微专题 等差数列的单调性与最值 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 等差数列的单调性与最值 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共28页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：等差数列的单调性与最值
【考点梳理】
求等差数列前n项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值. 无论用哪种方法，都要注意an＝0的情形.



【题型归纳】
题型一：等差数列的单调性
1．已知是等差数列{}的前n项和，且，则（       ）
A．数列{}为递增数列 B． C．的最大值为 D．
2．等差数列的前项和为，若，则下列结论错误的是（       ）
A． B．
C．数列是递减数列 D．数列是递增数列
3．在等差数列中，，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n=（       ）
A．2021 B．2022 C．4041 D．4042


题型二：求等差数列中的最大（小）项
4．等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（       ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
5．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（       ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
6．设等差数列的前项和为，下列条件中，①；②；③且，使得对任意正整数都成立的是（       ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③


【双基达标】
7．已知等差数列的公差d＞0，则下列四个命题：
①数列是递增数列；     ②数列是递增数列；
③数列是递增数列； ④数列是递增数列．
其中正确命题的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知数列为等差数列，若，，则使的前项和取最大值的的值为（       ）
A．9 B．10 C．19 D．20
9．设数列是等差数列，是其前项和，且，，则下列结论中错误的是（       ）
A． B． C． D．与均为的最大值
10．等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（       ）
A． B．
C．当时最小 D．时的最小值为
11．设是等差数列.下列结论中正确的是（       ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（       ）
A． B． C． D．
13．已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知函数，各项均不相等的数列满足，记.①若，则；②若是等差数列，且，则对恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（       ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
15．对于无穷数列，下列命题不正确的是（       ）
A．若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数数列
B．若等差数列满足：，则数列是常数数列
C．若等比数列满足：，则数列是常数数列
D．若各项为正数的等比数列满足：则数列是常数数列
16．等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的（       ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知等差数列为其前项和，且，且，则（       ）
A．36 B．117 C． D．13
19．已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（       ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定
20．设为平面内异于P､A､B三点的任一点,且当P､A､B三点共线时,数列为(       )
A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列
21．给出下列四个命题：
①如果，则；
②命题“，均有”的否定是“，使得”；
③在等差数列中，已知公差，那么数列是递增数列；
④是直线与直线平行的充分必要条件.
其中正确的命题个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
23．设等差数列的前n项和为，满足，，则（       ）
A． B．的最大值为
C． D．满足的最大自然数n的值为23
24．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
25．在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（       ）
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．设为等差数列的前项和，.若，则（       ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
27．等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（       ）
A． B． C． D．
28．已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最小值
29．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（       ）
A．d>3 B．d C．3≤d D．3 30．在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是
A． B． C． D．
二、多选题
31．（多选）已知等差数列的公差，前项和是，则下列四个结论中正确的是（       ）
A．数列是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
32．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（　　）
A．d＜0 B．a16＜0
C．Sn≤S15 D．当且仅当Sn＜0时n≥32
33．已知数列满足：，当时，，则关于数列说法正确的是（       ）
A． B．数列为递增数列
C．数列为周期数列 D．
34．已知递减的等差数列的前项和为，，则（       ）
A． B．最大
C． D．
三、填空题
35．已知等差数列的各项均为正数，且数列的前项和为，则数列的最大项为___________.（用数字作答）
36．已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项．
37．已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前n项和最大.则当时，___________.
38．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.
39．等差数列前项和为，若，， 当取得最大值时，的值为_______．
40．已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________.
四、解答题
41．在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，满足： ，.
（1）求的最小值；
（2）设数列的前项和，证明：.
42．首项为的无穷等比数列所有项的和为1，为的前n项和，又，常数，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若是严格减数列，求t的最小值.
43．已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值．
44．已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的最大项.
45．无穷数列满足：且．
（1）求证：为等差数列；
（2）若为数列中的最小项，求的取值范围．

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质逐项判断即可
【详解】
，因为,所以,所以错
公差,所以错
因为前7项均为正,从第8项开始为负,所以的最大值为,所以C对，,所以D错
故选：C
2．D
【解析】
【分析】
由可得，再根据等差数列前n项和的二次函数性质知，结合等差中项、等差数列的单调性判断各选项的正误.
【详解】
由，则，即，
又，易知：，C正确；
，A正确；
，，则，故，B正确；
由上知：时，时，且是递减数列，故数列不单调，D错误.
故选：D
3．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质易得，，再应用等差数列前n项和公式及等差中项、下标和的性质可得、，即可确定答案.
【详解】
因为是等差数列且，，
所以，．
，.
故选：C.
4．C
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列的性质可得，且，从而可求得答案
【详解】
因为，，
由等差数列的性质可得，
所以，所以该数列的公差，
所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，
因为，所以，
所以绝对值最小的项为，
故选：C
5．A
【解析】
【分析】
结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.
【详解】
由，即，解得，因为,故.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，分别判断条件.
【详解】
①，当，，由等差数列的特征可知，是数列的最小值，所以对任意正整数都成立，故①正确；
②，所以，即，所以由等差数列的特征可知，是数列的最小值，所以对任意正整数都成立，故②正确；
③，，所以，
即，所以不成立，，故③不成立.
故选：A
7．B
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式和前项和公式，结合数列的通项公式的函数性质进行求解即可.
【详解】
①：因为数列是等差数列，
所以，
因此可以把看成关于的一次函数，
而，所以数列是递增数列，因此本命题是真命题；
②：因为数列是等差数列，
所以，
因此可以把看成关于的二次函数，而二次函数的单调性与开口和对称轴有关，
虽然能确定开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列的单调性，故本命题是假命题；
③：因为数列是等差数列，
所以，
设，因此数列的通项公式为：，
显然当时，数列是常数列，故本命题是假命题；
④：因为数列是等差数列，
所以，
设，因此数列的通项公式为，
所以可以把看成关于的一次函数，
而，所以数列是递增数列，因此本命题是真命题.
故选：B
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，考查了利用数列的函数性质判断数列的单调性，考查了推理论证能力和数学运算能力.
8．B
【解析】
由等差数列的性质与求和公式可得，，可得答案．
【详解】
因为，由等差数列的性质可得
，所以，
又，所以 ，可得公差小于零，
所以等差数列是单调递减的，
即前10项是正的第11项开始是负的，所以前10项和最大.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列的性质以及等差数列的单调性，关键点是，得到，.
9．C
【解析】
由，判断，再依次判断选项.
【详解】
由于，，所以，，，
所以，与均为的最大值．而，所以，
所以C选项结论错误．
故选:C．
10．C
【解析】
【分析】
利用数列的单调性结合等差数列的定义可判断A选项；利用可得出、的等量关系，可判断B选项；求出，利用二次函数的基本性质可判断C选项；解不等式可判断D选项.
【详解】
对于A选项，因为等差数列是递增数列，则，A对；
对于B选项，因为，即，可得，B对；
对于C选项，，
所以，当或时，最小，C错；
对于D选项，，因为，解得，故时的最小值为，D对.
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
ABD可以举反例说明命题是错误的，C用基本不等式证明命题的正确的．
【详解】
若，则满足，但，A错，同样满足，但，B错；
是等差数列，，则，，C正确；
，满足，但此时，D错．
故选：C．
12．D
【解析】
由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】
等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当时，如下图所示，

当公差时，如下图所示，

如图可知当时，，，，.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.
13．C
【解析】
【分析】
利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.
【详解】
若，则，即，此时，数列为单调递增数列，
即“”“数列为单调递增数列”；
若等差数列为单调递增数列，则，
即“”“数列为单调递增数列”.
因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.
故选：C.
14．A
【解析】
【分析】
①利用正弦函数为奇函数可得，再进行累加即可得到答案；
②是等差数列，当时，对分为奇数和偶数进行讨论；
【详解】
解：在为奇函数且单调递增，
①

所以，且，①正确；
②是等差数列，当时，
若为偶数，，
，
同理，…，，
所以
若为奇数，，
，，…，
所以；
同理，当时，也有.②正确.
故选：A
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本性质及正弦函数的单调性、奇偶性，对抽象能力要求较高，属于难题.
15．C
【解析】
【分析】
根据等差数列、等比数列定义，通项公式及有界性逐一分析判断作答.
【详解】
对于A，设等差数列公差为d，则时，，
而数列是等比数列，则，且，于是得，即是常数数列，A正确；
对于B，设等差数列公差为d，有，若，而是无穷数列，则当n趋近于无穷大时，趋近于正无穷大，
若，则当n趋近于无穷大时，趋近于负无穷大，趋近于正无穷大，即，都趋近于正无穷大，
因，则，即是常数数列，B正确；
对于C，等比数列，令，对于任意的正整数n，，满足，不是常数数列，C不正确；
对于D，设各项为正数的等比数列公比为q，则，
当时，数列是递增数列，当n趋近于无穷大时，趋近于正无穷大，必存在正整数，有时，，
当时，数列是递减数列，当n趋近于无穷大时，趋近于0，必存在正整数，有时，，
即且时，对于无穷正项等比数列必存在一个正整数，当n取大于这个正整数时不可能成立，
于是得无穷正项等比数列满足：，其公比，即数列是常数数列，D正确.
故选：C
16．A
【解析】
【分析】
根据等差数列前n项和公式可得，当证得为递增数列，反之亦可.
【详解】
因为，
所以，
若，则关于n的函数单调递增，
所以数列为递增数列；
若为递增数列，则，
即，解得.
所以“”是“为递增数列”的充分必要条件.
故选：A
17．A
【解析】
【分析】
利用等差数列的单调性及前n项和的性质分析
【详解】
∵恒成立，∴，∴递增；
反之，可取，则递增，但，
所以“，”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题以等差数列的单调性及前n项和的性质为载体，考查充分条件与必要条件的判断，难度一般.
18．B
【解析】
【分析】
根据等差数列下标的性质，，进而根据条件求出，然后结合等差数列的求和公式和下标性质求得答案.
【详解】
由题意，，即为递增数列，所以，又，又，联立方程组解得：.于是，.
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的图象所在直线的斜率判断.
【详解】
等差数列的图象所在直线的斜率，
则直线呈下降趋势，故数列单调递减.
故选：B.
20．B
【解析】
【分析】
根据P､A､B三点共线，可得，即可判定数列性质.
【详解】
由题：P､A､B三点共线，
根据共线定理，则，即，
所以数列是一个公差为-1的等差数列，所以是递减数列.
故选：B
【点睛】
此题考查平面向量共线定理的应用，根据三点共线结论得数列的递推关系，判断数列的增减性.
21．B
【解析】
【分析】
对于①，取，可判断；对于②，由全称命题与特称命题的关系，可判断；
对于③， 由等差数列的通项，可得出，可判断； ④中，由两直线平行的条件可得出，解得或，可判断得选项.
【详解】
对于①，若，则，所以此时不成立，故①不正确；
对于②，根据全称命题与特称命题的关系，得②是正确的；
对于③， 由于数列是等差数列，所以设，则，
因为公差，所以，所以数列是递增数列成立，故③正确；
④中，若直线与直线平行，则，解得或，
所以是两直线平行的充分不必要条件，所以④错误的，
故正确的命题是②③，
故选：B.
【点睛】
本题考查命题的判断，考查了对数函数的单调性，全称命题和特称命题的关系，等差数列的通项公式，两直线平行的条件，以及充分条件和必要条件的判断，属于基础题.
22．D
【解析】
【分析】
根据求得，结合，判断数列单减，从而判断取得最大值时，的值.
【详解】
由题知，，则，
等差数列的公差d满足，数列单减，
且，，则当取得最大值时，的值为8或9
故选：D
23．C
【解析】
利用等差数列的前项和公式可得，结合即可得出结果.
【详解】
设等差数列的公差为
由，
可得，
整理可得，由
所，即，故A错误；
根据，则数列为递减数列，，即，
则前项或前项的和最大，故B错误；C正确；

所以，即，解得，
满足的最大自然数n的值为22，故D错误；
故选：C
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式、数列的单调性，属于基础题.
24．B
【解析】
【分析】
依题意，对任意的，都有成立，即，利用数列的单调性可得，即可求解.
【详解】
由已知，
对任意的，都有成立，即，即，
又数列是首项为，公差为1的等差数列，
，且是单调递增数列，当时，，
，即，解得.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列通项公式及数列单调性的应用，解题的关键是要利用数列的单调性结合已知条件得到.
25．B
【解析】
【分析】
根据等差数列，，，可以求出，且，，，从而判断出，，的正负，选出正确答案.
【详解】
设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，
故选：B
26．D
【解析】
【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，从而由可得和的符号，即可判断的最小值.
【详解】
由得：，整理可得：，
等差数列为递增数列，又，，，
当且时，；当且时，；
有最小值，最小值为.
故选：D.
27．D
【解析】
【分析】
解不等式，可得出取最大值时对应的的取值，结合已知条件可得合适的选项.
【详解】
由题意可知，，，则数列的最大项为.
对于A选项，，当时，且数列为递增数列，此时无最大项，A选项不满足条件；
对于B选项，由，可得，故数列中最大，B选项不满足条件；
对于C选项，，数列为递增数列且当时，，此时无最大项，C选项不满足条件；
对于D选项，由，可得，故数列中最大，D选项满足条件.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：
（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；
（2）借助二次函数的图象及性质求解.
28．C
【解析】
【分析】
对于A选项，根据得到判断；对于C选项，根据得到判断；对于D选项，根据得到，结合判断； 对于B选项，根据，，得到时，判断.
【详解】
对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，∴，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵，，当时，，
所以，，B选项正确．
故选：C．
29．D
【解析】
【分析】
根据从第8项起开始为正数，可得a7≤0，a8＞0，利用“”法求解.
【详解】
an＝﹣21+（n﹣1）d．
∵从第8项起开始为正数，
∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，
解得3＜d．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查等差数列的单调性及通项公式，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
30．C
【解析】
【分析】
由题意知 ．由此可知，所以在中最大的是．
【详解】
由于 ，
所以可得．
这样，
而>0， ，
所以在中最大的是．
故选C．
【点睛】
本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.
31．AD
【解析】
【分析】
对于A，数列是递增数列，故A正确；
对于B，不能判断数列的单调性，故B错误；
对于C，数列的通项公式为，显然当时，数列是常数列，故C错误；
对于D，数列的通项公式为，而，所以数列是递增数列，故D正确．
【详解】
对于A，因为，所以数列是递增数列，故A正确．
对于B，因为数列是等差数列，所以．因此可以把看成关于的二次函数，能确定图象的开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列的单调性，故B错误．
对于C，因为数列是等差数列，所以．因此数列的通项公式为，显然当时，数列是常数列，故C错误．
对于D，因为数列是等差数列，所以．因此数列的通项公式为，而，所以数列是递增数列，故D正确．
故选：AD．
32．ABC
【解析】
【分析】
根据题意，可得2a1+29d＝0，根据a1＞0，可判断A的正误；根据d＜0，可得a15＞a16，可判断B、C的正误；分别求得，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20，
∴10a1+45d＝20a1+190d，
∴2a1+29d＝0，
∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；
∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，
∵d＜0，∴a15＞a16，
∴a15＞0，a16＜0，故B正确；
∴Sn≤S15，故C正确；
又，，
∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误.
故选：ABC．
33．ABD
【解析】
【分析】
由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】
得，
∴，
即数列是首项为，公差为1的等差数列，
∴，
∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，
所以易知ABD正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
34．ABD
【解析】
转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.
【详解】
因为，所以，即，
因为数列递减，所以，则，，故A正确；
所以最大，故B正确；
所以，故C错误；
所以，故D正确.
故选：ABD.
35．1
【解析】
【分析】
由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前和公式，可判定数列为递减数列，进而可得到该数列的最大项.
【详解】
由题，等差数列的各项均为正数，所以，，
且，
所以数列是递增数列，
又，
所以，
即是递减数列，
所以当时，得到数列的最大项为，
故答案为：1
36．10
【解析】
【分析】
根据题意判断等差数列{}的，，，由此可判断数列的项的增减情况，进而确定答案.
【详解】
由题意得：，∴，
，∴，，
∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，
因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于，∴{||}最小的项是第10项，
故答案为：10
37．
【解析】
【分析】
首先根据题意求出，再根据等差数列的前n项即可求解.
【详解】
解：由题意可知，，解得，又，则，
所以，.由，得，
解得或(舍)，故
故答案为：20.
38．-1
【解析】
【分析】
根据数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，得到数列的通项公式求解.
【详解】
数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，
所以数列的通项公式为an＝35－4n.
则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.
又a8＝3，a9＝－1.
所以绝对值最小的项为a9＝－1.
故答案为：-1
39．9.
【解析】
【分析】
根据题意推导出数列为单调递减数列，且当时，，当时，，由此可得出结果.
【详解】
，，，，
所以，等差数列的公差，则数列为单调递减数列.
当时，，当时，，因此，当时，取最大值.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查利用等差数列前项和的最值求对应的的值，主要分析出数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
40．
【解析】
【详解】
∵等差数列是递增数列，且，∴，又∵，∴，，，，即的取值范围为，故答案为.
点睛：本题考查了数列的通项公式与求和公式、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；数列是单调递增数列，根据满足，，可得，，即可得出.
41．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）选择②③、①②、①③条件中的一组，利用等差数列的性质及条件，求得的通项公式，利用通项公式的单调性，结合题意，即可求得的最小值；
（2）由（1）可得数列的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得证.
【详解】
（1）若选择②③；
由题知：，
又因为，解得
所以，解得，
所以，
所以，
所以；
若选择①②；
由题知：，
又因为，解得，
所以，解得，
所以，
所以，
所以 ；
若选择①③；
由题知：，所以 ，
由题知：，所以
联立解得：，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）可得，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式基本量的求法、数列单调性的应用、裂项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
42．(1)
(2)
(3)的最小值为1
【解析】
【分析】
（1）根据无穷等比数列所有项的和为1，求出公比，再根据等比数列的通项公式可得；
（2）求出,代入可得；
（3）求出，然后根据数列递减可得恒成立，由不等式恒成立可得答案.
(1)
设无穷等比数列的公比为，则,所以，解得，
所以.
(2)
因为,所以,
所以,
所以.
(3)
,,所以,
因为是递减数列，
所以
恒成立，
所以恒成立，所以恒成立，
因为为递减函数，所以时，取得最大值，
所以,又因为，所以的最小值为1.
43．存在最小值，
【解析】
【分析】
由已知可求得数列的通项公式，令，可知且，可知数列的前9项都是负数，第10项为正数，即值存在最小值.
【详解】
由已知可知等差数列的首项，公差
则数列的通项公式为
令，即，又，且
即数列的前9项都是负数，第10项为正数，
故当时，存在最小值.
44．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的性质，设等比数列的公比为，列方程求解即可；
（2）法一：，由二次函数的性质，可得数列的最大项；
法二：因为，所以，由，可求解；
【详解】
（1）设等比数列的公比为，
因为，，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以.
（2）法一：
.
所以数列的最大项为.
法二：因为，所以.
由，得.
所以数列的最大项为.
【点睛】
关键点睛：解题关键在于列方程求出的通项公式和利用二次函数或指数函数的性质，判断取最大项时，的取值，属于中档题
45．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用递推公式证得，根据等差数列的定义即可得出结论；
（2）由于数列是以1为公差的等差数列，所以若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，然后结合题意即可得到，解不等式组即可求出结果.
【详解】
（1）因为，则
所以



，
故数列是以1为公差的等差数列；
（2）若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，又数列是递增数列，且为数列中的最小项，所以是数列中的最大负项，从而有，而，则，解得，
故的取值范围为.