2022-2023学年上海市长宁区高三上学期12月教学质量调研（一模）数学试题 PDF版

上海市长宁区2022-2023学年高三上学期12月教学质量调研

数学

                          参考答案与评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）．

1.      2.．     3. .         4. 3.         5.3.         6. ①④.

7.180.     8. 4.      9. .          10..         11.         12.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）．

13. A      14. C      15. D       16. C

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

解：（1），，         

因为，所以，             

得，，，                          

所以数列的公比为3，数列的通项公式为. 

（2）因为数列的公差为2，

所以，              

因为，所以，                    

所以，所以，

得.                                          

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

解：（1）因为我      

所以，                 

又因为，           

所以，

因为，所以.                 

（2）因为，所以，        

因为，

所以，             

得，进而，                       

因为，所以.                       

19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.

（1）证明：因为、分别为棱、的中点.

所以，                    

因为平面，不在平面上，

所以平面.               

（2）因为平面平面， ，

所以平面，                

所以，                      

因为，，所以平面.   

（3）因为平面，

所以即为直线与平面所成的角，得

所以，           

因为平面，

所以即为直线与平面所成的角，得

所以，            

因为平面，所以，又，

所以即为二面角的平面角，

由，得，得

所以二面角的大小为.      

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.

解：（1），双曲线的半焦距            

双曲线的的标准方程为,

所以，得，

所以            

（2）解法一：的准线方程为，        

设点，因为，

所以，得

因为，所以，所以，    

因为在第一象限，所以点的坐标为，     

所以直线的斜率为

直线的方程为.                      

解法二：的准线方程为，        

过点作的准线的垂线，垂足为，则，

因为，所以，          

因为在第一象限，所以直线的倾斜角为，  

所以直线的方程为                   

（3）设点，，

由已知直线的方程为，

将代入抛物线方程得，

所以，                     

因为直线的方程为，直线的方程为，

所以的纵坐标分别为，，

得圆方程为，    

因为，所以整理得,  

令，得或，

所以圆过定点和.                 

21．（本题满分16分，第1小题①题满分4分，第1小题②题满分6分，第2小题满分8分）.

解：（1），所以，       

所以曲线在点处切线的斜率为1，        

进而曲线在处的切线方程为.  

（2），， 

令，得，，                    

列表如下：

所以函数的单调减区间为，

函数在处取得极小值上.         

（3）解：

等价于，      

若存在，使得，

则当时，，

此时在上有最小值，与已知矛盾，

所以对任意，都有；       

即对任意，都有

若存在，使得，

则当时，，与已知矛盾，

所以即对任意，都有，  

当 时，，

由

得.