必修 第二册10.2 事件的相互独立性优秀复习练习题

第十章概率

10.2　事件的相互独立性

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案A

解析左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,则两个指针同时落在奇数区域的概率为.

2.社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-×1-=,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-.故选C.

3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为.

4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是(　　)

A.A与B,A与C均相互独立

B.A与B相互独立,A与C互斥

C.A与B,A与C均互斥

D.A与B互斥,A与C相互独立

答案A

解析由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.

5.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是　　　　. 

答案0.902

解析设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥.

∴至少两颗卫星预报准确的概率为

P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.

6.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为　　　　,问题得到解决的概率为　　　　. 

答案

解析甲、乙两人都未能解决的概率为1-1-=.

问题得到解决就是至少有1人能解决问题,∴P=1-.

7.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为,且各自能否被选中相互之间没有影响.

(1)求三人都被选中的概率;

(2)求只有两人被选中的概率.

解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.

(1)∵A,B,C是相互独立事件,

∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.

(2)三种情形:

①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(BC)=P()P(B)P(C)=.

②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(AC)=P(A)P()P(C)=.

③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(AB)=P(A)P(B)P()=.

以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=.

关键能力提升练

8.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　)

A. B. C. D.

答案D

解析这两项都不合格的概率是,则至少有一项合格的概率是1-.

9.人的眼皮单双是由遗传基因决定的,其中显性基因记作A,隐性基因记作a.成对的基因中,只要出现了显性基因,就一定是双眼皮,也就是说,“双眼皮”的充要条件是“基因对是AA,aA或Aa”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的,分别用B,b表示显性基因、隐性基因,基因对中只要出现了显性基因B,就一定是卷舌的.生物学上已经证明:控制不同性状的基因遗传时互不干扰,基因对中两个基因分别来自父本和母本,且是随机组合的.若有一对夫妻,两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是AaBb,不考虑基因突变,那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案D

解析父母决定眼皮单双的基因均为Aa,遗传给孩子的基因可能为AA,Aa,aA,aa,所以孩子为双眼皮的概率为P1=.同理孩子卷舌的概率为P2=.根据相互独立事件的概率公式知孩子是双眼皮且卷舌的概率为P=.

10.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于(　　)

A. B. C. D.

答案D

解析由题意知,P()P()=,P()P(B)=P(A)P().设P(A)=x,P(B)=y,则∴x2-2x+1=,∴x-1=-,或x-1=(舍去),∴x=,即事件A发生的概率P(A)等于.

11.(多选题)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有 (　　)

A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现的点数为奇数”,事件N表示“出现的点数为偶数”

B.袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M表示“第1次摸到白球”,事件N表示“第2次摸到白球”

C.掷一枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现点数为奇数”,事件N表示“出现点数为3或4”

D.一枚硬币掷两次,事件M表示“第一次为正面”,事件N表示“第二次为反面”

答案CD

解析在A中,M,N是互斥事件,不相互独立;在B中,M,N不是相互独立事件;在C中,P(M)=,P(N)=,P(MN)=,P(MN)=P(M)P(N),因此M,N是相互独立事件;在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是相互独立事件.

12.(多选题)下列对各事件发生的概率判断正确的是 (　　)

A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为

B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为,假设他们能否破译出密码是相互独立的,则此密码被破译的概率为

C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为

D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是

答案AC

解析对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为1-2×,故A正确;对于B,用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为1-,故B不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=,故取到同色球的概率为,故C正确;对于D,易得P(A)=P(B),即P(A)P()=P(B)P(),

即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B).

又P()=,

所以P()=P()=,

所以P(A)=,故D错误.

13.(多选题)如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是              (　　)

A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为

B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为

C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为

D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为

答案ACD

解析由题意知,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(E)=,所以A,B两个盒子畅通的概率为1-×1-=,因此A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为1-=1-,因此B错误;A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为1-=1-,C正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为,D正确.

14.设两个相互独立事件A与B,若事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为1-p,则A与B同时发生的概率的最大值为　　　　. 

答案

解析事件A与B同时发生的概率为p(1-p)=p-p2(p∈[0,1]),当p=时,最大值为.

15.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=　　　,P(B)=　　　. 

答案

解析∵P(AB)=P(AB)P()=P()=,

∴P()=,即P(C)=.

又P(C)=P()P(C)=,

∴P()=,P(B)=.

又P(AB)=,则P(A)=,

∴P(B)=P()P(B)=.

16.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.

(1)求P2的值;

(2)当n∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式.

解(1)P2=.

(2)Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)×

=-Pn-1+(n∈N,n≥2).

学科素养创新练

17.(2021江苏淮安期末)某企业生产两种如图所示的电路子模块R,Q:要求在每个模块中,不同位置接入不同种类型的电子元件,且备选电子元件为A,B,C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其他元件影响.在电路子模块R中,当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中,当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作.

(1)若备选电子元件A,B型正常工作的概率分别为0.9,0.8,依次接入位置1,2,求此时电路子模块R能正常工作的概率;

(2)若备选电子元件A,B,C型正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9,试问如何接入备选电子元件,电路子模块Q能正常工作的概率最大,并说明理由.

解假设事件A,B,C分别表示电子元件A,B,C正常工作,

(1)电路子模块R不能正常工作的概率为P(),由于事件A,B互相独立,

所以P()=P()P()=(1-0.9)×(1-0.8)=0.02,

因此电路子模块R能正常工作的概率为1-0.02=0.98.

(2)由于当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,

电路子模块Q才能正常工作,

①若1号位元件为电子元件A,

则电路子模块Q正常工作的概率为P(A)[1-P()]=0.7×(1-0.2×0.1)=0.686;

②若1号位元件为电子元件B,则电路子模块Q正常工作的概率为P(B)[1-P()]=0.8×(1-0.3×0.1)=0.776;

③若1号位元件为电子元件C,则电路子模块Q正常工作的概率为P(C)[1-P()]=0.9×(1-0.3×0.2)=0.846.

因此,1号位接入正常工作概率最大的元件C时,电路子模块Q正常工作的概率最大.