数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精品同步训练题
展开5.5.2 简单的三角恒等变换
课后篇巩固提升
合格考达标练
1.cos2的值为( )
A. B. C. D.
答案B
解析cos2.
2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为 ( )
A. B.- C.± D.
答案C
解析因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,而是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin ;当是第三象限角时,sin =-=-,故sin =±.
3.在△ABC中,若cos A=,则sin2+cos 2A= ( )
A.- B. C.- D.
答案A
解析sin2+cos 2A=+2cos2A-1=+2cos2A-1=-.
4.已知f(x)=sin x+cos x,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ= .
答案
解析因为f(x)=sin x+cos x=2=2sin,又因为f(θ)=2,
所以2sin=2,解得θ=.
5.若tan α=,则= .
答案7
解析因为tan α=,所以=7.
6.证明:.
证明左边=
=
==右边.
所以原等式成立.
等级考提升练
7.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,则f=( )
A. B.- C.1 D.
答案D
解析∵f(x)=cos x
=cos x+sin x=2sin,
∴f=2sin=2sin.
8.若3π<x<4π,则=( )
A.cos B.-cos
C.sin D.-sin
答案C
解析因为3π<x<4π,
所以<2π,sin<0,cos>0.
于是=cos+sin=cos-sincossin=sin.
9.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则下列等式中一定成立的是( )
A.A=B B.A=C
C.B=C D.A=B=C
答案A
解析∵sin Asin B=cos2
=cos(A+B)
=(cos Acos B-sin Asin B),
∴cos Acos B+sin Asin B=.
∴cos(A-B)=1.
∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,
∴A-B=0,∴A=B.
10.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于,则它的底角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案B
解析设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cos α=.又β=,即cos β=cos=sin.
11.(多选题)有以下四个关于三角函数的命题,其中正确的是( )
A.∃x∈R,sin2+cos2
B.∃x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y
C.∀x∈[0,π],=sin x
D.sin x=cos y,则x+y=
答案BC
解析因为sin2+cos2=1≠,所以A为假命题;当x=y=0时,sin(x-y)=sin x-sin y,所以B为真命题;因为=|sin x|=sin x,x∈[0,π],所以C为真命题;当x=,y=2π时,sin x=cos y,但x+y≠,所以D为假命题.
12.(多选题)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中,与f(x)=sin x+cos x构成“互为生成函数”的有( )
A.f1(x)=sin x+
B.f2(x)=(sin x+cos x)
C.f3(x)=sin x
D.f4(x)=2cossin+cos
答案AD
解析f(x)=sin x+cos x=sinx+,∵f1(x)=sin x+,∴将f1(x)图象向下平移个单位长度,再向左平移个单位长度即可与f(x)图象重合;f2(x)=(sin x+cos x)=sinx+=2sinx+,f2(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;C.f3(x)=sin x,f3(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;f4(x)=2cossin+cos=2cossin+2cos2=sin x+cos x+1=sinx++1,将f4(x)图象向下平移1个单位长度,与f(x)图象重合.故A,D中的函数与f(x)“互为生成函数”.
13.已知sinx+=-,则cos x+cosx-= .
答案-1
解析因为sinx+=-,
所以cos x+cosx-=cos x+cos x+sin x
=cos x+sin x=cos x+sin x
=sinx+=-1.
14.已知cos=m,则cos x+cos= .
答案m
解析因为cos x+cos=cos x+cos xcos +sin xsin cos x+sin x=cos,所以cos x+cosm.
15.已知sin α=,sin(α+β)=,α,β均为锐角,求cos 的值.
解∵0<α<,∴cos α=,
∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π,
若0<α+β<,
∵sin(α+β)<sin α,∴α+β<α,
∴β<0,与已知矛盾,
∴<α+β<π,∴cos(α+β)=-,
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.
∵0<β<,∴0<,
∴cos .
新情境创新练
16.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=.
证明由已知,得sin A+sin B=-sin C, ①
cos A+cos B=-cos C. ②
和差化积,得2sincos=-sin C. ③
2coscos=-cos C. ④
∵当cos=0时,sin C=cos C=0,不满足题意,∴cos≠0.
③÷④,得tan=tan C.
∴cos(A+B)==cos 2C.
①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,
即cos(A-B)=-,
∴cos2A+cos2B+cos2C
=(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C)
=[2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C]
=.
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