初中数学中考复习 专题31 特殊平行四边形【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题31 特殊平行四边形【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版），共23页。试卷主要包含了定义，性质，判定方法等内容，欢迎下载使用。
专题31 特殊平行四边形


知识导航



知识精讲


考点1：菱形的性质与判定
1．定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角. 
3．判定方法:
①一组邻边相等的平行四边形是菱形; 
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 
③四条边都相等的四边形是菱形. 
4．设菱形对角线长分别为l1,l2,则S菱形=l1l2.

【例1】（2021·广东）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
【答案】B
【分析】
正确的命题叫真命题，根据定义解答．
【详解】
解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；
故选：B．
【例2】（2021·辽宁）如图，在中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接、．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见详解；（2）四边形ACDE是菱形，理由见详解．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据CD∥AE，即可证得四边形ACDE是平行四边形；
（2）利用（1）的结论和平行四边形的性质可得AC=CD，由此即可判定是菱形．
【详解】
（1）证明：在ABCD中，AB∥CD，
∴，
∵点O为AD的中点，
∴，
在与中，
∵，
，
，
∴，
∴，
又∵BE∥CD ，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形ACDE是平行四边形，，
∵，
∴，
∴四边形ACDE是菱形．
方法技巧


菱形的证明方法（三种）
①先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.
②先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的对角线互相垂直.
③证明四边形ABCD的四条边相等.
针对训练


1．（2021·四川成都市·中考真题）如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理AAS可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．
【详解】
解: ∵四边形是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D,
A. 添加可以，
在△ABE和△ADF中，
，
∴(SAS)，
故选项A可以；
B.添加 可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴(AAS)；
故选项B可以；
C. 添加不可以，条件是边边角故不能判定；
故选项C不可以；
D. 添加可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴(SAS)．
故选项D可以；
故选择C．
2．（2021·辽宁鞍山）如图，在中，G为BC边上一点，，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

【答案】见解析
【分析】
先证四边形AEDF是平行四边形，再证，则，即可得出结论．
【解析】
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
四边形AEDF是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形AEDF是菱形．
3．（2021·山东滨州·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若，，求菱形AOBE的面积．

【答案】（1）证明过程见解答；（2）
【分析】
（1）根据BE∥AC，AE∥BD，可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA=OB，由菱形的定义可以得到结论成立；
（2）根据∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE边OA上的高，然后根据菱形的面积=底×高，代入数据计算即可．
【解析】
解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于点F，

∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴AC=BD=4，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=60°，
∴BF=OB•sin∠AOB=，
∴菱形AOBE的面积是：OA•BF==．

考点2：矩形的性质与判定
1．定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角. 
3．判定方法:
①有三个角是直角的四边形是矩形; 
②对角线相等的平行四边形是矩形; 
③有一个角是直角的平行四边形是矩形. 
4．设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab.

【例3】（2021·四川巴中·中考真题）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据四边形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的长，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可.
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中：，
∴，
设，则
在直角三角形ADE中：，
∴，
解得，
∴，
∵∠DEB=90°，
∴，
故选D.

【例4】（2021·青海西宁·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求矩形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用全等三角形性质和菱形对角线互相垂直平分，证四边形是矩形；
（2）根据菱形性质得出，，由含30度直角三角形的性质求出OB，即可求解．
【解析】
（1）证明：∵△BOC≅△CEB ．
∴，（全等三角形的对应边相等）
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵四边形是菱形，
∴ （菱形的两条对角线互相垂直）
∴
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）∵四边形是菱形，，，
∴ （菱形的四条边相等），
∵
∴
在中，
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
，
∴矩形的周长．
方法技巧


矩形的证明方法（三种）
① 先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.
② 先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的对角线相等.
③ 证明四边形ABCD的三个角是直角.针对训练



1．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】
解：设CE=x，则BE=3-x，
由折叠性质可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF=，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x=，
2．（2021·贵州毕节）如图，在矩形纸片ABCD中，，，M是BC上的点，且．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【分析】
连接PM，证明即可得到，PA=5．
【解析】
连接PM

∵矩形纸片ABCD中，，，
∴
∵
∴
∵折叠
∴,
∴
∵PM=PM
∴
∴
∴
故选B．
3．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．

【答案】证明见试题解析．
【分析】
由矩形的性质和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．

考点3：正方形的性质与判定
1．正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.
2．正方形的性质
（1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.
（2）正方形的四个角都是直角，四条边相等. 
（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分. 
3．正方形的判定方法
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形. 
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形. 
（3）有一个角是直角的菱形是正方形. 
（4）对角线相等的菱形是正方形. 
4．平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系


【例5】（2021·四川泸州市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是________．

【答案】．
【分析】
延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，先证明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再证△ABG∽△MFG，则利用相似比可计算出GN，再利用两三角形面积差计算S△DEG即可．
【详解】
解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图，
∵点E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC=4，
∵CF=3DF，CF+DF=4，
∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，
∴△ABG∽△MFG，
∴，
∵，
∴，
S△AFG=S△AFB-S△AGB=，
故答案为．


【例6】（2021·甘肃兰州）已知正方形，，为平面内两点．

（探究建模）
（1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：；
（类比应用）
（2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
（拓展迁移）
（3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析（3）
【分析】
（1）根据正方形性质以及题意证明即可得出结论；
（2）根据已知条件证明，然后证明为等腰直角三角形即可得出结论；
（3）先证明，得出为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出的长度，即可得出结论．
【解析】
解：（1）∵四边形是正方形，，，三点共线，
∴,
∵，
∴，
∴,
在和中，
,
∴,
∴;
（2）∵，四边形是正方形，
∴,,
∴,
∵，，
∴,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴,
即；
（3）过点D作于点H，连接BD，

∵，
∵，
∴，
∵,
∴，
在和中，
,
∴,
∴，，
∵且,
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，,
∴,
∵是正方对角线，
∴,
∵
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴,
∴在中，,
∴．
方法技巧



正方形的证明方法（四种）
（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等.
（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的对角线互相垂直且相等.
（3）先证明四边形ABCD为矩形，再证明矩形ABCD的一组邻边相等（或对角线互相垂直）.
（4）先证明四边形ABCD为菱形，再证明菱形ABCD的一个角为直角（或对角线相等）.
正方形的性质（四种）
（1）正方形的四条边相等，对角线相等且互相平分；
（2）正方形的面积等于对角线乘积的一半；
（3）正方形既具有矩形的全部性质，又具有菱形的全部性质．
针对训练


1．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是（ ）

A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
由正方形的性质得出，，由证得，即可得出答案．
【解析】
解：四边形是正方形，

，，
∵在中，，
，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：（负值舍去），
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
2．（2021·广西河池·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，，，则AF的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过作的垂线分别交于,由，证明，设，根据，求得，在中，利用勾股定理即可求得．
【解析】
如图，过作的垂线分别交于，

四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，

（AAS），
，
设，则，
，
即，
解得，
，
四边形是正方形，，
，
，
．
故选B
3．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确是_____（填写序号）

【答案】①②③④
【分析】
①四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根据等式的基本性质确定出；②再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；④根据两角相等的两个三角形相似得到△EBH∽△DBE，从而得到比例式，根据BE＝BG，代换即可作出判断；③由相似三角形对应角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD对角线上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．⑤设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，结合BE2＝BH•BD，求出BH，DH，即可判断．
【详解】
解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF，
∴，
∴选项①正确；
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝AB，BE=BF，
∴
又∵，
∴，
∴选项②正确；
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴ ，即BE2＝BH•BD，
又∵BE＝BG，
∴，
∴选项④确；
③由②知：，
又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，
∴AF在正方形另外一条对角线上，
∴AF⊥BD，
∴③正确，
⑤∵，
∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，
∴BE=，
∵BE2＝BH•BD，
∴，
∴DH=BD-BH=,
∴，
故⑤错误，
综上所述：①②③④正确，
故答案是：①②③④．