初中数学中考复习 专题30 尺规作图问题（原卷版）

专题30  尺规作图问题

1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作已知线段的垂直平分线；

（4）作已知角的角平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法

写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

4.中考要求

（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.

（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.

（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.

（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.

【例题1】（2020•台州）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（　　）

A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD

【对点练习】（2019•丽水模拟题）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（　　）

A.矩形    B.菱形     C.正方形  D.等腰梯形

【例题2】（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为　   　．

【对点练习】（2019武汉）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为　   　．

【例题3】（2020•武威）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作∠ABC的角平分线交AD于点E；

②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．

（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．

【对点练习】（ 2019•广东模拟题）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．

一、选择题

1．（2020•河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．

如图2，步骤如下，

第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；

第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；

第三步：画射线BP．射线BP即为所求．

下列正确的是（　　）

A．a，b均无限制 B．a＞0，bDE的长 

C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，bDE的长

2．（2020•襄阳）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）

A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C

3．（2020•贵阳）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B． C．1 D．2

4.（2019•河北模拟题）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（　　）

　A．          B． 

  C．          D．

5.(2019•湖南益阳)已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

6.（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　）

A．20° B．30° C．45° D．60°

7.(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

A．（SAS） B． （SSS） C． （ASA） D． （AAS）

二、填空题

8．（2020•苏州）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝　　．

9．（2019济南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝　   　．

10. ( 2019甘肃省兰州市) 如图， 矩形ABCD， ∠BAC＝600.  以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB.AC于点M、N两点，再分别以点M、N 为圆心，以大于MN的长为半径作弧交于点P ，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于___________.

三、解答题（一）

11．（2020•陕西）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

12．（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．

（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．

（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．

请你根据提供的材料完成下面问题．

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是　　．（填序号）

①SSS②SAS③AAS④ASA

（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．

13．（2020•福建）如图，C为线段AB外一点．

（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．

14．（2020•北京）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．

求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP∠BAC．

作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；

②连接BP．

线段BP就是所求作的线段．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵CD∥AB，

∴∠ABP＝　   　．

∵AB＝AC，

∴点B在⊙A上．

又∵点C，P都在⊙A上，

∴∠BPC∠BAC（　       　）（填推理的依据）．

∴∠ABP∠BAC．

15．（2020•达州）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；

（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．

16．（2019•六盘水模拟题）如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）

17.（2020大连模拟）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；

（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．

18.（2019•四川省达州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．

（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．

①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；

②过点D作BC的垂线，垂足为点E．

（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．

19.（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要

求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若=2，求的值．

20.（2019•广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．

21.（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，

（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

22.（2019•湖北孝感）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：

①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；

②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；

（1）线段CD与CE的大小关系是　   　；

（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．

23.（2019平谷二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l和l外一点P．

求作：直线l的垂线，使它经过点P．

作法：如图2，

（1）在直线l上任取一点A；

（2）连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B（点A，B不重合）；

（3）连接BP，作∠APB的角平分线，交AB于点H；

（4）作直线PH，交直线l于点H．

所以直线PH就是所求作的垂线．

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形 （保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：∵PH平分∠APB，

 ∴∠APH=            ．

 ∵PA=          ，

 ∴PH⊥直线l于H．(          )(填推理的依据)

24.（2019•甘肃庆阳）已知：在△ABC中，AB＝AC．

（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝　  　．

25.（2019•广东广州）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．

（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

四、解答题（二）

26.已知线段a、b，画一条线段，使其等于．

27.如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．

28.求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．

图（1）              图（2）

29.如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．

30.如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）

图（1）                 图（2）

31.正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．

32.已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC．

图（1）               图（2）

33.如图（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）．

求作△ABC，使BC=a，AB=b， BC边上的高AD=h．

图（1）

34.如图，已知线段a，b，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．

35.如图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．

求作：（1）BC边上的高；（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）．