微专题 三角函数的周期性 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 三角函数的周期性 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共32页。

微专题：三角函数的周期性
【考点梳理】
1. 周期函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2. 关于周期性的常用结论
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一. 例如，2π，4π，6π，…以及－2π，－4π，－6π，…都是正弦函数的周期. 同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)＝2(x∈R).
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.
(3)周期函数的定义域是无限集.
(4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质. 因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在一个周期内的性质.
3. 正、余弦函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其半周期；图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是半周期；函数取最值的点与其相邻的零点距离为周期.
4.求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义；②利用公式y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为；③对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；④带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定.





【题型归纳】
题型一：求三角函数的周期
1．已知函数，则的（       ）
A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为
C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为
2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（       ）
A． B． C． D．
3．将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数（       ）
A．是奇函数，最小正周期为
B．是偶函数，最小正周期为
C．是奇函数，最小正周期为
D．是偶函数，最小正周期为


题型二：根据三角函数的周期求参数
4．已知函数的最小正周期为π，图象的一个对称中心为，则=（       ）
A． B． C． D．
5．已知奇函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（       ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
6．若函数图象的两个相邻最高点间的距离为，则在下列区间中单调递增的区间是（       ）
A． B． C． D．




【双基达标】
7．下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（       ）
A． B． C． D．
8．函数的最小正周期和最大值分别为（       ）．
A．，1 B．， C．， D．，
9．函数是一个（       ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
10．定义在上的函数，既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为（       ）
A． B． C． D．
11．已知函数，下面结论错误的是（       ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称
D．函数是偶函数
12．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（       ）
A． B．
C． D．
13．函数的最小正周期是，则（       ）
A．4 B．2 C． D．2或
14．已知函数，则（       ）
A．是偶函数 B．函数的最小正周期为
C．曲线关于对称 D．
15．函数是（       ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
16．设函数（其中）的大致图象如图所示，则的最小正周期为（       ）

A． B． C．2 D．4
17．在①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（       ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③
18．设函数，，则下列结论错误的是（       ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．不是单调函数
19．已知函数，则（       ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．的最大值为 D．的图象关于直线对称
20．函数是（       ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
21．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数 在上没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（       ）
A．5 B．7 C．9 D．11
23．设函数，则下列结论正确的是
A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点是 D．在单调递增
24．函数，则的最小正周期和最大值分别为（       ）
A． B． C． D．
25．若点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的值域为
C．的初相 D．在上单调递增

【高分突破】
一、 单选题
26．函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（       ）
A． B． C． D．
27．下列函数中最小正周期为π的偶函数是（       ）
A． B．
C． D．
28．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②最小正周期为的是（       ）
A． B． C． D．
29．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（       ）

A． B．
C． D．
30．关于函数描述正确的是（       ）
A．最小正周期是 B．最大值是
C．一条对称轴是 D．一个对称中心是
31．直线与函数的图像相交，则相邻两交点间的距离是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
32．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（       ）

A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，点到轴的距离的最大值为
D．当时，
33．已知函数在上是单调函数，则下列结论中正确的有（       ）
A．当时，的取值范围是
B．当时，的取值范围是
C．当时，的取值范围是
D．当时，的取值范围是
34．已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，的对称中心的坐标为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则
35．关于函数，下列说法正确的是（       ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．的图象的对称中心为
D．在区间上单调递增
三、填空题
36．关于函数有如下四个命题：
①的最小正周期为2；
②的图象关于点对称；
③若，则的最小值为；
④的图象与曲线共有4个交点．
其中所有真命题的序号是__________．
37．已知函数，给出下列四个结论：
①的值域是；
②是以为最小正周期的周期函数；
③在上有个零点；
➃在区间上单调递增．
其中所有正确结论的编号是___________．
38．设，则______.
39．函数的部分图象如图所示，给出以下结论：

① 的最小正周期为2；
② 的一条对称轴为；
③ 在，上单调递减；
④ 的最大值为；
则错误的结论为________.
40．已知不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数：___________.
①定义域为R；②；③；④.
41．函数的最小正周期满足，则自然数的值为_______．
四、解答题
42．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．
（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；
（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．
43．已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴；
(2)若，求函数的值域．
44．在①函数为偶函数；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
已知函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，且______．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的增区间．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
45．已知函数，求：
（1）的最小正周期；
（2）的单调递增区间；
（3）取最大值时自变量x的集合.
46．已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若且，求的值．

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先化简函数，再结合周期公式求解周期，根据解析式求解最值.
【详解】
因为，
所以最小正周期为,最小值为.
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
利用最小正周期为排除选项AC；利用在区间上单调递减排除选项D；选项B以为最小正周期，且在区间上单调递减，判断正确.
【详解】
选项A：最小正周期为.判断错误；
选项B：最小正周期为，且在区间上单调递减.判断正确；
选项C：最小正周期为.判断错误；
选项D：在区间上单调递增. 判断错误.
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
根据平移得出即可判断奇偶性和最小正周期.
【详解】
向左平移个单位后得，
所以为奇函数，最小正周期为.
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式公式将函数化简，根据函数的周期求出，再根据函数的对称性求出.
【详解】
解：因为，所以，得.
因为图象的一个对称中心为，所以，所以，得，
因为，所以，.
故选：A．
5．A
【解析】
【分析】
先由奇函数及周期求得，再由平移求得，再利用正弦函数的对称性求解即可.
【详解】
因为是奇函数，则，又，则，又因为最小正周期，，则，
则，则，令，
解得，当时，，时，，时，，即函数关于点对称，A正确，B错误；
令，解得，当时，，时，，C错误，D错误.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，再求其单调增区间即可.
【详解】
因为图象的两个相邻最高点间的距离为，
所以，解得，.
，解得，.
当，.
故选：A
7．B
【解析】
【分析】
由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.
【详解】
解：A选项：是周期为的偶函数，故A不正确；
B选项：是周期为的奇函数，故B正确；
C选项：，周期为且非奇非偶函数，故C不正确；
D选项：是周期为的奇函数，故D不正确.
故选：B.
8．D
【解析】
【分析】
利用和角的正弦、余弦公式化简，再利用三角函数的性质即可得解.
【详解】
依题意，，则，，
当，即时，，，
所以原函数的最小正周期和最大值分别为，.
故选：D
9．A
【解析】
【分析】
根据周期公式求函数的周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】
因为，所以函数的最小正周期为；
因为，所以函数是奇函数，
所以函数是一个周期为的奇函数.
故选：A.
10．B
【解析】
【分析】
将函数值利用周期性和奇偶性变形为，然后结合函数解析式求解出结果.
【详解】
因为的最小正周期是，所以，
又因为是偶函数，所以，
故选：B.
11．B
【解析】
【分析】
先化简函数得，然后逐个分析判断即可
【详解】
解：，
对于A，的最小正周期为，所以A正确；
对于B，在区间上是减函数，所以B错误；
对于C，因为，所以的图像关于直线对称，所以C正确；
对于D，因为，所以是偶函数，所以D正确，
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
根据最小正周期为可得，再根据三角函数图象平移的性质可得，结合三角函数图象的性质即可得值域
【详解】
因为的最小正周期为，所以．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，当，，所以的值域为．
故选：C
13．D
【解析】
【分析】
利用求出答案即可.
【详解】
的最小正周期是，
所以，解得.
故选：D
14．C
【解析】
根据二倍角公式及诱导公式可得，结合正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】
函数，
由于，即是奇函数，故A错误；
的最小正周期为，故B错误；
由于为最值，即曲线关于对称，故C正确；
由于，，，故D错误；
故选：C.
15．A
【解析】
【分析】
化简可得，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据周期公式，即可求得答案.
【详解】
由题意得，
所以，故为奇函数，
周期，
故选：A
16．C
【解析】
【分析】
根据图象求得，从而求得的最小正周期.
【详解】
由图象可知函数的最低点的纵坐标为-2，所以A=2，函数的图象与轴的交点的坐标为（0，1），所以，根据单调性可得：，所以.
又函数的图象与轴的正半轴的第一个交点的坐标为，所以，
则根据单调性可得，解得，
又，所以，所以的最小正周期为.
故选：C
17．C
【解析】
【分析】
根据正弦函数，余弦函数，正切函数的周期以及周期公式即可解出．
【详解】
最小正周期为的所有函数为②③，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为．
故选：C．
18．C
【解析】
【分析】
求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】
解：因为函数，，所以函数的值域为，，A正确．
因为，所以函数是偶函数，B正确．
因为，所以函数是周期函数，C不正确．
因为，不具有单调性，D正确．
故选：C．
19．D
【解析】
【分析】
利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
解：
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为当时，，故不正确；
对于选项，因为，是的最大值，
所以的图象关于直线对称，故正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.
20．C
【解析】
【分析】
先由诱导公式化简函数解析式，根据最小正周期公式求函数的最小正周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】
函数, 其最小正周期为
由，可得函数为奇函数.
故选：C
21．A
【解析】
根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．
【详解】
函数的图象先向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，
∴周期，
若函数在上没有零点，
∴ ，
∴ ，
，解得，
又，解得，
当k=0时，解，
当k=-1时，，可得，
.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.
22．C
【解析】
由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.
【详解】
由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴，
，①
，②
①-②得，
令，，则，，
，，的最小正周期，
在上单调， ，
，解得，
当时，，则②式为，，
又，，此时，
当时，，
在上不单调，不符合题意舍去；
当时，，则②式为，，
又，当时， ，此时，
当时，，单调递增；
当时，，此时，
当时，，单调递减.
的最大值为9.
故选：C
【点睛】
解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
23．B
【解析】
【分析】
根据周期公式计算可知，选项A错误；根据的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间的长度大于半个周期可知，选项D错误.
【详解】
因为，所以选项A错误；
因为，所以选项B正确；
因为，所以选项C错误；
的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.
24．B
【解析】
【分析】
化简已知得，即得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
解：函数

则的最小正周期为，最大值为.
故选：B
25．D
【解析】
【分析】
根据函数的性质求出，再根据得到函数的最小正周期、值域、单调性、初相，从而可得答案.
【详解】
由题意得，且函数的最小正周期为，
故.代入，得，
又，所以.
所以.
故函数的值域为，初相为.故A，B，C不正确，
当时，，而在上单调递增，所以在上单调递增，故正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查了由函数的性质求正弦型函数解析式中的参数，考查了正弦型函数的周期、值域、单调性，属于中档题.
26．C
【解析】
【分析】
求出最小正周期可得．
【详解】
函数的最小正周期是，因此相邻两条对称轴之间的距离是．
故选：C．
27．D
【解析】
求出选项中每个函数的最小正周期并判断其奇偶性，从而可得答案.
【详解】
A中,函数是奇函数，最小正周期为，不合题意；
B中,函数是偶函数，最小正周期为，不合题意；
C中,函数是偶函数，最小正周期为，不合题意；
D中,函数是偶函数，最小正周期为，符合题意．
故选：D.
28．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合余弦、正切函数图像性质，一一判断即可.
【详解】
对于选项AD，结合正切函数图象可知，和的最小正周期都为，故AD错误；
对于选项B，结合余弦函数图象可知，在上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知，在上单调递增，且最小正周期，故C正确.
故选：C.
29．C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
30．D
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换化简得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论.
【详解】
解：由题意得：




选项A：函数的最小正周期为，故A错误；
选项B：由于，函数的最大值为，故B错误；
选项C：函数的对称轴满足，，当时，，故C错误；
选项D：令，代入函数的，故为函数的一个对称中心，故D正确；
故选：D
31．C
【解析】
【分析】
利用正切函数的周期，即可求解.
【详解】
因为直线与函数的图像相交，根据正切函数的图像可知，相邻交点间的距离是一个周期，周期.
故选：C
32．AD
【解析】
【分析】
求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论.
【详解】
由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝，
代入可得＝6sin φ，∵，∴φ＝－.故A正确；
所以，当时，，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；
因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；
当时，，此时，点，，故D正确，
故选：AD．
【点睛】
本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.
33．AD
【解析】
【分析】
根据题意，结合正弦函数图像的周期性与单调性，即可求解.
【详解】
根据题意，易知，即，因此.
当时，，因为，所以，
又因为函数在上是单调函数，所以，
解得，故A正确，C错误；
当时，，因为，所以，
又因为函数在上是单调函数，所以，
解得，故B错误，D正确.
故选：AD.
34．AD
【解析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确；
对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误；
对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误；
对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案.
35．ACD
【解析】
【分析】
利用正切函数的周期性可判断A选项；解不等式可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项.
【详解】
对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，由，解得，
故函数的定义域为，B错；
对于C选项，由，解得，
所以，函数图象的对称中心为，C对；
对于D选项，当时，，故函数在区间上单调递增，D对.
故选：ACD.
36．①②④
【解析】
【分析】
结合正弦函数的性质判断各命题的真假．
【详解】
由图可得：，的最小正周期为2，①正确；
，的图象关于点对称，②正确；
离轴最近的对称轴为，所以若，则的最小值为，③错误；
在轴右边离最近的对称为，，而，在上是减函数，因此的图象在第一象限每个周期内与的图象都有两个交点，在区间上有两个交点，在区间上有两个交点，从而在上有4个交点，④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
思路点睛：本题考查正弦型三角函数的性质，解题方法是利用正弦函数性质求得的最小正周期，对称中心，对称轴，利用周期性确定函数图象交点个数，最终得出结论．
37．①②③
【解析】
【分析】
化简函数的解析式为，利用余弦型函数的值域可判断①的正误；利用周期的定义可判断②的正误；在上解方程，可判断③的正误；利用余弦型函数的单调性可判断④的正误.
【详解】
因为.
对于①，，则，①正确；
对于②，，
作出函数的大致图象，如图所示．

由图可知，函数的最小正周期为，②正确；
对于③，当时，，
由，可得，可得，
分别令、、、，可得、、、，
所以，函数在在上有个零点，③正确；
对于④，当时，，则，
所以，函数在区间上不单调，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
38．0
【解析】
【分析】
由已知求得，，，，由三角函数的特征求得函数的周期为4，由此可求得答案.
【详解】
解：因为，所以，，
，
，
又函数的周期为，
所以，
故答案为：0.
39．② ④
【解析】
根据图象判断函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：由图易知函数的最小正周期为，①正确；
由图知，左侧第一个零点为：，
所以对称轴为：，
所以不是对称轴，②不正确；
由图可知，
即时函数是减函数，
所以③正确；
因为正负不定，所以④不正确．
所以只有② ④不正确．
故答案为：② ④ .
40．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据，可得，进而联想到二倍角的余弦公式，再根据，可得函数的周期，然后根据得到答案.
【详解】
由，得，
联想到，可推测，
由，得，则，
又，所以（，为偶数，且），
则当k=2时，.
故答案为：（答案不唯一）.
41．或
【解析】
【分析】
由正切型函数的最小正周期可构造不等式，结合为自然数可求得结果.
【详解】
的最小正周期，，又为自然数，，
解得：，或.
故答案为：或.
42．（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案；
（2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案；
（3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即．
【详解】
（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下：
，
，
对任意，都有，
所以具有性质，
，，
所以，
所以不具有性质；
（2）若函数具有性质，
则有，即，
于是，结合知，
因此；
若，不妨设
由可知：
（记作*），其中
只要充分大时，将大于1
考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立，
综上所述必有，即；
再由，，从而，而
当时，，
而，显然两者不恒相等（比如时)
综上所述，不存在以及使得具有性质；
(3）由函数具有性质以及（2）可知，
由函数是以为周期的周期函数，有，
即，也即
由，及题设可知
在的值域为
当时，当及时，均有，
这与零点唯一性矛盾，因此或，
当时，，在的值域为
此时
于是在上的值域为，
由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同，
因而，即．
【点睛】
本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解.
43．(1)，（）
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换得到，再计算周期和对称轴得到答案.
（2），则，得到函数值域.
(1)
，
，对称轴满足：，对称轴为，.
(2)
，则，，.
故函数的值域为.
44．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)首先根据性质可知，的最小正周期，然后利用最小正周期求出，结合已知条件，若选用条件①，根据三角函数奇偶性和诱导公式即可求解；若选用条件②，根据三角函数值求角并结合的范围求解即可；若选用条件③，利用取得最大值时，，，并结合的范围即可求解；(2)利用整体代入法和正弦函数的性质即可求解.
(1)
∵的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，
∴，即，∴，
∴，
选条件①：
∵为偶函数，
∴，即，，
∵，从而，
∴；
选条件②：   
∵，∴，
∴，或，，
∴，或，，
∵，∴，
∴；
选条件③：
∵，，∴为的最大值，
∴，，即，，
∵，∴，∴．
(2)
由(1)中知，
令，，
得，
令，得，
从而函数在上的增区间为．
45．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】
由诱导公式得
.
（1）由，得的最小正周期为.
（2）由，
得.
因此的单调递增区间为.
（3）由，解得.
故取最大值时自变量x的集合为.
46．(1)在，上递增
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简函数解析式，结合正弦型函数的图象与性质即可求出结果；
（2）根据已知条件求出的值，进而结合同角的平方关系求出的值，然后凑角结合两角差的正弦公式即可求出结果.
(1)




所以最小正周期,
因为，即，
因此函数的单调递增区间为,
(2)
∵，∴
∵∴，∴



.