专项28 反比例图像与一次函数综合应用（三大类型）- 2022-2023 九年级数学下册高分突破必练专题（人教版）

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专项28 反比例图像与一次函数综合应用（三大类型）

考点 反比例与一次函数的综合
方法1：分类讨论的符号；
方法2：四个图逐个分析判断；
方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）


【类型一：反比例图形与一次函数图形】
【典例1】反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意；
B、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＞0，则反比例y＝经过第一、三象限，不符合题意；
C、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于正半轴，则b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意；
D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，符合题意；
故选：D．
【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵y＝x中的1＞0，
∴直线y＝1x经过第一、三象限．
∵y＝﹣中的﹣2＜0，
∴双曲线y＝﹣经过第二、四象限，
综上所述，只有B选项符合题意．
故选：B．
【变式1-2】在同一平面直角坐标系中反比例函数y＝与一次函数y＝x+3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵反比例函数y＝中，3＞0，
∴反比例函数过第一、三象限，
∵y＝x+3中，k＝1＞0，b＝3＞0，
∴一次函数过第一、二、三象限；
故选：A．
故选：D．
【类型二：反比例函数与一次函数的大小比较】
【典例2】（2022•普陀区校级开学）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（，4）和点B（3，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）

A．x＜0或＜x＜3 B．x＜或x＞3
C．0＜x＜或x＞3 D．x＜0或x＞3
【答案】C
【解答】解：根据图象得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜或x＞3，
故选：C．
【变式2-1】（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
【答案】A
【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，
∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：A．
【变式2-2】（2022•朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　）

A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】D
【解答】解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，
∴B（2，﹣m），
∴不等式ax＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜2，
故选：D．
【变式2-3】（2022•渠县一模）如图，直线y＝ax+b与函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点，与x轴交于点C，且，则不等式ax+b＞的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则AD∥BE，
∴＝＝，
∵A（1，m）、B（n，1），
∴AD＝m，BE＝1，
∴m＝3，
∴A（1，3），
∵函数y＝（x＞0）的图象国过点A（1，3）、B（n，1）两点，
∴k＝1×3＝n•1，
∴n＝3，
∴B（3，1），
观察图象，不等式ax+b＞的解集为1＜x＜3，
故选：D．

【类型三：反比例函数与一次函数综合应用】
【典例3】（2022•大足区模拟）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（n，﹣1），与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足S△APB＝8，求点P的坐标．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入（k2≠0）中，
得k2＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为．
将点B（n，﹣1）代入中，
得n＝3，
∴点B的坐标为（3，﹣1），
将A（﹣1，3），B（3，﹣1）代入y＝k1x+b（k1≠0）中，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2．
（2）对于一次函数y＝﹣x+2，令y＝0，
得x＝2，
∴点C的坐标为（2，0）．
设点P坐标为（a，0），
∵S△APB＝S△ACP+S△BCP＝8，
即|2﹣a|×3+|2﹣a|×1＝8，
∴|a﹣2|＝4，
解得a＝﹣2或a＝6．
∴点P的坐标为（﹣2，0）或（6，0）．
【变式3-1】（2022•咸丰县模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象上A、B两点的坐标分别为A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n）．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．

【解答】解：（1）∵A、B两点在的图象上，而A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n），
∴n（n+1）＝（n﹣5）（﹣2n），即n2+n＝﹣2n2+10n3n2﹣9n＝0，
解得n1＝0，n2＝3
∵的图象与坐标轴没有交点，
∴n1＝0舍去，
∴n＝3，
∴A（3，4），B（﹣2，﹣6），
∴k＝3×4＝12，
设直线AB的解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，反比例函数解析式为：；
（2）设直线AB交x轴于点D，则
当y＝0时，2x﹣2＝0，
∴x＝1，
∴D（1，0），
∴
∴△AOB的面积为5．
【变式3-2】（2021秋•金水区校级期末）在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点M，交AC于点N，连接OM、ON．
（1）求反比例函数表达式．
（2）求△MON的面积．

【解答】解：（1）由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，得AC＝OB＝8，OA＝BC＝6，
M（8，3），N点的纵坐标是6，
∴BM＝3，
将M点坐标代入函数解析式，得
k＝8×3＝24，
反比例函数的解析是为y＝；
（2）当y＝6时，＝6，
解得x＝4，
∴N（4，6），
∴AN＝4，
∴NC＝8﹣4＝4，CM＝6﹣3＝3，
∴S△MON＝S矩形AOBC﹣S△AON﹣S△BOM﹣S△MCN
＝AC•BC﹣OA•AN﹣OB•BM﹣NC•NM
＝6×8﹣×6×4﹣×8×3﹣×4×3
＝18，
即△MON的面积为18．

1.函数y＝x﹣a与y＝（a≠0）在同一坐标系内的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、由函数y＝x﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，相矛盾，故选项不可以；
B、由函数y＝x﹣a的图象可知a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故选项不可以；
C、函数y＝x﹣a的图象错误，故选项不可以；
D、由函数y＝x﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，一致，故故选项可以；
2．（2014•无锡一模）如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：根据反比例函数的几何意义可得，S△ABP＝＝2，
又∵函数图象在第一象限，
∴k＝4．
故选：D．
3．（2021•长沙模拟）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：设直线AB与x轴交于点C．
∵AB∥y轴，
∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．
∵点A在双曲线y＝的图象上，
∴△AOC的面积＝×10＝5．
∵点B在双曲线y＝的图象上，
∴△COB的面积＝×6＝3．
∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积＝5﹣3＝2．
故选：B．

4．（2022•江汉区校级模拟）若一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝（m＜0）的图象交于点A（﹣3，y1），B（1，y2），则不等式kx2+bx﹣m＜0的解集是（　　）
A．x＞1或x＜﹣3 B．0＜x＜1或x＜﹣3
C．﹣3＜x＜0或x＞1 D．﹣3＜x＜0或0＜x＜1
【答案】A
【解答】解：∵m＜0，
∴反比例函数y＝（m＜0）的图象在第二、四象限，如图，
当x＞0时，
∵kx2+bx﹣m＜0，
∴kx+b＜，
由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m＜0）的图象下方时，x的取值范围是：x＞1，
当x＜0时，
∵kx2+bx﹣m＜0，
∴kx+b＞，
由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m＜0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣3，
∴等式kx2+bx﹣m＜0的解集是：x＞1或x＜﹣3，
故选：A．
5．（2022春•安溪县期末）如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝kx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若＜k2x，则x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
【答案】C
【解答】解：根据反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，
利用图象得：y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．
故选：C．
6．（2022•沈阳模拟）如图，点A，B分别是x轴上的两点，点C，D分别是反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）图象上的两点，且四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形ABCD的面积为 　 　．

【答案】8
【解答】解：解法一：如图，连接OC、OD，CD交y轴于E，
∵点C，D分别是反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）图象上的两点，
∴S△DOE＝×|﹣3|＝，S△COE＝×5＝，
∴S△DOC＝+＝4＝S平行四边形ABCD，
∴S平行四边形ABCD＝8，
故答案为：8．
解法二：
设点C的纵坐标为b，
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴点C的横坐标为，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的纵坐标也为b，
∵点D在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴点D的横坐标，
∴CD＝﹣＝，
∴平行四边形ABCD的面积为×b＝8，
故答案为：8．
7.（2022•市南区二模）如图，两个反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为　 　．

【答案】
【解答】解：∵点P在y＝上，
∴|xp|×|yp|＝|k|＝1，
∴设P的坐标是（a，）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y＝﹣上，
∴A的坐标是（a，﹣），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y＝﹣上，
∴代入得：＝﹣，
解得：x＝﹣2a，
∴B的坐标是（﹣2a，），
∴PA＝|﹣（﹣）|＝，PB＝|a﹣（﹣2a）|＝3a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB＝××3a＝
故答案为：．
8．（2022秋•双牌县校级月考）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．

【解答】解：（1）把A（1，2）代入得，2＝，
∴k2＝2，
∴双曲线的解析式为y2＝，
∵点B（m，﹣1）在双曲线y2＝上，
∴﹣1＝，
∴m＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝k1x+b，得，
解得：，
∴直线的解析式为y1＝x+1；
（2）设直线y1＝x+1与y轴交于点M，则M（0，1），

∴S△AOB＝S△AOM+S△BOM＝×1×1+×1×2＝；
（3）由图象可知：当y1＜y2时，x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
9．（2022秋•宁远县校级月考）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，且A点坐标为（﹣2，1），点B的横坐标为1，一次函数交x轴于点C．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出使反比例函数大于一次函数的x的取值范围．

【解答】解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；
将点A代入y＝﹣x+b得：﹣1+b＝﹣2，
解得：b＝﹣1，
∴一次函数的解析式的解析式为：y＝﹣x﹣1；
（2）由直线AB的解析式可知C（﹣1，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝1.5；
（3）观察图象，反比例函数大于一次函数的x的取值范围是x＞1或﹣2＜x＜0．
10．（2022•南充）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积．

【解答】解：（1）设双曲线的解析式为y＝，
∵点A（1，6）在该双曲线上，
∴6＝，
解得k＝6，
∴y＝，
∵B（m，﹣2）在双曲线y＝上，
∴﹣2＝，
解得m＝﹣3，
设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如右图所示，
直线BO的解析式为y＝ax，
∵点B（﹣3，﹣2），
∴﹣2＝﹣3a，
解得a＝，
∴直线BO的解析式为y＝x，
，
解得或，
∴点C的坐标为（3，2），
∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2），
∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4，
∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC
＝8×6﹣﹣﹣
＝48﹣16﹣12﹣4
＝16．

11.（2022•富阳区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣4，n），B（2，﹣4）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两个点，若x1＜x2，试比较y1与y2的大小；
（3）求△AOB的面积．

【解答】解：（1）将点B（2，﹣4）代入反比例函数y＝，
得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
∴反比例函数解析式：，
将点A（﹣4，n）代入，
得﹣4n＝﹣8，
解得n＝2，
∴A（﹣4，2），
将A，B点坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式：y＝﹣x﹣2；
（2）若x1＜x2，
分三种情况：
①x1＜x2＜0，y1＜y2，
②x1＜0＜x2，y1＞y2，
③0＜x1＜x2，y1＜y2；
（3）设一次函数与y轴的交点为D，则D点坐标为（0，﹣2），
∴OD＝2，
∵A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝＝6，
∴△AOB的面积为6．