高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质备课课件ppt

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1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.(数学抽象)2.会求正弦函数、余弦函数的周期,并会应用.(数学运算)3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(数学运算)
[激趣诱思]观察钟表,我们发现钟表上的时针每经过12小时运行一周,分针每经过1小时运行一周.分针、时针转动的周期分别是多少?
知识点一:函数的周期性1.周期函数
名师点析 1.对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x有f(x+T)=f(x),那么T不一定是f(x)的周期.2.自变量x本身加的常数才是最小正周期,如f(2x+T)=f(2x)中T不是最小正周期,因为f(2x+T)=f[2(x+ )]=f(2x),所以 才是最小正周期.3.周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是函数f(x)的周期.4.并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.
微思考周期函数的周期是否唯一?提示 不唯一.若f(x+T)=f(x),则f(x+nT)=f(x),n∈Z,且n≠0.
微判断(1)周期函数y=f(x)的定义域可以为[a,b](a,b∈R).(　　)(2)所有的函数都有最小正周期.(　　)答案 (1)×　(2)×　(3)×微练习若函数y=f(x)是以2为周期的函数,且f(5)=6,则f(1)=　　　　. 答案 6解析 由已知得f(x+2)=f(x),所以f(1)=f(3)=f(5)=6.
知识点二:正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
名师点析 函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acs(ωx+φ)的周期:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T= .(2)函数y=Acs(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T= .
微练习函数y=sin(x+ )是(　　)A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数答案 D解析 y=sin(x+ )=cs x.
例1求下列三角函数的周期:(1)y=3sin x,x∈R;(2)y=cs 2x,x∈R;(4)y=|cs x|,x∈R.
解 (1)3sin(x+2π)=3sin x,由周期函数的定义知,y=3sin x的周期为2π.(2)cs 2(x+π)=cs(2x+2π)=cs 2x,由周期函数的定义知,y=cs 2x的周期为π.
(4)函数y=|cs x|的图象如图(实线部分)所示,
由图象可知,y=|cs x|的周期为π.
反思感悟 求函数最小正周期的常用方法求三角函数的最小周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acs(ωx+φ)+B的形式,再利用T= 求得;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.
变式训练1求下列函数的最小正周期:(2)y=cs|x|.
(2)因为函数y=cs x为偶函数,所以y=cs|x|=cs x,从而函数y=cs|x|与y=cs x的图象一样,因此最小正周期相同,为2π.
例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sin x|+cs x;
解 (1)函数f(x)=|sin x|+cs x的定义域为R.∵f(-x)=|sin(-x)|+cs(-x)=|sin x|+cs x=f(x),∴函数f(x)是偶函数.
反思感悟 1.判断函数奇偶性的常用方法:(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.(3)验证法,即验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是否成立.此法通常用于函数是非奇非偶函数的情形.2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数是非奇非偶函数.
变式训练2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xcs(π+x);(2)f(x)=sin(cs x).解 (1)函数f(x)的定义域为R,∵f(x)=xcs(π+x)=-xcs x,∴f(-x)=-(-x)cs(-x)=xcs x=-f(x).∴f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)=sin[cs(-x)]=sin(cs x)=f(x).∴f(x)为偶函数.
(2)因为f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3),所以f(x+6)=f(x),故函数是周期为6的周期函数.又因为函数是奇函数,所以f(2 019)=f(6×337-3)=f(-3)=-f(3)=0.
反思感悟 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.2.推得函数周期的若干形式:(1)若f(x+t)=f(x),则函数周期为t;(2)若f(x+t)=-f(x),则函数周期为2t;
已知三角函数的奇偶性求参数
方法点睛 与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);(2)要使y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ+ (k∈Z);(3)要使y=Acs(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为奇函数,则φ=kπ+ (k∈Z);(4)要使y=Acs(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).
1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是(　　)A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案 A解析 因为x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数答案 C
4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且f(1)=1,则f(5)=　　　　　. 答案 -1解析 由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,则f(5)=f(5-6)=f(-1)=-f(1).又f(1)=1,则f(5)=-1.