高考数学二轮复习 平面向量命题 点对点突破专题训练 平面向量的极化恒等式(解析版)

这是一份高考数学二轮复习 平面向量命题 点对点突破专题训练 平面向量的极化恒等式(解析版)，共20页。试卷主要包含了极化恒等式，平行四边形模式，三角形模式等内容，欢迎下载使用。
　平面向量的极化恒等式 专题
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．
1．极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．

2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则：(1)·＝[|AC|2－|BD|2]．
　　　　　
3．三角形模式：如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
考点一　平面向量数量积的定值问题
【方法总结】
利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．
【例题选讲】
[例1] (1)(2014·全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．5
答案　A　解析　通法　由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1．
极化恒等式　a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝(10－6)＝1．
(2) (2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________．
答案　－16　解析　因为M是BC的中点，由极化恒等式得：·＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－16．

(3)如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝(　　)

A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
答案　C　解析　连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5．
(4)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________．

答案　　解析　连结EG，FH，交于点O，则·＝·＝2－2＝1－＝，·＝·＝2－2＝1－＝，因此·＋·＝．
(5) (2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．·＝4，·＝－1，则·的值为________．

答案　　解析　极化恒等式法　设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的极化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4， ·＝2－2＝n2－m2＝－1．联立解得n2＝，m2＝．因此·＝2－2＝4n2－m2＝．即·＝．
坐标法　以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，如图：设A(3a，3b)，B(－c，0)，C(－c，0)，则有E(2a，2b)，F(a，b)　·＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4　·＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，则a2＋b2＝，c2＝　·＝·＝4a2－c2＋4b2＝．

基向量　·＝(－)(－)＝＝＝4，·＝(－)(－)＝＝－1，因此2＝，＝，·＝(－)(－)＝＝＝．
(6)在梯形ABCD中，满足AD∥BC，AD＝1，BC＝3，·＝2，则·的值为________．

答案　4　解析　过A点作AE平行于DC，交BC于E，取BE中点F，连接AF，过D点作DH平行于AC，交BC延长线于H，E为BH中点，连接DE，，
，又，AD∥BC，则四边形ADEF为平行四边形，，．

【对点训练】
1．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________．
1．答案　1　解析　取AE中点O，设|AE|＝x(0≤x≤1)，则|AO|＝x，∴·＝|DO|2－|AO|2＝12＋
－x2＝1．
2．如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝
(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－

2．答案　B　解析　取AO中点Q，连接PQ，·＝·＝PQ2－AQ2＝－＝．
3．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若·＝－7，则·的值
是________．

3．答案　9　解析　因为·＝2－2＝9－2＝－7⇒2＝16，所以·＝2－2＝25
－16＝9．
4．已知点A，B分别在直线x＝3，x＝1上，|－|＝4，当|＋|取最小值时，·的值是_____．
A．0　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．6
4．答案　C　解析　如图，点A，B分别在直线x＝1，x＝3上，||＝4，当|＋|取最小值时，AB的
中点在x轴上，·＝2－2＝4－4＝0．

5．在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
5．答案　C　解析　解法一：因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，在△ABD中，
AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos60°＝2＋12－2××1×＝，即AD＝，同理可得AE＝，在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝＝＝，所以·＝||·||cos∠DAE＝××＝．
解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A，D，E，

所以＝(－，－)，＝，所以·＝·＝－＋＝．
极化恒等式法　取DE中点F，连接AF，则·＝|AF|2－|DF|2＝－＝．
6．在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
6．答案　B　解析　坐标法　由|＋|＝|－|，化简得·＝0，又因为AB和AC为三角形的两
条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，所以＝，＝，所以·＝×＋×＝．

极化恒等式法　取EF中点M，连接AM，则·＝|AM|2－|EM|2＝－＝．
7．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是(　　)

A．44　　　　　　　　B．22　　　　　　　　C．24　　　　　　　　D．72
7．答案　B　解析　如图，取AB中点E，连接EP并延长，交AD延长线于F，·＝EP2－AE2＝EP2
－16＝2，∴EP＝3，又∵＝3，＝，＝，∴AE＝2DP，即△FAE中，DP为中位线，AF＝2AD＝10，AE＝AB＝4，FE＝2PE＝6，AP2＝40，·＝·＝AP2－EP2＝40－(3)2＝22．
8．如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠A＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，
＝2，若F为DE的中点，则·的值为________．

8．答案　4　解析　取BD的中点N，连接NF，EB，则BE⊥AE，∴BE＝2．在△DEB中．FN∥EB．∴FN
＝．·＝2·＝2(FN2－DN2)＝4．

9．如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点，若CD⊥AD，垂足为E，
则·＝________．
9．答案　－　解析　由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2 AB·AC·cos120°＝19，即BC＝，因为·
AD2－CD2＝|AB|·|AC|·cos120°＝－3，所以|AD|＝，因为S△ABC＝2S△ADC，则|AB|·|AC|·sin120°＝2·|AD||CE|，解得|CE|＝，在Rt△DEC中，|DE|＝＝，所以·＝|ED|2－|CD|2＝－．

10．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB＝1，EF＝，CD＝，若·
＝15．则·的值为________．
10．答案　　解析　极化恒等式　如图，取中点，四边形中，易知
三线共点于，，又，在中，，由中线长公式知,从而，=．

基向量法　，，，
，，则
，可化为，
．

考点二　平面向量数量积的最值(范围)问题
【方法总结】
利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．
积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．
【例题选讲】
[例1](1)若平面向量a，b满足|2a－b|≤，则a·b的最小值为________．
答案　－　解析　a·b＝[(2a＋b)2－(2a－b)2]＝[|2a＋b|2－|2a－b|2]≥＝－．当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，即|a|＝，|b|＝，< a，b >＝π时，a·b取最小值－．
(2)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在m，n上，|＋|＝5，则·的最大值是________．

答案　　解析　坐标法　以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，如图：则A，C，B，则＝，＝，从而2＋2＝52，即2＝9，又·＝bc＋3≤＋3＝，当且仅当b＝c时，等号成立．

极化恒等式　连接BC，取BC的中点D，·＝AD2－BD2，又AD＝＝，故·＝－BD2＝－BC2，又因为BCmin＝3－1＝2，所以(·) max＝．

(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－1
答案　B　解析　方法一　(解析法)　建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)．设P点的坐标为(x，y)，

图①
则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－．当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－．故选B．
方法二　(几何法)　如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·．

图②
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||||的最大值．又当点P在线段AD上时，||＋||＝||＝2×＝，∴||||≤2＝2＝，∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－．故选B．
极化恒等式法　设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，∴·(＋)＝2·＝2||2－||2＝2||2－≥－．当且仅当M与P重合时取等号．

(4)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是________．
答案　[－2，6]　解析　取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2．又由极化恒等式得：·＝|PD|2－|AB|2＝|PD|2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min＝1，所以·∈[－2，6]．

(5)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则·的最小值为_____．

答案　5－2　解析　通法　以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，)，C(2，)，设P(2cos θ，2sin θ)，则·＝(2－2cos θ，－2sin θ)·(－1－2cos θ，－2sin θ)＝5－2cos θ－4sin θ＝5－2sin(θ＋φ)，其中0