初中数学中考复习 专题27 涉及圆的证明与计算问题（原卷版）

专题27 涉及圆的证明与计算问题

圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。

一、与圆有关的概念

1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。

3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。

5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。

二、与圆有关的规律

1.圆的性质：

（1）圆具有旋转不变性；

（2）圆具有轴对称性；

（3）圆具有中心对称性。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

7．圆内接四边形的特征

①圆内接四边形的对角互补；

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系

1. 点和圆的位置关系

① 点在圆内点到圆心的距离小于半径

② 点在圆上点到圆心的距离等于半径

③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径

2.直线与圆有3种位置关系

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

① 直线和⊙O相交；

② 直线和⊙O相切；

③ 直线和⊙O相离。

3．圆与圆的位置关系

设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距，则：

两圆外离 ；两圆外切 ；

两圆相交 ；两圆内切 ；

两圆内含

四、切线的规律

1.切线的性质

（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切

线的夹角。

四、求解圆的周长和面积的公式

设圆的周长为r，则：

1. 求圆的直径公式d=2r

2.求圆的周长公式 c=2πr

3.求圆的面积公式s=πr2

五、解题要领

1.判定切线的方法

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；

②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2.与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

3.攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑

类型1图形：

（1）如图1,AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点.

基本结论有：在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。

（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。

（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：

①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;

②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD•AB

（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD于E时（如图5），则：

①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG==DC2

类型2图形：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：

（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。

（2）①G是⊿BCD的内心；②          ；③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=CE2；

（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。

（4）如图（3），若①BC=CE，则：②==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH

类型3图形：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：

如图：

（1）DE切⊙OE是BC的中点；

（2）若DE切⊙O，则：

①DE=BE=CE；

②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A

③CD·CA=4BE2,

图形特殊化：在（1）的条件下

如图：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；

如图：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：

① ;②

类型4图形：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，

基本结论有：

（1）DE⊥ACDE切⊙O；

（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：

①⊿DFC是等腰三角形；

②EF=EC；③D是      的中点。④与基本图形1的结论重合。

⑤连AD，产生母子三角形。

类型5图形：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：

（1）如图1：①AD+BC＝CD；  ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）

④AD·BC＝2=R2；

（2）如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO•AE=2R2(与基本图形2重合)

（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.

类型6图形：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。

基本结论有：

（1）PQ=PR  (⊿PQR是等腰三角形)；

（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一

（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2

类型7图形：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：

（1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；③∠AIB=90°+∠ACB;

（2）如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.

类型8图形：已知，AB是⊙O的直径，C是    中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC

于E、F。基本结论有：

（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE

(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是    中点)

（2）OE=AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF

（3）BE·BG=BD·BA

（4）若D是OB的中点，则：①⊿CEF是等边三角形；②             

【例题1】（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）

A． B．3 C．3 D．4

【对点练习】（2019•山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（　　）

A．35° B．38° C．40° D．42°

【例题2】（2020•牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为　   　．

【对点练习】(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　   　．

【例题3】（2020贵州黔西南）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

【对点练习】（2019•湖北十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．

一、选择题

1．（2020•宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（　　）

A．   B．    C．    D．

2．（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．110° B．130° C．140° D．160°

3．（2020•荆门）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（　　）

A．14° B．28° C．42° D．56°

4．（2020•临沂）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°

5．（2020•内江）如图所示，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

6．（2020•湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）

A．70° B．110° C．130° D．140°

7．（2020•泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C． D．2

8．（2020•嘉兴）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　）

A．2 B． C． D．

9．（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　）

A．h＝R+r B．R＝2r C．ra D．Ra

10．（2020•凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）

A．2： B．： C．： D．：2

二、填空题

11．（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝　   　°．

12．（2020•无锡）已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝　   　cm2．

13．（2020•湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是　    　．

14．（2020•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　    　．

15．（2020•连云港）用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为　   　cm．

16.（2019•南京）如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，点C.D在⊙O上．若∠P＝102°，则

∠A+∠C＝　      　．

17. （2019山东东营）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是____________．

18.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．

19.（2020山东济宁模拟 ）如图，O 为Rt△ ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是    ．

20.（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　 　．

三、解答题

21.（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．

（1）求证：BF＝DF；

（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．

22．（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．

23．（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD＝8，，求CD的长．

24．（2020•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．

（1）求证：∠1＝∠2．

（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1，求⊙O的半径．

25．（2020•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．

（1）求证：∠CAD＝∠CBA．

（2）求OE的长．

26．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．

27．（2020•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．

（1）求证：∠CAD＝∠ABC；

（2）若AD＝6，求的长．

28．（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．

29．（2020•淮安）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．

30．（2020•天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．

（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；

（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．