高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时课堂检测

第2课时　单调性、最大值与最小值

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是(　　)

A. B.

C. D.

答案C

解析画出y=|sin x|的图象即可求解.

故选C.

2.(2021山西太原高一期末)函数y=sin-2x的单调递减区间是(　　)

A.2kπ-,2kπ+(k∈Z)

B.kπ-,kπ+(k∈Z)

C.2kπ+,2kπ+(k∈Z)

D.kπ+,kπ+(k∈Z)

答案B

解析y=sin-2x=-sin2x-,由-+2kπ≤2x-+2kπ,得kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z.故函数y=sin-2x的单调递减区间是kπ-,kπ+(k∈Z).故选B.

3.函数y=cosx+,x∈0,的值域是(　　)

A.- B.-

C.,1 D.,1

答案B

解析因为0≤x≤,所以≤x+π.所以cosπ≤cosx+≤cos,所以-≤y≤.故选B.

4.函数y=的最小值是(　　)

A.2 B.-2 C.1 D.-1

答案B

解析由y==2-,当sin x=-1时,y=取得最小值-2.故选B.

5.函数y=sin2x+2cos x的最大值和最小值分别是(　　)

A.,- B.,-2

C.2,- D.2,-2

答案B

解析因为函数y=sin2x+2cos x=1-cos2x+2cos x=-(cos x-1)2+2,

又cos x∈.

所以当cos x=-1,即x=π时,函数y取得最小值为-4+2=-2;当cos x=,即x=时,函数y取得最大值为-+2=.

6.函数f(x)=sin-x,x∈[0,π]的单调递增区间为　　　　　,单调递减区间为　　　　　. 

答案,π　0,

解析f(x)=-sinx-,

令-+2kπ≤x-+2kπ,k∈Z,

则-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z时,f(x)单调递减.

又0≤x≤π,所以0≤x≤,

即f(x)的单调递减区间为0,,

同理f(x)的单调递增区间为,π,

所以f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间为0,,单调递增区间为,π.

7.sin 1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为　　　　　　　　. 

答案sin 3<sin 1<sin 2

解析因为1<<2<3<π,sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3.

y=sin x在0,上单调递增,且0<π-3<1<π-2<,所以sin(π-3)<sin 1<sin(π-2),

即sin 3<sin 1<sin 2.

8.若y=asin x+b的最大值为3,最小值为1,则ab=　　　　　. 

答案±2

解析当a>0时,解得所以ab=2.

当a<0时,解得

所以ab=-2.

综上可得,ab=±2.

等级考提升练

9.已知sin α>sin β,α∈-,0,β∈π,π,则 (　　)

A.α+β>π B.α+β<π

C.α-β≥-π D.α-β≤-π

答案A

解析因为β∈π,π,所以π-β∈-,0,

且sin(π-β)=sin β.

因为y=sin x在x∈-,0时单调递增,sin α>sin β,

所以sin α>sin(π-β),则α>π-β,即α+β>π.故选A.

10.函数y=(x∈R)的最大值是(　　)

A. B. C.3 D.5

答案C

解析由题意有y=-1,而1≤2-cos x≤3,所以≤4,所以≤y≤3.故函数y的最大值是3.

11.已知函数f(x)=sin,其中x∈,若f(x)的值域是,则α的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案D

解析若-≤x≤α,则-≤x+≤α+,∵当x+=-或x+时,sinx+=-,

∴要使f(x)的值域是,

则有≤α+≤α≤π,

即α的取值范围是.

12.函数f(x)=sinx++cosx-的最大值为 (　　)

A. B.1 C. D.

答案A

解析因为x++-x=,

所以f(x)=sinx++cosx-

=sinx++cos-x

=sinx++sinx+

=sinx+≤.

所以f(x)max=.

故选A.

13.(多选题)(2021广州番禺高一期末)设函数f(x)=sinx-,则下列结论正确的是(　　)

A.f(x)的最小正周期为2π

B.f(x)的图象关于直线x=对称

C.f(x)的图象关于点-,0对称

D.f(x)在区间0,上单调递增

答案AD

解析对于A,ω=1,T=2π,故A正确;

对于B,由x-=kπ+,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,

k=0时,x=,k=-1时,x=-,故B错误;

对于C,由x-=kπ,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,k=0时,x=,k=-1时,x=-,故C错误;

对于D,由-<x-,解得-<x<,

故函数在-上单调递增,故D正确.

故选AD.

14.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间0,上单调递增,在区间上单调递减,则ω=　　　　　. 

答案

解析∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sin ωx单调递增;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sin ωx单调递减.

由f(x)=sin ωx(ω>0)在0,上单调递增,

在上单调递减知,,则ω=.

15.已知函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小值为g(a),a∈R.

(1)求g(a);

(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.

解(1)y=f(x)=1-2a-2acos x-2(1-cos2x),

令t=cos x,则y=2t2-2at-2a-1,t∈[-1,1],

当<-1,即a<-2时,ymin=f(-1)=1;

当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,ymin=f=--2a-1.

当>1,即a>2时,ymin=f(1)=-4a+1.

故g(a)=

(2)由g(a)=,得a=-1,此时f(x)=2cos2x+2cos x+1,

当cos x=1时,f(x)max=5,此时x=2kπ,k∈Z.

16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.

(1)求ω的值;

(2)求y=f(x)的单调递增区间;

(3)若x∈,求y=f(x)的值域.

解(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω==2.

(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.又|φ|<,所以φ=.

所以函数f(x)的解析式是y=sin.

令2x+,k∈Z,

解得x∈,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z.

(3)因为x∈,所以2x+∈-.所以sin,

即函数的值域为.

新情境创新练

17.(2020浙江丽水高一期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω,φ∈R),若f=0,且f(x)在区间上是单调函数,则ω的最大值是　　　　. 

答案7

解析由f=0,且f(x)在区间上是单调函数,易得,

且f=0,可得当x∈时与x∈时,f(x)均单调,可得,T≥,同理,T≥,

综上可得T≥,即,可得|ω|≤7,故ω的最大值是7.