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初中数学中考复习 专题24 圆（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题24 圆（解析版），共37页。试卷主要包含了圆弧和弦，圆心角和圆周角，内心和外心，圆问题的基本题型，5°．等内容，欢迎下载使用。
专题24 圆
知识点1：圆的概念
1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
知识点2：点与圆的位置关系
圆和点的位置关系：以点P与圆O为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），
P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
知识点3：直线与圆的位置关系
直线与圆有3种位置关系：
（1）无公共点为相离；
（2）有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；
（3）圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
知识点4：圆与圆的位置关系
两圆之间有5种位置关系：
无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；
有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；
有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为L,则
（1）外离L＞R+r；
（2）外切L=R+r；
（3）相交R-r＜L＜R+r；
（4）内切L=R-r；
（5）内含L＜R-r。
知识点5：垂径定律定律
垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
知识点6：圆心角定律
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
知识点7：圆周角定律
（1）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
知识点8：圆内接多边形
1.圆内接正三角形形
2.圆内接正四边形形
3.圆内接正六边形形
知识点9：判定定理与切线的性质
1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质：
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
知识点10：圆的公切线
1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。
（1）若两圆相离，则有4条公切袭线。
（2）若两圆外切，则有3条公切线。
（3）两圆相交，则有2条公切线。
（4）若两圆内切，则有1条公切线。
（5）若两圆内含，则有0条公切线。
2.公切线性质
（1）两圆的两条外公切线长相等；
（2）两条内公切线的长也相等。
（3）两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。
知识点11：两圆公共弦定理
两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。
知识点12：扇形、圆柱和圆锥的相关计算
1. 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
2.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
3.圆的计算公式：
（1） 圆的周长C=2πR=πd
（2）圆的面积S=πR2
（3）扇形弧长L=nπR/180
（4）扇形面积S=nπR2/180=LR/2
（5）圆柱表面积S表=S侧 +2S底=2πRh+2πR2
（6）圆柱体的体积V=S底h=πR2h
（7）圆锥表面积S表=S侧 +S底=πRr+πr2
（8）圆锥体的体积V=πr2h/3
1.知识思维导图
2.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
（1）见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
（2）见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
（3）见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
（4）两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
（5）两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
3.圆中常用辅助线的添法顺口溜（圆问题的解题技巧）
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
4.拓展知识：圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
重要结论：PA•PB=PC•PD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
重要结论：CE2=AE•BE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
重要结论：PA2=PC•PB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
重要结论：PC•PB=PD•PE
5.圆问题的基本题型
类型1.圆的性质及其重要定理的考查。涉及垂径定理；同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系；圆周角定理；圆内接四边形性质等。
类型2.直线与圆的位置关系。涉及相离、内含、同心圆、内切、外切、相交。
类型3.圆与圆的位置关系。涉及相离、相交、相切。
类型4.圆与多边形计算的考查。涉及圆与多边形的关系的计算，涉及弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面积的计算等。
类型5.与圆有关的综合类问题的考查。涉及圆的知识与三角函数、一次函数、二次函数、反比例函数等的综合应用。
【例题1】（2020•淮安）如图所示，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（ ）
A．54° B．27° C．36° D．108°
【答案】C
【解析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO＝∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可．
∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO=12×（180°﹣∠AOB）＝36°
【例题2】（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为 cm2．
【答案】23．
【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．
连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T
∵ABCDEF是正六边形，
∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴S△PEF＝S△BEF，
∵AT⊥BE，AB＝AF，
∴BT＝FT，∠BAT＝∠FAT＝60°，
∴BT＝FT＝AB•sin60°=3，
∴BF＝2BT＝23，
∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，
∴∠BFE＝90°，
∴S△PEF＝S△BEF=12•EF•BF=12×2×23=23
【例题3】（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，
∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，
∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；
（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，
∴延长AO交DC于点E，
则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，
在Rt△AOP中，OP=62+82=10，
由（1）知，△AOP∽△CBD，
∴DBOP=BCOA=DCAP，
即1210=BC6=DC8，
∴BC=365，DC=485，
∴OE=185，CE=245，
在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2=(6+185)2+(245)2=2455．
《圆》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2020•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为BD中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【解析】∵A为BD中点，∴AB═AD，
∵AB＝CD，∴AB=CD，∴AB=AD=CD，
∵圆周角∠BDC＝60°，
∴∠BDC对的BC的度数是2×60°＝120°，
∴AB的度数是13×（360°﹣120°）＝80°，
∴AB对的圆周角∠ADB的度数是12×80°=40°
2．（2020•青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（ ）
A．99° B．108° C．110° D．117°
【答案】B
【解析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC=12∠COD＝63°，再由AB=AD得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，
∵AB=AD，∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC=12∠COD=12×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
3．（2020•泸州）如图，⊙O中，AB=AC，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
【答案】C
【解析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，再利用三角形内角和计算出∠A＝40°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
4.（2020•绍兴）如图所示，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】D
【解析】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．
连接BE，
∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，
∴∠BOD＝2∠BED＝90°．
5．（2020•杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【解析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°
6．（2020•牡丹江）如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若AC=BC，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】B
【解析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据AC=BC得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵AC=BC，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC=12∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
7．（2020•德州）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．243-4π B．123+4π C．243+8π D．243+4π
【答案】A
【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）求解即可．
【解析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB．
由题意，OA＝OB＝AB＝4，
∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB=60⋅π⋅42360-34×42=83π﹣43，
∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（12•π•22-83π+43）＝243-4π，
8．（2020•乐山）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（ ）
A．π4 B．π-32 C．π-34 D．32π
【答案】B
【解析】解直角三角形得到AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，
∴90⋅π×22360-90⋅π×3360-（12×1×3-30⋅π×3360）=π-32，
9.（2019•山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小
为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【答案】B
【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
10．(2019甘肃陇南)如图所示，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】C．
【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
设圆心为0，连接OA.OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．
设圆心为O，连接OA.OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB＝OA，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝∠AOB＝45°．
11.（2019•湖北天门）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，
∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED•BC＝BO•BE，故④正确.
12.（2019•山东省德州市 ）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】B．
【解析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°
二、填空题（每空3分，共24分）
13．（2020•盐城）如图，在⊙O中，点A在BC上，∠BOC＝100°．则∠BAC＝ °．
【答案】130．
【解析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
如图，取⊙O上的一点D，连接BD，CD，
∵∠BOC＝100°，
∴∠D＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°
14．（2020•天水）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
【答案】83．
【解析】根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
设圆锥的底面半径为r，
由题意得，120π×8180=2πr，
解得，r=83
15．（2020•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝ ．
【答案】1．
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD．
【解析】连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，
∵OD⊥BC，OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，∴∠OBD＝30°，∴OD=12OB＝1
16．（2020•襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 °．
【答案】60°或120°．
【分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．
【解析】如图，
∵弦BC垂直平分半径OA，
∴OD：OB＝1：2，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．
17．（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．
【答案】3π．
【解析】根据圆锥的侧面积公式：S侧=12×2πr•l＝πrl．即可得圆锥的侧面展开图的面积．
∵圆锥的侧面展开图是扇形，
∴S侧＝πrl＝3×1π＝3π，
∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．
18．（2020•扬州）圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为 ．
【答案】4．
【解析】根据圆锥的侧面积公式：S侧=12×2πr•l＝πrl即可进行计算．
∵S侧＝πrl，
∴3πl＝12π，
∴l＝4．
答：这个圆锥的母线长为4．
19．（2020•扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝ cm．
【答案】3．
【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【解析】如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，
由正六边形，得
∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∠BCD＝∠BAC＝30°．
由AC＝3，得CD＝1.5．
cos∠BCD=CDBC=32，即1.5a=32，
解得a=3
20．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝ °．
【答案】48．
【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．
【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：
∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4=720°6=120°，
∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B2B3B4=540°5=108°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，
∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，
∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°
三、解答题（5个小题，每题12分，共60分）
21．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝610，求此时DE的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．
【解析】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，∴D为AC中点，
∵OA＝OB，∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，
∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD=12AC=310，
∵O的半径为5，
∴AB＝6，
∴BD=AB2-AD2=102-(310)2=10，
∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴CDAB=DEBD，即31010=DE10，∴DE＝3．
22．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AEBC=ADDC=23，推出AOOH=AEBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．
【解析】（1）证明：连接OA．
A
∵AB＝AC，∴AB=AC，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．
（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述，∠C的值为67.5°或72°．
（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．
则AEBC=ADDC=23，
∴AOOH=AEBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2=2556，∴BH=524，
∴BC＝2BH=522．
23．（2020•金华）如图，AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求AB的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；
（2）根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解析】（1）∵AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA•sin60°＝2×32=3，
∴AB＝2AC＝23；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴AB的长是：120π×2180=4π3．
24．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AC=CD=DB，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵AC=CD=DB，
∴∠BOD=13×180°＝60°，
∵CD=DB，∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD=12AB＝3，
∴AD=62-32=33．
25．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【答案】见解析。
【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（AAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，
∴S△ABC=12AB•AC=12×4×43=83，
∴S△ACE=12S△ABC=12×83=43，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝43-4π3．
专题24 圆
知识点1：圆的概念
1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
知识点2：点与圆的位置关系
圆和点的位置关系：以点P与圆O为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），
P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
知识点3：直线与圆的位置关系
直线与圆有3种位置关系：
（1）无公共点为相离；
（2）有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；
（3）圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
知识点4：圆与圆的位置关系
两圆之间有5种位置关系：
无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；
有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；
有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为L,则
（1）外离L＞R+r；
（2）外切L=R+r；
（3）相交R-r＜L＜R+r；
（4）内切L=R-r；
（5）内含L＜R-r。
知识点5：垂径定律定律
垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
知识点6：圆心角定律
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
知识点7：圆周角定律
（1）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
知识点8：圆内接多边形
1.圆内接正三角形形
2.圆内接正四边形形
3.圆内接正六边形形
知识点9：判定定理与切线的性质
1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质：
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
知识点10：圆的公切线
1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。
（1）若两圆相离，则有4条公切袭线。
（2）若两圆外切，则有3条公切线。
（3）两圆相交，则有2条公切线。
（4）若两圆内切，则有1条公切线。
（5）若两圆内含，则有0条公切线。
2.公切线性质
（1）两圆的两条外公切线长相等；
（2）两条内公切线的长也相等。
（3）两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。
知识点11：两圆公共弦定理
两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。
知识点12：扇形、圆柱和圆锥的相关计算
1. 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
2.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
3.圆的计算公式：
（1） 圆的周长C=2πR=πd
（2）圆的面积S=πR2
（3）扇形弧长L=nπR/180
（4）扇形面积S=nπR2/180=LR/2
（5）圆柱表面积S表=S侧 +2S底=2πRh+2πR2
（6）圆柱体的体积V=S底h=πR2h
（7）圆锥表面积S表=S侧 +S底=πRr+πr2
（8）圆锥体的体积V=πr2h/3
1.知识思维导图
2.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
（1）见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
（2）见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
（3）见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
（4）两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
（5）两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
3.圆中常用辅助线的添法顺口溜（圆问题的解题技巧）
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
4.拓展知识：圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
重要结论：PA•PB=PC•PD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
重要结论：CE2=AE•BE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
重要结论：PA2=PC•PB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
重要结论：PC•PB=PD•PE
5.圆问题的基本题型
类型1.圆的性质及其重要定理的考查。涉及垂径定理；同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系；圆周角定理；圆内接四边形性质等。
类型2.直线与圆的位置关系。涉及相离、内含、同心圆、内切、外切、相交。
类型3.圆与圆的位置关系。涉及相离、相交、相切。
类型4.圆与多边形计算的考查。涉及圆与多边形的关系的计算，涉及弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面积的计算等。
类型5.与圆有关的综合类问题的考查。涉及圆的知识与三角函数、一次函数、二次函数、反比例函数等的综合应用。
【例题1】（2020•淮安）如图所示，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（ ）
A．54° B．27° C．36° D．108°
【答案】C
【解析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO＝∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可．
∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO=12×（180°﹣∠AOB）＝36°
【例题2】（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为 cm2．
【答案】23．
【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．
连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T
∵ABCDEF是正六边形，
∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴S△PEF＝S△BEF，
∵AT⊥BE，AB＝AF，
∴BT＝FT，∠BAT＝∠FAT＝60°，
∴BT＝FT＝AB•sin60°=3，
∴BF＝2BT＝23，
∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，
∴∠BFE＝90°，
∴S△PEF＝S△BEF=12•EF•BF=12×2×23=23
【例题3】（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，
∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，
∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；
（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，
∴延长AO交DC于点E，
则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，
在Rt△AOP中，OP=62+82=10，
由（1）知，△AOP∽△CBD，
∴DBOP=BCOA=DCAP，
即1210=BC6=DC8，
∴BC=365，DC=485，
∴OE=185，CE=245，
在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2=(6+185)2+(245)2=2455．
《圆》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2020•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为BD中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【解析】∵A为BD中点，∴AB═AD，
∵AB＝CD，∴AB=CD，∴AB=AD=CD，
∵圆周角∠BDC＝60°，
∴∠BDC对的BC的度数是2×60°＝120°，
∴AB的度数是13×（360°﹣120°）＝80°，
∴AB对的圆周角∠ADB的度数是12×80°=40°
2．（2020•青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（ ）
A．99° B．108° C．110° D．117°
【答案】B
【解析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC=12∠COD＝63°，再由AB=AD得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，
∵AB=AD，∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC=12∠COD=12×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
3．（2020•泸州）如图，⊙O中，AB=AC，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
【答案】C
【解析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，再利用三角形内角和计算出∠A＝40°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
4.（2020•绍兴）如图所示，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】D
【解析】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．
连接BE，
∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，
∴∠BOD＝2∠BED＝90°．
5．（2020•杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【解析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°
6．（2020•牡丹江）如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若AC=BC，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】B
【解析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据AC=BC得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵AC=BC，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC=12∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
7．（2020•德州）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．243-4π B．123+4π C．243+8π D．243+4π
【答案】A
【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）求解即可．
【解析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB．
由题意，OA＝OB＝AB＝4，
∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB=60⋅π⋅42360-34×42=83π﹣43，
∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（12•π•22-83π+43）＝243-4π，
8．（2020•乐山）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（ ）
A．π4 B．π-32 C．π-34 D．32π
【答案】B
【解析】解直角三角形得到AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，
∴90⋅π×22360-90⋅π×3360-（12×1×3-30⋅π×3360）=π-32，
9.（2019•山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小
为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【答案】B
【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
10．(2019甘肃陇南)如图所示，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】C．
【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
设圆心为0，连接OA.OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．
设圆心为O，连接OA.OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB＝OA，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝∠AOB＝45°．
11.（2019•湖北天门）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，
∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED•BC＝BO•BE，故④正确.
12.（2019•山东省德州市 ）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】B．
【解析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°
二、填空题（每空3分，共24分）
13．（2020•盐城）如图，在⊙O中，点A在BC上，∠BOC＝100°．则∠BAC＝ °．
【答案】130．
【解析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
如图，取⊙O上的一点D，连接BD，CD，
∵∠BOC＝100°，
∴∠D＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°
14．（2020•天水）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
【答案】83．
【解析】根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
设圆锥的底面半径为r，
由题意得，120π×8180=2πr，
解得，r=83
15．（2020•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝ ．
【答案】1．
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD．
【解析】连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，
∵OD⊥BC，OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，∴∠OBD＝30°，∴OD=12OB＝1
16．（2020•襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 °．
【答案】60°或120°．
【分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．
【解析】如图，
∵弦BC垂直平分半径OA，
∴OD：OB＝1：2，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．
17．（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．
【答案】3π．
【解析】根据圆锥的侧面积公式：S侧=12×2πr•l＝πrl．即可得圆锥的侧面展开图的面积．
∵圆锥的侧面展开图是扇形，
∴S侧＝πrl＝3×1π＝3π，
∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．
18．（2020•扬州）圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为 ．
【答案】4．
【解析】根据圆锥的侧面积公式：S侧=12×2πr•l＝πrl即可进行计算．
∵S侧＝πrl，
∴3πl＝12π，
∴l＝4．
答：这个圆锥的母线长为4．
19．（2020•扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝ cm．
【答案】3．
【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【解析】如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，
由正六边形，得
∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∠BCD＝∠BAC＝30°．
由AC＝3，得CD＝1.5．
cos∠BCD=CDBC=32，即1.5a=32，
解得a=3
20．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝ °．
【答案】48．
【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．
【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：
∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4=720°6=120°，
∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B2B3B4=540°5=108°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，
∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，
∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°
三、解答题（5个小题，每题12分，共60分）
21．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝610，求此时DE的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．
【解析】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，∴D为AC中点，
∵OA＝OB，∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，
∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD=12AC=310，
∵O的半径为5，
∴AB＝6，
∴BD=AB2-AD2=102-(310)2=10，
∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴CDAB=DEBD，即31010=DE10，∴DE＝3．
22．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AEBC=ADDC=23，推出AOOH=AEBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．
【解析】（1）证明：连接OA．
A
∵AB＝AC，∴AB=AC，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．
（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述，∠C的值为67.5°或72°．
（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．
则AEBC=ADDC=23，
∴AOOH=AEBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2=2556，∴BH=524，
∴BC＝2BH=522．
23．（2020•金华）如图，AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求AB的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；
（2）根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解析】（1）∵AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA•sin60°＝2×32=3，
∴AB＝2AC＝23；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴AB的长是：120π×2180=4π3．
24．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AC=CD=DB，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵AC=CD=DB，
∴∠BOD=13×180°＝60°，
∵CD=DB，∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD=12AB＝3，
∴AD=62-32=33．
25．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【答案】见解析。
【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（AAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，
∴S△ABC=12AB•AC=12×4×43=83，
∴S△ACE=12S△ABC=12×83=43，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝43-4π3．
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