数学八年级下册1.4 角平分线的性质第2课时同步练习题

1.4　第2课时　角平分线性质定理的应用

一、选择题

1.如图1,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于

点E,DF⊥AC于点F.若S△ABC=28,DE=4,AB=8,则AC的长是 (　　)

A.8 B.7 C.6 D.5 

图1                            图2

2.   如图2,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC交CD于点E,BC=7.5,DE=2,则△BCE的面积为 (　　)                                      

A.10          B.7           C.7.5           D.4

3.在正方形网格中,∠AOB的位置如图3所示,到∠AOB两边距离相等的点应是 (　　)

A.点M　     B.点N　      C.点P　       D.点Q

图3                       图4

4. 如图4,∠BAC=30°,AP平分∠BAC,GF垂直平分AP,交AC于点F,交AP于点G,Q为射线AB上一动点.若PQ的最小值为3,则AF的长为 (　　)

A.3            B.6           C.3        D.9

二、填空题

5.如图5,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若两平行线间的距离为6,则OE=　　　　. 

如图5

三、解答题

6.如图6,某新建住宅小区里有一块三角形绿地,现准备在其中安装一个照明灯P,使它到绿地各边的距离相等.请你在图中画出照明灯P的位置.             

                                                                          图6

7.如图7,∠B=∠C=90°,AE平分∠BAD,DE平分∠CDA,且AE与DE交BC于点E.

求证:(1)BE=CE;

(2)AE⊥DE.

                                                                             图7

8 (1)如图8①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD平分∠BAC,交BC于点D.如果作辅助线DE⊥AB于点E,猜想AC,CD,AB三条线段之间具有怎样的数量关系.

(2)如图②,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,交BC于点D.(1)中的结论是否仍然成立?若不成立,试说明理由;若成立,请证明.

                                                                      图8 

参考答案

1.[解析] C　∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DF=DE=4.

又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,AB=8,∴28=×8×4+·AC·4,∴AC=6.

2.[解析] C　如图,过点E作EK⊥BC于点K.

∵BE平分∠ABC,CD⊥AB,∴EK=DE=2,

∴△BCE的面积=BC·EK=×7.5×2=7.5.故选C.

3.A

4.[解析] B　过点P作PH⊥AC于点H,连接PF,当PQ⊥AB时,PQ最小.

∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,PH⊥AC,∴PH=PQ=3,∠PAB=∠PAC=15°.

∵GF垂直平分AP,∴FA=FP,∴∠FPA=∠PAC=15°,∴∠PFH=30°,∴PF=2PH=6,∴AF=6.

5.[答案] 3 [解析] 如图,过点O作OF⊥AB于点F,延长FO交CD于点G.

∵AB//CD,∴OG⊥CD.∵∠ACD与∠BAC的平分线相交于点O,OE⊥AC,∴OE=OF=OG.

∵FG=6,∴OE=3.故答案为3.

6.解:∵照明灯到绿地各边的距离相等,∴照明灯P的位置为△ABC的两条角平分线的交点,如图.

7.证明:(1)如图,过点E作EF⊥AD于点F.

∵∠B=∠C=90°,AE平分∠BAD,DE平分∠CDA,∴EF=BE,EF=CE,∴BE=CE.

(2)∵∠B=∠C=90°,AE平分∠BAD,DE平分∠CDA,∴∠B+∠C=180°,∠DAB=2∠DAE,

∠CDA=2∠ADE,∴CD//AB,∴∠CDA+∠BAD=2∠ADE+2∠DAE=180°,∴∠DAE+∠ADE=90°,

从而∠AED=90°,∴AE⊥DE.

8解:(1)∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AE,∴∠DEB=90°,CD=DE.

由勾股定理,得AC2=AD2-CD2,AE2=AD2-DE2,∴AC=AE.∵∠B=45°,∠DEB=90°,∴∠EDB=45°,

∴DE=EB,∴CD=EB,从而AE+EB=AC+CD=AB,

∴AC,CD,AB三条线段之间的数量关系为AB=AC+CD.

(2)成立.证明:在AB上截取AE=AC,连接DE.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD.

在△ACD和△AED中,∵AC=AE,∠CAD=∠EAD,AD=AD,∴△ACD≌△AED(SAS),

∴CD=ED,∠C=∠AED.∵∠C=2∠B,∴∠AED=2∠B.

∵∠AED=∠B+∠EDB,∴2∠B=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB,∴ED=EB.

∵AB=AE+EB,ED=EB=CD,AE=AC,∴AB=AC+CD.