初中数学中考复习 专题28 锐角三角函数（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题28 锐角三角函数（解析版），共36页。试卷主要包含了三角函数定义等内容，欢迎下载使用。
知识点一：锐角三角函数
1．三角函数定义
在Rt△ABC中，若∠C=90°




2.同角三角函数的关系
（1）平方关系：
（2）商数关系：

（3）倒数关系：
3.互为余角的三角函数关系
，

，
或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=csB，csA=sinB，tanA=ctB，ctA=tanB
特殊角的三角函数值
5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)
（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。
（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。
6.锐角三角函数的取值范围
0≤sinα≤1，0≤csα≤1，tanα≥0，ctα≥0.
知识点二：解直角三角形
1.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
结论：直角三角形斜边上的高
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.
（3）坡角：坡面与水平面的夹角；
（4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
（5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．
每年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用sinA、csA、tgA、ctA表示直角三角形两边的比，并且要熟记0°、30°、45°、60°、90°角的各个三角函数值．理解直角三角形中的边、角之间的关系，会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算距离、高度和角度等方面．
一、解直角三角形问题的依据与类型
（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.
（2）解直角三角形的依据：
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数；
（3）解直角三角形的常见类型及一般解法
二、解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
【例题1】（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）
A．26B．2626C．2613D．1313
【答案】B
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解析】如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC•BD=12×32•BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
【例题2】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】将∠A和∠DBE分别置身于Rt△AED和Rt△EDB中．
∵DE⊥AB，∴∠AED=∠DEB= 90°．在Rt△AED中，csA=．设AE=3k，则AD=5k，由勾股定理，得DE=4k．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD，即3k+2=5k．解得k=1，∴DE=4．在Rt△EDB中，tan∠DBE==2．即选B．
【点拨】在将锐角三角函数表示成“比”的形式时，常借助参数法，即把“比”的每一份用一个字母来表示，从而建立方程，实现所求．
【例题3】（2020•重庆）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米B．24米C．24.5米D．25米
【答案】D
【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．
【解析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x．
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．
《锐角三角函数》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a＝btanBD．b＝ctanB
【答案】B
【解析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB=bc，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB=ba，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
2．（2020•济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里
【答案】C
【解析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝42°，根据等角对等边得出BC＝AB，求出AB即可．如图．
根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，
∴BC＝AB，
∵AB＝15×2＝30，
∴BC＝30，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
3．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米B．200tan70°米
C．200sin 70°米D．200sin70°米
【答案】B
【解析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°=PQPT，
∴PT=PQtan70°=200tan70°，
即河宽200tan70°米
4．（2020•黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．4sinα米B．4sinα米C．4csα米D．4csα米
【答案】B
【解析】过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O＝AO＝4，
∴sinα=A'CA'O，
∴A′C＝4sinα
5.（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝（ ）m．（结果保留根号）
A.3． B.2 C.23． D.2+3．
【答案】C．
【解析】据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC＝AC＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．
∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴BC＝AC＝4，
在Rt△BDC中，sin∠BCD=BDBC，
∴sin60°=BD4=32，
∴BD＝23（m），自动扶梯的垂直高度BD＝23m
6.已知△ABC中，三边之比a：b：c=1：：2，则sinA+tanA的值为（ ）
A./2 B.+2 C.2 D.．
【答案】D．
【解析】根据题意，设a=k，b=k，c=2k（k＞0），
∵a2+b2=c2，∴∠C=90°．
∴sinA=，tanA=，
∴sinA+tanA=．
【点拨】在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形．
7.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A.2 B. C. D.1
【答案】A
【解析】∠DBA没有在直角三角形中 ，无法使用正切定义转换成边的比．现设法将其置身在一个直角三角形中．
过点D作DE⊥AB，垂足为E．在Rt△BDE中，
tan∠DBA=．∵tan∠DBA=，∴=．设DE= k ，
则BE=5k，在Rt△ADE中，∠A=45°，∴AE=DE= k，AB=6 k．
在等腰Rt△ABC中， ∠C=90，AC=6，∴AB=6 ，解得k= ，
即DE=．在 Rt△ADE 中， ∠A=45° ，∴AD=DE =2．
【点拨】构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中．
8.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3．则cs∠BCD的值是（ ）
A ． B． C． D．
【答案】D
【解析】求cs∠BCD的值，用定义法不能直接求出．根据同角或等角的三角函数值相等，
考虑先用等角替换，再用定义去求．
AB=5．∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD．∴cs∠BCD=csA==．
【点拨】依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换．
9.（2019•湖南长沙）如图所示，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30nmileB．60nmile
C．120nmileD．（30+30）nmile
【答案】D
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cs∠ACD＝，
∴CD＝AC•cs∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
10．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．a+btanαB．a+bsinαC．a+btanαD．a+bsinα
【答案】A
【解析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα=AFCF=AFb，
∴AF＝b•tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，
二、填空题（每空3分，共30分）
11.（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝ ．
【答案】2或2或2．
【解析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，
∴BP＝＝2，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB•tan∠1＝2，
故答案为：2或2或2．
12. （2019贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是 ．
【答案】15﹣5．
【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理．
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5，
CM＝BC×cs30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
故答案是：15﹣5．
13. (2019海南)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转(0°