B． C． D．
13．已知函数，当取得最小值时，等于（       ）
A．1 B． C． D．
14．已知函数，若存在实数、，使得，且，则的最大值为（       ）
A．9 B．8 C．7 D．5
15．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（       ）
A． B． C． D．
16．下列函数中与函数的值域相同的是（       ）
A． B． C． D．
17．已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
18．函数的部分图大致为（       ）
A． B．
C． D．
19．函数的最大值为（       ）
A． B． C． D．3
20．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数             ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点       ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
21．在中，，则的形状是（       ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
22．函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则的最小值为（       ）
A． B． C．2 D．3
23．如果函数的一个零点是，那么可以是（       ）
A． B． C． D．
24．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
25．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．若直线的倾斜角满足，且，则其斜率满足（       ）
A． B．
C．或 D．或
27．定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
28．函数在区间上的值域为（       ）
A． B． C． D．
29．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
30．函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
31．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　）

A．3 B． C． D．
32．设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
33．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
34．已知函数 的图象关于直线对称，则（       ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
35．函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（       ）

A．的最小正周期为
B．是的最小值
C．在区间上的值域为
D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
36．已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（       ）

A．的振幅为2 B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数 D．在上的值域为
37．已知函数，其中表示不超过的最大整数，下列关于说法正确的是（       ）
A．函数为偶函数
B．的值域为
C．为周期函数，且周期
D．与的图象恰有一个公共点
三、填空题
38．已知函数，的图像在区间上恰有三个最低点，则的取值范围为________．
39．中，角，，的对边分别为，，，其中为钝角，且，那么的范围是______.
40．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________.
41．函数，则的最小值为__________.
42．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在上的值域为____________．
43．如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是__________．

四、解答题
44．已知函数.
(1)若，且，求的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
45．已知向量,设函数
（1）求的最小正周期．
（2）求函数的单调递减区间．
（3）求在上的最大值和最小值．
46．已知函数的最大值为.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求函数的值域.
47．已知函数，若______，写出的最小正周期，并求函数在区间内的最小值.
请从①，②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.若选择多个条件分别作答，按第一个判分.
48．已知向量，函数
（1）求函数的最大值及最小正周期；
（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域．

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
解不等式可得出函数的定义域.
【详解】
由，可得.
解得.
故的定义域为.
故选：C.
2．D
【解析】
【分析】
由且可求出函数的定义域
【详解】
由题意得且，
由，得，
由，得，
所以或，
所以函数的定义域为，
故选：D
3．C
【解析】
【分析】
由对数式的真数大于，分式的分母不为，联立不等式组求解．
【详解】
解：由，得，
∴且．
∴函数的定义域为．
故选：C．
4．D
【解析】
【分析】
根据奇偶性定义判断奇偶性，由二倍角公式化为关于的二次函数，由此可得最小值．
【详解】
由，定义域为，
，是偶函数，
又，
时，．
故选：D．
5．B
【解析】
【分析】
先化简函数，再结合周期公式求解周期，根据解析式求解最值.
【详解】
因为，
所以最小正周期为,最小值为.
故选：B.
6．A
【解析】
【分析】
作换元,根据已知求得的范围，然后根据正切函数的性质得到所求函数值域，进而作出判定.
【详解】
设,因为，所以，
因为正切函数在上为单调递增函数，且,
所以．
∴函数的值域为，
故选：A．
7．D
【解析】
【分析】
根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.
【详解】
，因为，所以，因为，所以.
正弦函数在一个周期内，要满足上式，则，
所以，所以的取值范围是.
故选：D
8．A
【解析】
【分析】
因为，讨论或，结合函数图像理解分析．
【详解】
∵，则
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以，结合函数与在上的图像可知，存在唯一的，使得.
综上可知，若的最大值为，则的取值最多有2个.
故选：A．

9．D
【解析】
【分析】
分和，讨论求解.
【详解】
解：因为，且函数的最大值为1，
所以当时，，当时，，
所以数的值为2或-2，
故选：D
10．C
【解析】
【分析】
化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由
得可判断④.
【详解】
由题意，，所以，故①正确；
为偶函数，故②错误；当
时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有
成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为
，故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.
11．B
【解析】
【分析】
判断在上的单调性，确定的最大值和最小值，从而确定值域；
【详解】
在上单调递增，在上单调递减
在上单调递增，在上单调递减
当时取最大值
且当时取最大值
函数的值域是
故选：B
12．C
【解析】
利用三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的最值，即可求得结果.
【详解】
原式

，所以函数的最小值为.
故选：C
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式以及求函数的最值，属综合基础题.
13．A
【解析】
【分析】
由正弦函数的性质，先求出当取得最小值时x的取值，从而求出.
【详解】
函数，当取得最小值时，有，故，．
，．
故选：A．
14．A
【解析】
【分析】
本题首先可根据正弦函数性质得出、，然后根据得出，根据得出，最后根据得出，即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以，，
，即，，
，即，，
则，
因为，所以，，
因为，所以的最大值为，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据正弦函数性质求参数，能否根据求出、是解决本题的关键，考查计算能力，是难题.
15．C
【解析】
【分析】
先利用图象变换和对称性求出值，再利用整体思想和正弦函数的单调性和图象求其最值.
【详解】
将函数的图象向右平移个长度单位后
得到的图象，
因为的图象关于点对称，
所以，
所以，即，
又因为，所以，
即，
因为，
所以，
则，
即在上的最小值为.
故选：C.
16．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数，二次函数，对数函数，指数函数，正切函数的性质分别求出各函数的值域，由此作出判断.
【详解】
由对数函数性质可得函数的值域为R，
由二次函数性质可得函数的值域为，
由指数函数性质可得函数的值域为，
由正切函数性质可得函数的值域为R,
由反比例函数性质可得函数的值域为，
∴ 函数与的值域相同，
故选：C.
17．D
【解析】
【分析】
利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答.
【详解】
当直线的倾斜角时，直线的斜率，因，
则当时，，即，当时，，即，
所以直线的斜率k的取值范围是.
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性的性质，可判断AB，再利用函数解析式可得排除D.
【详解】
因为函数，为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除AB；
又，
∴，故排除D.
故选：C.
19．B
【解析】
利用诱导公式及二倍角公式可得，令，将函数转化为，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解；
【详解】
解：因为
所以
令
则
则
令，得或
当时，；时
所以当时，取得最大值，此时
所以
故选：B
【点睛】
本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值．
20．C
【解析】
【分析】
化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④       正确，故选C．
【点睛】
画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．

21．D
【解析】
【分析】
在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．
【详解】
在中，，
又由余弦定理知，，
两式相加得：，
（当且仅当时取“” ，又，
（当且仅当时成立），为的内角，
，，又，
的形状为等边△．
故选：．
22．A
【解析】
【分析】
当时，函数取得最大值，则，可得即可算最小值．
【详解】
由题意，知当时，函数取得最大值，则，所以，所以，又，所以，
故选：A.
23．A
【解析】
【分析】
根据余弦函数的图像与性质，列出方程，结合选项，即可求解.
【详解】
由题意，函数的一个零点是，可得，
即，解得，
当时，可得.
故选：A.
24．C
【解析】
【分析】
求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】

,
当时，，所以，
故的值域为，
因为在上有解即在上有解，
故即，
故选：C.
25．C
【解析】
【分析】
由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
26．C
【解析】
【分析】
根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.
【详解】
斜率，因为，且，
故或，即或，
故选：C.
【点睛】
本题考查倾斜角与斜率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为，则当时，直线的斜率不存在，当时，斜率.
27．B
【解析】
【分析】
设，则,由即得解.
【详解】
由题意知，．
设，则．
又，∴，∴．
故选：B
28．B
【解析】
先将函数转化为，再根据，利用余弦函数的性质求解.
【详解】
函数
因为，
所以，
，
所以函数的值域为，
故选：B
29．B
【解析】
首先根据，求，利用参变分离，变形为恒成立，转化为求函数的最大值问题.
【详解】
由题意，，解得，则，
则当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，时，，
所以在上是减函数，在是增函数，，
又因为当时，取得最大值1，
所以当时，取得最大值，
所以.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，转化为求函数最值问题，本题的关键是参变分离后，发现的最大值和的最小值同时取得，这样易求的最大值.
30．A
【解析】
【分析】
根据求解，即可得出结果.
【详解】
为使函数有意义，只需，
即，
所以函数定义域为：.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查求正切型函数的定义域，熟记正切函数定义域即可，属于基础题型.
31．B
【解析】
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．
【详解】
以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，
圆的方程为，可设，
所以．
故．
所以的最大值为
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.
32．C
【解析】
由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．
【详解】
∵为锐角三角形，且，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
由，
即，
∴，
令，则，
又∵函数在上单调递增，
∴函数值域为，
故选：C
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理和运用，考查三角函数的恒等变换，以及余弦函数的性质，考查化简变形能力，属于难题．
33．C
【解析】
【分析】
由点到直线的距离表示出，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得，即可求出的最大值.
【详解】
由题意，点到直线的距离为，
则，
其中，，
所以当且仅当，时，取得最大值，
即.
故选：C
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.
34．AC
【解析】
利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.
【详解】
因为的图象关于直线对称，
所以 ，
得，，因为 ，所以，
所以，
对于A：，所以为奇函数成立，故选项A正确；
对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；
对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；
对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到
，故选项D不正确；
故选：AC
【点睛】
本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题
35．ABD
【解析】
【分析】
利用图像过点，求得函数解析式为，利用正弦型函数的周期判断A；利用可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D.
【详解】
函数的图像过点，可得，
即，则，即，
所以函数解析式为
对于A，函数的周期，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，，利用正弦函数的性质知，可得，故C错误；
对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，故D正确；
故选：ABD
36．ABC
【解析】
【分析】
根据所给图象，求出函数的解析式，再逐一验证各选项判断作答.
【详解】
观察图象得：A=2，周期T，则，
由得，而，则，
所以有，显然A正确；，B正确；
向右平移得是奇函数，C正确；
时，，，，D错误.
故选：ABC
【点睛】
思路点睛：由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ=0(或ωx0＋φ=π)，即可求出φ.
37．CD
【解析】
A.假设函数为偶函数，则，由的图象关于对称判断； B. 根据表示不超过的最大整数，得到判断；C.易得 判断；D. 利用的值域为，分别令，，判断.
【详解】
A.若函数为偶函数，则，所以的图象关于对称，而，，故错误；
B. 因为表示不超过的最大整数，所以，所以的值域为，故错误；
C. ，所以，则为周期函数，且周期，故正确；
D. 由B知：的值域为，令，解得或，当时，，当时，，此时两函数有一个公共点，令，解得或，当时，，当时，，此时两函数无公共点，令，解得或，当时，，当时，，此时两函数无公共点，综上：与的图象恰有一个公共点，故正确；
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：本题关键是理解的含义，得到，再根据余弦函数的性质即可得解.
38．
【解析】
【分析】
直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调递区间的应用求出结果．
【详解】
解：，，
．
根据正弦型函数图象的特点知，轴左侧有1个或2个最低点．
①若函数图象在轴左侧仅有1个最低点，则，
解得，
，，此时在轴左侧至少有2个最低点．
函数图象在轴左侧仅有1个最低点不符合题意；
②若函数图象在轴左侧有2个最低点，则，解得，
又，则，
故，
时，在，恰有3个最低点．
综上所述，．
故答案为：．
39．
【解析】
【分析】
先利用正弦定理实现边化角，整理条件得到，再根据为钝角，确定角的范围，从而得出的范围.
【详解】
在中，根据正弦定理，可将条件化为.
把代入整理得，.
所以或，解得或(舍去).
又为钝角，所以
由，解得.
所以的范围.
故答案为：.
40．
【解析】
根据题意可知，设，，当时，取最小值，即.进而得出结论.
【详解】
解：由题意可知.
设，.令
当时，取最小值，即.
因对任意实数，不等式恒成立，即恒成立，
则，则，即
故答案为：.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，考查三角函数化简，结合换元法解决最值，属于中档题.
41．
【解析】
先根据二倍角公式和诱导公式将函数化简为的形式即可求出答案.
【详解】
因为，
所以当时，函数有最小值，最小值为，
故答案为：.
42．
【解析】
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在的值域．
【详解】
将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，
若函数为偶函数，则，，故函数．
，，，，，，，
则函数在的值域为，
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设，则，即可表示出点坐标，从而得到，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：如图以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，则，，则，
过点、分别作轴、轴，交轴于点、，显然与全等，所以，，
从而得到，即，
所以

所以当，即时

故答案为：
44．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得，结合即可求解；
（2）根据的范围求得的范围，只需即可求解.
(1)
因为，所以，即，
又由，得，
所以，解得.
(2)
对，有，
所以，可得，
所以要使对任意的恒成立，
只需，
所以，解得：.
故所求实数的取值范围为.
45．(1)；(2)．(3) 最大值为1,最小值为．
【解析】
【分析】
先由题意得到；
（1）根据周期计算公式，即可求出结果；
（2）根据正弦函数的单调区间得到，求解，即可得出结果；
（3）先由题意得到，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】
由已知可得：
,
（1）的最小正周期；
（2）由,可得,
的单调递减区间为．
（3）,,
,
的最大值为1,最小值为．
【点睛】
本题主要考查求三角函数的周期、单调区间，以及最值等，熟记正弦函数的性质即可求解，属于常考题型.
46．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，ωx＋φ整体替换进行单调区间的求解；
(2)求出ωx＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒
(1)
．
由，解得．
又，
则，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
(2)
由，则，所以，
所以，
所以函数的值域为．
47．见解析.
【解析】
若选①,化简可得,根据复合函数的单调性计算可求得结果;
若选②，化简可得,根据正弦型函数的性质，计算即可.
【详解】
若选①，则，最小正周期为，由可知，
由复合函数的单调性可知，当时，；
若选②，则，所以的最小正周期为，当时，，
所以当时，即当时，.
【点睛】
本题考查正弦型函数的化简及最值的求解问题，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
48．（1） 最大值为,最小正周期为；（2）
【解析】
【分析】
(1)由已知化简可得,可得最大值，利用周期公式可求的最小正周期;
(2)由图象变换得到,从而求函数的值域.
【详解】
(1)
.
所以函数的最大值为,最小正周期为
(2)由(1)得.
将函数的图象向左平移个单位后得到的图象.
因此，又，
所以，.
故在上的值域为.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换求解三角函数的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于向量数量积运算与恒等变换得，进而根据三角函数性质求解.