微专题 复数范围内方程的根 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 复数范围内方程的根 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共22页。学案主要包含了考点梳理，典例剖析，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：复数范围内方程的根
【考点梳理】
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
(1)当Δ≥0时，x＝；
(2)当Δ<0时，x＝.　　　　

【典例剖析】
典例1．已知虚数z是关于x的方程的一个根，且，则（       ）
A．1 B．2 C．4 D．5
典例2．已知m，，若是方程的一个复数根，则该方程的另一个解为（       ）
A． B． C． D．
典例3．已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则（       ）
A． B．或 C． D．
典例4．已知是方程的两根，且在复平面上的对应点在第一象限，则（       ）
A． B． C． D．



【双基达标】
5．下列命题正确的是（       ）
A．复数是关于的方程的一个根，则实数
B．设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，则与重合
C．若，则复数对应的点在复平面的虚轴上(包括原点)
D．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，若（是虚数单位，为复平面坐标原点，，），则
6．方程的两个根在复平面上对应的点的距离为（       ）
A． B．5 C． D．
7．已知关于的实系数方程两个虚根为，，且，则（       ）
A． B． C．或 D．不存在
8．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（       ）
A．0 B． C． D．1
9．设，是方程在复数范围内的两个解，则（       ）
A． B．
C． D．
10．已知是关于x的方程的一个根，则（       ）
A．0 B．-2 C．2 D．4
11．方程在复数集内解的个数为（       ）.
A． B． C． D．
12．设、，若（为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
13．“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在复数范围内方程的两根为，，则（       ）
A．2 B． C． D．5
15．已知，“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的（       ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
16．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（       ）
A． B．
C． D．
17．若方程有两个虚根，且，则实数m的值为（       ）
A． B． C．2 D．
18．已知复数，是关于x的方程的两个根，则（       ）
A．9 B．81 C． D．82
19．方程在复数集中的解有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
20．方程在复数范围内的虚根有（       ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个

【高分突破】
一、 单选题
21．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点为，则这个方程可以为（       ）
A． B．
C． D．
22．复数满足，则（       ）
A． B． C． D．或
23．已知复数，是方程的两根，则（       ）
A． B．
C． D．
24．二次方程的根的情况是（       ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根
C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根
25．已知复数3＋2i是方程的一个根，则实数a＝(       )
A．－5 B．5 C．－6 D．6
26．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（       ）.
A． B． C． D．
二、多选题
27．已知复数满足（是虚数单位），则下列关于复数的结论正确的是（       ）
A．
B．复数的共轭复数为
C．复平面内表示复数的点位于第三象限
D．复数是方程的一个根
28．若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．的共轭复数 D．是方程的一个根
29．已知在复数范围内关于的方程两根为，则下列结论正确的是（       ）
A．与互为共轭复数 B．
C． D．
30．已知为虚数单位，，，则下列选项中正确的有（       ）
A． B．的虚部为1
C．在复数范围内，为方程的根 D．
三、填空题
31．已知，是方程在复数范围内的两个根，则_________.
32．设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为________
33．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则____．
34．若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________
35．若复数z满足：，且|z|＝，则实数a＝_____．
36．若方程有一个虚根的模为，则实数的值为___________.
37．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于____.
四、解答题
38．关于复数的方程．
（1）若此方程有实数解，求的值；
（2）用反证法证明：对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根．
39．已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､.
(1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；
(2)若，求实数a的值.
40．已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求的值．
41．已知复数（为虚数单位）.
（1）若，求复数的共轭复数；
（2）若是关于的方程一个虚根，求实数的值.
42．方程的两个虚根为，，且，求实数的范围．

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
设，代入原方程，根据复数相等和可得答案.
【详解】
设（且），
代入原方程可得，
所以，解得，
因为，所以.
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
根据复数乘方运算及复数相等列方程得解.
【详解】
由题可得，化简得，解得，．

由韦达定理知，该方程的另一个复数解为．
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程在复数域内的两个虚根互为共轭复数及韦达定理即可求解.
【详解】
因为是关于的方程在复数范围内的一个根，
所以关于的方程的另一个根为，
由韦达定理，得，解得，或（舍），
所以.
故选：A.
4．D
【解析】
【分析】
在复数范围内解方程得,进而根据复数除法运算求解即可.
【详解】
解：根据题意，在复数范围内解方程得 ，
由于在复平面上的对应点在第一象限
所以，
所以
故选：D
5．C
【解析】
【分析】
结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A：复数是关于的方程的一个根，所以：，
，故A错误；
对于B：设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，
即这两个向量的模长相等，但是与不一定重合，故B错误；
对于C：若，设，故：，整理得：，故，故C正确；
对于D：已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
若，所以，
，
，
解得：，，故，故D错误．
故选：C．
6．A
【解析】
【分析】
求出方程两根，进而可得对应点的坐标，即可得解.
【详解】
由题意，方程的两个根，
所以该方程两根在复平面上对应的点为，
距离为.
故选：A.
7．A
【解析】
【分析】
关于的实系数方程两个虚根为，，所以，可得，
利用根与系数的关系可得，设，则，根据，可得可求得答案.
【详解】
关于的实系数方程两个虚根为，，
，所以

设
所以
，即，即
由，即，解得或.
又，，则，所以
所以
故选：A
【点睛】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
8．D
【解析】
【分析】
由实系数一元二次方程的的虚数根成对出现，它们互为共轭复数的性质，设，则，然后由是实数，得出的关系，再计算后可得．
【详解】
因为是实系数一元二次方程的两个根，且是虚数，则也是虚数，且是的共轭复数，设，则，
则，
又是实数，所以，又，所以，，
，
由于，，
所以，
所以．
故选：D．
9．D
【解析】
【分析】
先由方程解出，，再由复数的运算及复数的模判断4个选项即可.
【详解】
由方程得，由求根公式得，不妨设，.
，A错误；，B错误；
，C错误；，D正确.
故选：D.
10．C
【解析】
【分析】
根据实系数一元二次方程的虚数根互为共轭复数，即可根据根与系数的关系求出．
【详解】
因为是关于x的方程的一个根，则方程的另一根为，所以
，解得：，即．
故选：C．
11．C
【解析】
【分析】
令，再根据复数的运算及复数的模，解方程.
【详解】
令，则，
得
当时，，或；
当时，，或（舍）.
综上共有6个解：，，，
故选；C.
12．C
【解析】
【分析】
分析可知实系数一元二次方程的两个虚根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，即可得解.
【详解】
因为是实系数一元二次方程的一个虚根，则该方程的另一个虚根为，
由韦达定理可得，所以.
故选：C.
13．B
【解析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
时，方程为，只有实根，无虚根，不充分，
一元二次方程有虚根，则，，是必要的，
因此是必要不充分条件．
故选：B．
14．B
【解析】
【分析】
由，可得复数范围内方程的两根为，然后根据复数的模长公式即可求解.
【详解】
解：因为方程，所以，
所以，
不妨令，
则，
故选：B.
15．D
【解析】
【分析】
分别求出实系数一元二次方程的两根都是虚数，存在复数z同时满足且的等价条件，分析二者的关系即可得出结论.
【详解】
∵实系数一元二次方程的两根都是虚数，
∴，∴；
设，
由可得，表示以为圆心，以2为半径的圆；
由可得是以为圆心，以1为半径的圆.
由题意可知复平面上的圆和圆有公共交点.
所以，即，
所以，实数，
因为不能推出，也不能推出，
所以“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的既不是充分条件也不是必要条件.
故选：D.
16．D
【解析】
【分析】
把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.
【详解】
由题意1i是关于的实系数方程
∴，即
∴，解得.
故选：D．
17．A
【解析】
【分析】
根据给定条件可得与互为共轭复数，设，可得，再将或代入方程，经计算整理借助复数为0即可得解.
【详解】
因方程有两个虚根，则与互为共轭复数，设，有，
由得，解得，
把代入得：，整理得，
而，于是得，且，解得，，若，同理得，，
所以实数m的值为.
故选：A
18．C
【解析】
【分析】
利用求根公式和复数的模求解.
【详解】
解：因为复数，是关于x的方程的两个根，
所以，
所以或．
故选：C
19．C
【解析】
设，代入方程，化简后按或进行分类讨论，由此求得方程的解，进而得出正确选项.
【详解】
设，代入方程得，
化简得①，
所以或，
当时，由①得，
即，
对应的复数为.
当时，由①得，解得或，
对应的复数为、.
综上所述，共有个解.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查方程在复数范围内的解，属于中档题.
20．C
【解析】
【分析】
n次方程在复数范围内有n个根，除去实根剩下即为虚根.
【详解】
，易得方程的实根为2和-2，于是方程有4个虚根.
故选：C.
21．A
【解析】
【分析】
由实系数一元二次方程虚根的性质可得，，再由韦达定理即可得解.
【详解】
由题意，该方程的一个根为，
则该方程的另一个根，
由，可得方程可以为.
故选：A.
22．B
【解析】
【分析】
由题可得，即得.
【详解】
∵复数满足，
∴，
∴.
故选：B.
23．B
【解析】
【分析】
解方程可得与，进而判断各选项.
【详解】
由，
得，，
故，A选项错误；
，，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B.
24．D
【解析】
【分析】
设方程的根为，带入方程利用复数相等解出，可判断根的情况.
【详解】
解：设方程的根为，则有，
即，即 ，解得：，所以方程的根为或.
故选：D.
25．C
【解析】
【分析】
将复数代入方程即可求得a的值．
【详解】
由题意可得，即，解得a＝－6．
故选：C．
26．B
【解析】
【分析】
设方程为，根据韦达定理分别将用表示，即可得出答案.
【详解】
解：设方程为，
则，所以，
，所以，
则方程为，
故只有B选项符合题意.
故选：B.
27．ABD
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．
【详解】
解：由，得．
，故A正确；
，故B正确；
平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限，故C错误；
，
复数是方程的一个根，故D正确．
故选：ABD．
28．BD
【解析】
【分析】
设，根据复数相等可求得实数、的值，可判断A选项的正误；利用复数的模长公式可判断B选项的正误；利用共轭复数的定义可判断C选项的正误；解方程可判断D选项的正误.
【详解】
设，则，可得，解得，所以，，A错；
，B对；
，C错；
解方程，即，解得或，D对.
故选：BD.
29．AC
【解析】
【分析】
根据实系数一元二次方程求根公式求出，然后逐一判断即可.
【详解】
由，或，
显然与互为共轭复数，因此选项A正确；
因为，所以选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
因为，所以选项D不正确，
故选：AC
30．BC
【解析】
【分析】
根据虚数定义可判断 A；根据复数的分类可判断B；把，代入验证可判断C；分别计算、可判断D.
【详解】
因为都是虚数，所以不能比较大小，故 A错误；
因为，所以的虚部为1，故 B正确；
因为，所以，
所以为方程的根，故C正确；
，，
所以，故 D错误.
故选：BC.
31．
【解析】
【分析】
利用根与系数关系可得，，进而求，即可求模长.
【详解】
由题设，，，
，故，
所以.
故答案为：
32．
【解析】
【分析】
设，（且），将原方程变为，则①且②；再对分类讨论可得；
【详解】
解：设，（且）
则原方程变为
所以，①且，②；
（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；
从而，此时，故满足条件；
（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，
所以
综上满足条件的所以复数的和为
故答案为：
【点睛】
本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.
33．
【解析】
【分析】
根据实系数一元二次方程的根的特征，可得的共轭复数也是方程的根，利用韦达定理得到方程，计算可得；
【详解】
解：因为为实系数一元二次方程的一根，
所以也为方程的根，
所以，解得，所以；
故答案为：
34．1
【解析】
【分析】
利用实系数方程虚根成对定理，转化求解即可．
【详解】
因为是关于的实系数方程的一个复数根，所以也是方程的根，
由根与系数的关系可知：，所以，．
所以
故答案为：1．
35．±1
【解析】
【分析】
设z＝x+yi(x,y∈R)是的一个根，由复数的性质可得是另外一个根，进而可得，即可求a的值．
【详解】
设z＝x+yi(x,y∈R)是的一个根，
∴是的另一个根，
由＝5，即a2＝1，解得a＝±1；
故答案为：±1．
36．9
【解析】
【分析】
设方程的一个虚根为，则，再根据韦达定理得到方程，解得即可；
【详解】
解：设方程的一个虚根为，则另一个虚根为，依题意可得，由韦达定理可得，即，所以，解得
故答案为：
37．
【解析】
【分析】
利用方程的根适合方程并化简，再结合复数相等的定义列方程，解方程即得结果.
【详解】
由题意关于x的方程有实数根n，则n适合方程，即n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即，故，解得∴.
故答案为：.
38．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设方程的解为，将代入原方程，整理化简，令实部与虚部分别为零解的值及的值；
（2）先假设存在一个实数，使原方程有纯虚数根，并设纯虚数根为，然后将代入原式推出矛盾，证明假设错误.
【详解】
（1）解：设方程的实数解为t，则，
所以，
所以，所以．
因为，所以．
（2）证明：假设原方程有纯虚数根，令，且，
则，
整理可得，
即   
对于①，由于判别式，所以方程①无解，故方程组无解，故假设不成立，
故原方程不可能有纯虚数根．
【点睛】
本题考查复数的综合运算，考查了复数与二次方程的结合，难度一般.解答时注意方程的实数根与虚数根的区别，结合二次方程有解的条件判断即可.
39．(1)，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）若该方程没有实根，则，解之即可，由，可得，即可在复数范围内对进行因式分解；
（2）分和两种情况讨论，结合韦达定理从而可得出答案.
(1)
解：若该方程没有实根，
则，解得，
由，得，
所以，即，
所以在复数范围内对；
(2)
解：当，即时，
则都是实数，
由韦达定理可知，
故都是非负数，
所以，所以；
当，即时，方程有两个共轭虚根，设为，
则，
故，解得或（舍去），
综上所述，或.
40．
【解析】
【分析】
根据实数系一元二次方程虚根成对原理，写出的值，再代入式子计算即可.
【详解】
∵ 为实系数一元二次方程 的两个虚根，

不妨设 ，则，
，，则 ,
即，
∴
∵ n ≠ 0 ,∴
即
∴   ，
若 则
若   ，则
综上所述，   
故答案为：
41．（1）；（2）2．
【解析】
【详解】
分析：（1）因为，所以，求出，即可得到的共轭复数；
（2）将代入方程，根据复数相等可求求实数的值.
详解：（1）因为，所以，
所以复数的共轭复数为.
（2）因为是关于的方程的一个虚根，
所以，即.
又因为是实数，所以.
点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
42．
【解析】
【分析】
设，则．根据韦达定理可得，再根据模长公式化简不等式可得，由可得答案.
【详解】
设，则．
因为方程有虚根，，所以，解得，
根据韦达定理得，∴，即，
因为，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，
∴．
∴.
【点睛】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.