微专题 等差数列的性质 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 等差数列的性质 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共29页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破，整体点评等内容，欢迎下载使用。

微专题：等差数列的性质
【考点梳理】
1. 等差数列的性质
(1)与项有关的性质
①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝.
②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列.
④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2.
⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md.
注：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ap(m＋n＝2p，m，n，p∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量.

(2)与和有关的性质
①等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列.
②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0).
③{an}为等差数列⇒ 为等差数列.
④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn 之间的关系为＝ (bn≠0，T2n－1≠0).
2. 关于an的结论
(1)在等差数列{an}中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an＋1＝，等价于an＋an＋2＝2an＋1，以及an＋1－an＝an＋2－an＋1.
(2)若an＝pn＋q(p，q为常数)，则{an}一定是公差为p的等差数列.
3. 关于Sn的结论
(1)等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关.
①若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最大值.
②若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值.
③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
(2){an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B是常数). 若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列.




【题型归纳】
题型一：等差中项的应用
1．等差数列​的前项和为​， 则（       ）
A．42 B．56 C．63 D．70
2．在等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于（       ）
A． B． C． D．
3．已知数列是等差数列，且满足，则（       ）
A． B． C． D．

题型二：利用等差数列的性质计算
4．设等差数列的前n项和为，，公差为d，，．则下列结论不正确的是（       ）
A． B．当时，取得最小值
C． D．使得成立的最大自然是n是17
5．等差数列 ​的前​项和为​， 则​（       ）
A．42 B．56 C．63 D．70
6．已知等差数列的前n项和为，且，则（       ）
A．40 B．45 C．80 D．90
题型三：等差数列片段和的性质及应用
7．在等差数列中，其前项和为，若，则（       ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前n项和为，若，，则（       ）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
9．已知数列是等差数列，，则（       ）
A． B． C． D．





【双基达标】
10．已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的最大值为（       ）
A．5 B．512 C．1024 D．2048
11．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（       ）
A． B． C． D．
12．已知等差数列的第5项是展开式中的常数项，则（       ）
A．20 B． C．40 D．
13．两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（       ）
A． B． C． D．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a2=7，am+am-1=73(m≥3)，Sm=2020则m的值为（       ）
A．100 B．101 C．200 D．202
15．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
16．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上､中､下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a=9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有（       ）种.

A．12 B．24 C．16 D．32
17．设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（       ）
A． B． C． D．
18．已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差等于（       ）
A．1 B．2 C．9 D．10
19．已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是
A．7 B．8 C．9 D．10
20．在等差数列中，已知，则该数列第项（       ）
A． B． C． D．
21．已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（       ）
A．27 B．3 C．1或3 D．1或27
22．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（       ）
A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．
23．已知等差数列的前n项和为，且，则＝（　　）
A．0 B．10 C．15 D．30
24．设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为（       ）
A．15 B．16 C．17 D．18
25．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160

【高分突破】
一、 单选题
26．在数列中，若，，，则数列的通项公式为（       ）
A． B．
C． D．
27．已知等差数列满足，，公差为d（不为0），数列满足，若对任意的都有，则公差d的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
28．已知等差数列的前n项和为，若，则（       ）
A． B． C． D．
29．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则（       ）
A．35 B．33 C．16 D．29
30．设等差数列的前n项和为，若，，则（       ）
A．28 B．32 C．16 D．24
31．设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则（       ）
A．8 B．52
C．45 D．72
32．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（       ）
A． B． C． D．
33．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为
A．2 B． C．3 D．
34．等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（       ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
二、多选题
35．设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（       ）
A．数列的最小项为第项 B．
C． D．时，的最大值为
36．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（　　）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，则成等比数列
37．(多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（       ）
A．公差d＝－4
B．a2＝7
C．数列{an}为递增数列
D．a3＋a4＋a5＝84
38．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题中正确的有（       ）
A．若，则
B．若，则使的最大的n为15
C．若，，则中最大
D．若，则
三、填空题
39．已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________.
40．在等差数列中，已知，则___________.
41．已知等差数列的前项和为，且，，有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的是______．（填写所有正确结论的编号）
42．已知数列满足：，，，（），则_______.
43．在等差数列中，若，则该数列的前2021项的和为_______.
44．等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列，Sn为{an}的前n项和，则＝______.
四、解答题
45．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
46．已知实数成等差数列，求证：成等比数列.
47．已知数列的前n项和为，且，，为等差数列；数列满足，.
(1)求数列的前n项和；
(2)若对于，总有成立，求实数m的取值范围.
48．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为．
49．已知公差不为0的等差数列，，．记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前101项和．

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，可得的值，代入等差数列前n项和公式，即可得答案
【详解】
因为为等差数列，
所以，解得，
所以.
故选：C
2．D
【解析】
【分析】
利用等比数列的基本量即可完成相应的计算.
【详解】
设等比数列的公比为，由题意，，即，
，则，，
则，所以D正确.
故选：D.
3．C
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质可求得结果.
【详解】
由等差中项的性质可得，则，因此，.
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
根据已知条件结合等差数列的通项公式，性质及求和公式逐个分析判断即可
【详解】
对于A，因为等差数列中，，，
所以，所以公差，所以A正确，
对于B，由于，，，所以前9项均为负数，所以当时，取得最小值，所以B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，因为，所以，， ，，所以使得成立的最大自然是n是18，所以D错误，
故选：D
5．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，等差数列前n项和公式，即可得答案
【详解】
因为为等差数列，
所以.
故选：C
6．B
【解析】
【分析】
由等差数列的性质计算．
【详解】
．
故选：B．
7．D
【解析】
【分析】
根据等差数列前项和的性质求解即可
【详解】
由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故
故选：D
8．C
【解析】
【分析】
利用数列的运算性质与等差数列的前n项和的公式计算即可.
【详解】
，
，则.
故选：C
9．A
【解析】
【分析】
利用等差数列前项和的性质求解即可
【详解】
由，得，设，则，
因为数列是等差数列，
所以，……，是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，，
所以，
故选：A
10．C
【解析】
用和表示出和代入求得，再根据，求得，进而求得到的值，即得解.
【详解】



，
故，
所以，
所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为.
故选：C
【点睛】
结论点睛：等比数列中，如果，求的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到大于等于1的项，找到小于1的项，即得解.
11．B
【解析】
【分析】
利用等差中项和等比中项的性质分别求得、的值，然后利用特殊角的三角函数值可得出结果.
【详解】
由等差中项的性质可得，，
由等比中项的性质可得，，
因此，.
故选：B.
12．D
【解析】
【分析】
根据二项式定理求得展开式中的常数项，然后由等差数列的性质可得结论．
【详解】
由二项式定理，展开式中的常数项是，
即，因为是等差数列，所以．
故选：D．
13．A
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.
【详解】
两个等差数列和的前项和分别为、，且，
所以.
故选：A
14．B
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得，再由等差数列前项和公式列式可算出结果.
【详解】
，由等差数列的性质可知，
故

故
故选：B
【点睛】
解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：
1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；
2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
15．D
【解析】
【分析】
对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】
若，则
可得：，故选项A错误；
若，则
可得：，故选项B错误；
若，则
可得：，故选项C错误；
不妨设的首项为，公差为，则有：


则有：，故选项D正确
故选：D
16．D
【解析】
【分析】
，，的取值范围都是从，可以根据公差的情况进行讨论．
【详解】
解：根据题意，，，的取值范围都是从共8个数字，故公差范围是到3，
①当公差时，有种，
②当公差时，不取7和14，有种，
③当公差时，不取7，8，13，14，有种，
④当公差时，只能取10或11，有种，
综上共有种，
故选：D．
17．B
【解析】
本题首先可令，得出，然后通过等差数列的性质得出以及，代入中，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
因为是等差数列前项和，是等差数列前项和，
所以，，
则，，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前项和公式以及等差中项的应用，若等差数列前项和为，则，当时，，考查化归与转化思想，是中档题.
18．A
【解析】
【分析】
根据给定条件结合等差数列性质计算出，进而求出与即可得解.
【详解】
在等差数列中，依题意，，
解得，而，且为递增数列，即，则，，
所以数列的公差.
故选：A
19．C
【解析】
由等差数列性质求出，由等差数列前n项可求得m．
【详解】
∵是等差数列，∴，，
∴，．
故选：C．
【点睛】
本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．
20．B
【解析】
【分析】
根据等差数列下标和的性质得，即可求出答案.
【详解】
因为数列是等差数列，由等差数列的性质得，所以.
故选：B
21．A
【解析】
【分析】
根据，，成等差数列，由，求得公比即可.
【详解】
设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以（不合题意，舍去），
所以.
故选：A.
22．D
【解析】
【分析】
根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】
对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
23．C
【解析】
【分析】
利用，结合求得结果.
【详解】
由等差数列性质可知：

本题正确选项：
【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.
24．D
【解析】
【分析】
由已知条件利用等差数列的下标定理即可求解.
【详解】
解：由题意可得

即①
②
且等差数列满足
①②两式相加得
代入求和公式可得

解得
故选：D.
25．C
【解析】
【分析】
设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
26．A
【解析】
【分析】
利用等差中项可得为等差数列，即得结论.
【详解】
因为，
所以，又，，
所以数列是等差数列，公差，
所以，
所以.
故选：A．
27．B
【解析】
【分析】
根据题意构造函数，解不等式可得到函数的单调性，进而得到当距离最近时，取得最小值，根据为最小值可得距离最近，建立绝对值不等式求解即可.
【详解】
令，构造函数，
，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
则对于，当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
所以当距离最近时，取得最小值，
根据题意知，为最小值，所以距离最近，
而等差数列满足，，所以，所以是递增数列，
∴，解得.
故选：B.
【点睛】
本题的核心是利用函数导数思维根据的表达式求出当距离最近时，取得最小值，根据题意可得距离最近，再根据已知可得是递增数列，且两个数值之间的距离问题可以使用绝对值思维，所以可得不等式组，解不等式组即可.
28．A
【解析】
【分析】
根据等差数列前项和公式，及下标和性质得到、，即可得到方程，计算可得；
【详解】
解：由，有，得．
故选：A
29．C
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，结合题意和等比数列的性质可知，可得出，再根据等差中项的定义，可求出，进而可求出，最后由，即可求出的结果.
【详解】
解：设等比数列的公比为，
由等比数列的性质，知，所以，
由与的等差中项为，知，所以，
所以，则.
故选：C.
30．B
【解析】
【分析】
由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解
【详解】
由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
31．B
【解析】
【分析】
首先根据韦达定理可得，由等差数列公式以及等差数列的性质可得： ，即可得解.
【详解】
由一元二次方程根与系数的关系，可得，
则，
故选：B．
32．C
【解析】
【分析】
先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】
解：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，
又单调递减，
，
，
解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C．
33．A
【解析】
【分析】
由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值．
【详解】
由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，
所以或（舍），故选A
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．
34．C
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列的性质可得，且，从而可求得答案
【详解】
因为，，
由等差数列的性质可得，
所以，所以该数列的公差，
所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，
因为，所以，
所以绝对值最小的项为，
故选：C
35．ABC
【解析】
【分析】
利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误.
【详解】
对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；
当且时，，
所以，当且时，，
当且时，，
当且时，.
由题意可知单调递减，
所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有，
所以，
由不等式的性质可得，
从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.
故选：ABC.
36．BC
【解析】
【分析】
根据；即可判断选项A，B；根据等差数列的性质易判断选项C；易举反例判断选项D．
【详解】
对于A，当时，；
当时，；
经检验：不满足，数列自第二项起为等差，A错误；
对于B，当时，；
当时，；
经检验：满足，，
数列是等比数列，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，当时，，，，此时不构成等比数列，D错误.
故选：BC.
37．BC
【解析】
【分析】
根据等差数列性质公式及基本量计算，对选项一一判断即可．
【详解】
解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7．
∵a1＝3，∴d＝4．∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15．
∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45．
故选：BC
38．BC
【解析】
【分析】
根据等差数列的基本量运算计算可判断A，再由求和公式，利用下标性质可判断CD，再由可判断D.
【详解】
对于A,若，则，
那么.故A不正确；
对于B,中若，则，
又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为，
所以使的最大的为15.故B正确；
对于C,中若，，
则，，则中最大.故C正确；
对于D，中若，则，而，不能判断正负情况.故D不正确.
故选：BC
39．
【解析】
【分析】
根据等差和等比中项的定义求出得值，即可求解.
【详解】
因为是的等差中项，所以，
因为是，的等比中项，所以，
，所以.
故答案为：.
40．
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式可化简得到，根据等差数列的性质即可求得答案.
【详解】
由题意在等差数列中，设公差为d,
则
所以，于是，
故答案为：10
41．②④
【解析】
【分析】
构造函数，可知是奇函数，且是上的增函数，由，，可得，且，再结合等差数列的性质可判断
【详解】
令函数，因为，所以是奇函数，且是上的增函数．
由题可知，，，
所以，且，即，，所以①错误，②正确，
因为，，所以，所以，
因为，，所以，所以，所以④正确，
又因为是等差数列，
所以，，所以③错误．
故答案为：②④
42．
【解析】
【分析】
利用已知条件推出数列为等差数列，可得，进而求得，求得结果.
【详解】
∵，
∴数列为等差数列，首项为1，公差为1，
∴，即，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差中项的应用及等差数列的通项公式的求法，数列递推关系式的应用，考查计算能力．
43．
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解.
【详解】
由题意，等差数列中，，
所以，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数的前项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和求和公式是解答的关键，着重考查推理能力和计算能力，属于基础题.
44．
【解析】
【分析】
由等比通项公式，结合等差中项的性质可得2q2＋q－1＝0，求得公比，再由即可求值.
【详解】
∵等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列，
∴a1q2－a1q3＝2a1q4,即2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)，
∴.
故答案为：
45．（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】
（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设，       ⑧
则．        ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法

由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
46．见详解.
【解析】
【分析】
根据条件，证明：即可，注意各项均不为零.
【详解】
因为成等差数列，所以，即且，
又，
所以成立且各项均不为零，
所以：成等比数列.
【点睛】
本题考查等比数列的证明，难度一般.注意说明各项均不为零.
47．(1).
(2).
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的性质得，继而有，两式相减得，由此得数列是以2为公比的等比数列，求得，，再由此求得，运用分组求和法和等比数列的求和公式可求得.
（2）由（1）将不等式转化为，再令，作，判断出当时，取得最大值，由此得，求解即可.
(1)
解：因为，，为等差数列，所以，所以，两式相减得，
即，所以数列是以2为公比的等比数列，
又，，所以，解得，所以，，
所以，
所以


，
所以；
(2)
解：由（1）得不等式为，整理得，
令，则，
所以当，时，，即，
当，时，，即，所以当时，取得最大值，
所以，即，解得.
所以实数m的取值范围为.
48．（1）；（2）.
【解析】
（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；
（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.
【详解】
解（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得．
数列的通项公式为；
（2）.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.
49．(1)
(2)192
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式基本量计算出首项和公差，求出通项公式；
（2）解不等式得到，当时，，当时，，当时，，从而求出前101项和.
(1)
设等差数列公差为d，，
又，故       ，即，
所以，解得：或0（舍去），求得：，
数列的通项公式为；
(2)
，令得：，
令，解得：，令，解得：，
当时，
故
当时，，
当时，，
当时，，
设的前n项和为，所以.