专项29 反比例图像综合应用（八大类型）- 2022-2023 九年级数学下册高分突破必练专题（人教版）

专项29  反比例图像综合应用（八大类型）

     【 类型一 反比例函数中线段最值问题】

     【类型二  反比例函数中等腰三角形的存在性】

 【类型三  反比例函数中直角三角形的存在性】

     【类型四  反比例函数中平行四边形的存在性】

     【 类型五 反比例函数中矩形的存在性】

     【类型六 反比例函数中菱形的存在性】

     【类型七  反比例函数中等腰三角形的存在性】

     【类型八  反比例函数中相似三角形的存在性】

【类型一 反比例函数中线段最值问题】

1．（2021•潮阳区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．

（1）填空：k的值等于 　  　．

（2）连接FG，判断△COF与△BFG是否相似，并说明理由．

（3）在x轴上存在这样的点P，使得PF+PG有最小值？请求出此时点P的坐标．

2.如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．

（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；

（2）求△COD的面积；

（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．

（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．

【类型二  反比例函数中等腰三角形的存在性】

3．（2022秋•灯塔市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．

（1）求直线EF的解析式；

（2）求△EOF的面积；

（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

4．（2022秋•天桥区校级月考）如图1，一次函数AB：y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）大的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．

（1）求a，k的值．

（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD．

①如图2，连接OA，OC，求△OAC的面积．

②点P在x轴上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，写出符合条件的点P的坐标．

4．（2022•泰安三模）如图，直线AD：y＝3x+3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点，过点C的反比例函数y＝（k≠0）与直线AD交于E、F两点．

（1）求反比例函数y＝表达式；

（2）根据图象，求出不等式0＜3x+3＜的解集；

（3）在x上是否存在一点Q使△CBQ为等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

【 类型三  反比例函数中直角三角形的存在性】

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，OC＝3．

（1）求过点D的反比例函数的解析式；

（2）求△DBE的面积；

（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

 【类型四  反比例函数中平行四边形的存在性】

6．（2022春•姑苏区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；

（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．

7．（2022•嵩县模拟）如图，直线AC和BC的解析式分别是y＝x+1和y＝﹣+，AC与BC相交于点C，CD⊥y轴于点D，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线BC相交于点C和E，点P是x轴上一个动点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）根据函数图象，请直接写出当＞﹣+时x的取值范围；

（3）当以点B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点P的坐标．

8．（2021秋•和平区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是 　   　；

（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为 　                  　．

【 类型五 反比例函数中矩形的存在性】

9．（2022春•大英县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．

（1）求反比例和一次函数解析式；

（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围；

（3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．

10．（2022春•嘉兴期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点A（﹣2，3），B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线AC交y轴于点E，连结AD，BC，BD．

（1）①写出点B的坐标．

②求证：四边形ACBD是平行四边形．

（2）当四边形ACBD是矩形时，求点C的坐标．

（3）点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．

【类型六 反比例函数中菱形的存在性】

11．（2022春•淮阴区期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，B（5，4），D（﹣3，0），点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示：BP＝　   　cm，CQ＝　  　cm；

（2）函数y＝的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5cm2，试求此时t的值；

（3）点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．

12．（2022春•古县期末）综合与探究

如图1，反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线AB．

（1）判断点B是否在反比例函数y＝﹣的图象上，并说明理由；

（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数y＝﹣的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接AD，DB，BC和CA．求证：四边形ACBD是矩形；

（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．

13．（2022春•沭阳县期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝．

（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；

（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【类型七  反比例函数中等腰直角三角形的存在性】

14．（2022•泰安二模）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，﹣2）、B两点．

（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．

（2）点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果△POC的面积为3，求点P的坐标．

（3）点E在y轴上，反比例函数图象上是否存在一点F，使△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

15．（2022春•封丘县期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB＝3，DC＝2．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）连接BD，OB，OD，求△ODB的面积．

（3）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2022春•越城区期末）已知点A（3，2）、点B（m，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点C是x轴上的一个动点．

（1）求k的值；

（2）若m＝1，C（﹣1，0），试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点C在x轴正半轴上，当△ABC为等腰直角三角形时，求出点C的坐标．

18．（2022•利川市模拟）如图，直线y＝mx与双曲线相交于A，B两点，A点的坐标为（1，2）．

（1）求直线和双曲线的函数表达式；

（2）在x轴正半轴上是否存在点C，使△ABC为直角三角形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【类型八  反比例函数中相似三角形存在性】

19．（2022春•任城区校级期末）如图，直线为y1＝mx+n（m≠0）与双曲线相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．

（1）求双曲线的解析式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP与△OCD相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（2022•海珠区校级二模）如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，OA＝2，AB＝4．双曲线y＝（k＞0）与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．

（1）若点E是AB的中点，求点F的坐标；

（2）将△BEF沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作EG⊥OC于点G．问：△EGD与△DCF是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．