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初中数学中考复习 专题34相交线与平行线（1）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题34相交线与平行线（1）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（解析版），共107页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题34相交线与平行线（1）（全国一年）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2020·浙江衢州?中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】
A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
2．（2020·广西河池?中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
【详解】
解：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．
故选：A．
【点睛】
本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
3．（2020·贵州黔西?中考真题）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ）
A．37° B．43° C．53° D．54°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质得出，再根据即可求解．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝37°，
∵∠FEG＝90°，
∴
∴∠1＝90°－∠3＝90°－37°＝53°
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2020·山东临沂?中考真题）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.
【详解】
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACB=70°，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠B=70°，
故选D.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.
5．（2020·辽宁大连?中考真题）如图，中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理求出∠C的度数，然后由平行线的性质，即可得到答案．
【详解】
解：在中，，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，以及平行线的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出角的度数．
6．（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（）
A．36°． B．54°． C．72°． D．73°．
【答案】C
【解析】
∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°．
故选C．
7．（2020·浙江金华?中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】
解：
∵由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴∠1=∠2
∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2020·辽宁朝阳?中考真题）如图，四边形是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
过点D作交AO于点E，由平行的性质可知，等量代换可得的值.
【详解】
解：如图，过点D作交AO于点E，
四边形是矩形
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.
9．（2020·内蒙古呼伦贝尔?中考真题）如图，直线于点，若，则的度数是（ ）
A．120° B．100° C．150° D．160°
【答案】C
【解析】
【分析】
延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
【详解】
解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFC=180°，
∵，
∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠AFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和平行线的性质是解题的关键．
10．（2020·山东滨州?中考真题）如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠CPF=55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE=2∠CPF=110°，
∴∠EPD=180°-110°=70°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．（2020·四川绵阳?中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【解析】
【分析】
延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
【详解】
解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．（2020·四川绵阳?中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
过作，交于点，可得，得到与平行，再由为中点，得到，同时得到四边形为矩形，再由角平分线定理得到，进而求出的长，得到的长．
【详解】
解：过作，交于点，
，
，
，
，
为中点，
，
，即，
，
四边形为矩形，
，
平分，，，
，
，
则．
故选：．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
13．（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
由a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠2的度数．
【详解】
∵a∥b，
∴∠2=∠1=50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
14．（2020·辽宁沈阳?中考真题）如图，直线，且于点，若，则的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和求得，再根据平行线的性质可得到的度数．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的内角和、平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键．
15．（2020·四川眉山?中考真题）一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据对顶角相等得出，，再根据四边形的内角和即可得出结论
【详解】
解： ∵；
∴；
∵，；
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了四边形的内角和定理，和对顶角的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
16．（2020·江苏南通?中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．34° C．32° D．30°
【答案】A
【解析】
【分析】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
17．（2020·辽宁营口?中考真题）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解答本题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
18．（2020·山东淄博?中考真题）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．
19．（2020·甘肃金昌?中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】
如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
20．（2020·四川雅安?中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
【答案】B
【解析】
【分析】
判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【详解】
解：由题意可知，
A、对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果，那么，故选项是命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
21．（2020·山东威海?中考真题）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
【详解】
解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵，
∴，
∵BC＝3，
∴GB＝，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝==，
∴tanα的值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（2020·山东东营?中考真题）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】
解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM=∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键．
23．（2020·海南中考真题）如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据得到，再运用三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴
∵，且，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解答此题的关键，比较简单．
24．（2020·湖南永州?中考真题）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.
【详解】
过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，
∵点C到直线l的距离，半径为1，
∴的最小值是，
故选：B.
【点睛】
此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.
25．（2020·湖北荆州?中考真题）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．
【详解】
解：如图所示：
将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，
，，
，，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了矩形的翻折变换，，熟记平行线的性质是解题的关键．
26．（2020·宁夏中考真题）如图摆放的一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（ ）
A．135° B．120° C．115° D．105°
【答案】D
【解析】
【分析】
过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，可以得到，有即可得出答案．
【详解】
解：过点G作，有，
∵在和中，
∴
∴，
∴
故的度数是105°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
27．（2020·贵州毕节?中考真题）将一幅直角三角板（，，，点在边上）按图中所示位置摆放，两条斜边为，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠1=∠F=45°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．
【详解】
解：如图，
∵，
∴∠1=∠F=45°，
又∵，
∴∠B=30°，
∴，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的应用，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
28．（2020·广西玉林?中考真题）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．正方形的四个角相等
【答案】B
【解析】
【分析】
先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得．
【详解】
A、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题
B、逆命题：同位角相等，两直线平行
由平行线的判定可知，此逆命题是真命题
C、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形
由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题
D、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形
如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．
29．（2020·广西玉林?中考真题）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据方位角的定义分别可求出，再根据角的和差、平行线的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．
【详解】
由方位角的定义得：
由题意得：
由三角形的内角和定理得：
是等腰直角三角形
即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形
故选：A．
【点睛】
本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键．
30．（2020·湖南郴州?中考真题）如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
【详解】
A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
31．（2020·广东深圳?中考真题）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解析】
【分析】
如图：根据直角三角形的性质可得，然后再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
【详解】
解：如图：∵含30°直角三角形
∴
∵直尺两边平行
∴∠1+∠2+∠3=180°
∴．
故答案为D．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质和平行线的性质，其中灵活运用两直线平行、同旁内角互补的性质是解答本题的关键．
32．（2020·湖南娄底?中考真题）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（ ）
A．62° B．56° C．28° D．72°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两锐角互余求解 再利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
由题意得：，
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握以上知识是解题的关键．
33．（2020·四川宜宾?中考真题）如图，M，N分别是的边AB，AC的中点，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由M，N分别是的边AB，AC的中点，可知MN为△ABC的中位线，即可得到，从而可求出∠B的值．
【详解】
解：∵M，N分别是的边AB，AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM=∠C，
∵，
∴，
又∵
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线，注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键．
34．（2020·湖北省直辖县级单位?中考真题）将一副三角尺如图摆放，点E在上，点D在的延长线上，，则的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°，根据可知∠CEF=∠ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．
【详解】
解：由三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°
∵
∴∠CEF=∠ACB=45°，
∴∠CED=∠CEF-∠DEF=45°-30°=15°．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
35．（2020·湖南长沙?中考真题）如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用角平分线的性质求得∠DAE的度数，利用平行线的性质求得∠ACE的度数，即可求解．
【详解】
∵AB平分，∠CAB=60，
∴∠DAE=60，
∵FD∥GH，
∴∠ACE+∠CAD=180，
∴∠ACE=180-∠CAB-∠DAE=60，
∵∠ACB=90，
∴∠ECB=90-∠ACE=30，
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
36．（2020·江苏常州?中考真题）如图，直线a、b被直线c所截，，，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
【详解】
解：∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°
∵
∴∠2=∠3=40°．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
37．（2020·辽宁抚顺?中考真题）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行线的性质求得∠3的度数，即可求得∠2的度数．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠3=∠1=20，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45，
∴∠2=45∠3=25，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
38．（2020·四川内江?中考真题）如图，已知直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】
如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝180°−50°＝130°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
39．（2020·湖北随州?中考真题）如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图：先运用两直线平行、同位角相等得到∠3=∠1=60°，然后再根据邻补角的性质得到∠3+∠2=180°，最后计算即可．
【详解】
解：如图：
∵，∠1=60°
∴∠3=∠1=60°
∵∠3+∠2=180°
∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了平行的性质和邻补角的性质，掌握平行线的性质（两直线平行、同位角相等）是正确解答本题的关键．
40．（2020·黑龙江齐齐哈尔?中考真题）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【详解】
解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
41．（2020·湖北孝感?中考真题）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．
【详解】
∵
∴
∵
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．
42．（2020·河北中考真题）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】D
【解析】
【分析】
在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．
【详解】
在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．
43．（2020·北京中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，
C选项为∠1=∠4+∠5，
D选项为∠2＞∠5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．
44．（2020·湖北鄂州?中考真题）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作平行a和b的平行线,再根据平行的性质可知,再算出即可得出．
【详解】
如图所示,过直角顶点作c∥a，
∵，
∴a∥b∥c，
∴,
∴,
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查平行的性质,关键在于利用割补法将直角分成两个角度进行转换．
45．（2020·贵州贵阳?中考真题）如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【详解】
解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝30°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180°−∠1＝180°−30°＝150°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
46．（2020·江西中考真题）如图，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由可对A进行判断；根据三角形外角的性质可对B进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D进行判断；求出可对C进行判断．
【详解】
，
，故选项A正确；
，
，
又，
，故选项B正确；
，
，
，
，故选项D正确；
，
，
而
，故选项C错误．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键．
47．（2020·湖北襄阳?中考真题）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行线的性质求解，利用角平分线求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：，
平分，
故选．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
48．（2020·河南中考真题）如图，，若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行线的性质即可求解．
【详解】
如图，∵，
∴∠1+∠3=180º，
∵∠1=70º，
∴∴∠3=180º-70º=110º，
∵，
∴∠2=∠3=110º，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
49．（2020·湖南岳阳?中考真题）如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线的判定和性质，即可求出答案．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
50．（2020·湖南岳阳?中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．等边三角形是中心对称图形 D．旋转改变图形的形状和大小
【答案】B
【解析】
【分析】
由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、旋转不改变图形的形状和大小，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断．
51．（2020·湖南怀化?中考真题）如图，已知直线，被直线所截，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得的度数．
【详解】
解：∵＝40°，
∴∠1＝＝40°，
∵a∥b，
∴＝∠1＝40°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了对顶角相等和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
52．（2020·四川广元?中考真题）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.
A．180° B．360° C．270° D．540°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
【详解】
解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a是解决问题的关键．
53．（2020·山东聊城?中考真题）如图，在ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，利用平行线的性质得到∠ EDC＝∠B，利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝65°，
∵DF∥AB，
∴∠ EDC＝∠B＝65°，
∴∠FEC＝∠EDC＋∠C＝65°＋65°＝130°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，需熟练掌握．
54．（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明OB∥AE，得出S△ABE=S△OAE=18，设A的坐标为（a，），求出F点的坐标和E点的坐标，可得S△OAE=×3a×=18，求解即可．
【详解】
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，
∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，
∴F点的纵坐标为，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=×3a×=18，
解得k=12，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S△ABE=S△OAE=18是解题关键．
55．（2020·四川自贡?中考真题）如图，∥，，则的度数为 （ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行线的性质与对顶角相等即可求出．
【详解】
两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案.
故答案为B．
【点晴】
本题主要考查了平行线的性质与对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
56．（2020·四川攀枝花?中考真题）如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到∠1=∠2，再依据平行线的性质得到∠B=∠BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.
【详解】
解：延长BG，交CD于H，
∵∠1=50°，
∴∠2=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BHD，
∵BG⊥EF，
∴∠FGH=90°，
∴∠B=∠BHD=180°-∠2-∠FGH=180°-50°-90°=40°.
故选C.
【点睛】
本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角.
二、填空题
57．（2020·辽宁大连?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，点B的坐标为，则k的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的判定可得轴，从而可得点D的纵坐标为2，再根据正方形的判定与性质可得，从而可得，然后将点D的坐标代入反比例函数的解析式即可．
【详解】
如图，连接BD，交AC于点E，
点B的坐标为，
，
四边形ABCD是正方形，
，
轴，
轴，
点D的纵坐标与点B的纵坐标相同，即为2，
轴，，，
四边形OBEC是矩形，
又，
四边形OBEC是正方形，
，
，
点D的坐标为，
将点代入反比例函数的解析式得：，
解得，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何应用、正方形的判定与性质等知识点，熟练运用正方形的判定与性质求出点D的坐标是解题关键．
58．（2020·云南中考真题）如图，直线与直线、都相交．若∥，，则___________度．
【答案】54°
【解析】
【分析】
直接根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵直线a∥b，∠1=54°，
∴∠2=∠1=54°．
故答案为：54°．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
59．（2020·四川绵阳?中考真题）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
【详解】
解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGE＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2，GF＝，OF＝3，
∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．
【点睛】
本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
60．（2020·四川凉山?中考真题）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径OA的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接 证明再证明从而可以列方程求解半径．
【详解】
解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
为等边三角形，
解得： （负根舍去），
故答案为：
【点睛】
本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
61．（2020·云南昆明?中考真题）如图，点C位于点A正北方向，点B位于点A北偏东50°方向，点C位于点B北偏西35°方向，则∠ABC的度数为_____°．
【答案】95
【解析】
【分析】
按照题意，将点A、B、C的位置关系表示在图中，过点B作一条平行于AC的线，并标注出已知角的度数，两平行线间内错角相等，可得∠1=∠BAC，则∠ABC的度数就可求得．
【详解】
解：如下图所示：过点B作一条平行于AC的线，
由题意可得，∠1＝∠A＝50°（两直线平行，内错角相等），
则∠ABC＝180°-35°-50°＝95°，
故答案为：95．
【点睛】
本题主要考察了方位角的表示、平行线的性质应用，解题的关键在于根据题意，在图中表示出各个角的度数，同时还要掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．
62．（2020·四川雅安?中考真题）如图，与都相交，，则_________．
【答案】130°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠1=∠3，再用补角的定义得出∠2.
【详解】
解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠2=180°-50°=130°，
故答案为130°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等.
63．（2020·吉林中考真题）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．
【答案】垂线段最短．
【解析】
【分析】
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
【详解】
通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】
此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．
64．（2020·湖南益阳?中考真题）如图，，，，则的度数为__________．
【答案】132°
【解析】
【分析】
由求得∠BAC，再根据平行线的性质即可解得∠ACD的度数．
【详解】
∵，，
∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-42°=48°，
∵，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-48°=132°，
故答案为：132°．
【点睛】
本题考查了垂直定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
65．（2020·湖南永州?中考真题）已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则_________．
【答案】35°
【解析】
【分析】
如图，标注字母，延长交于，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明，从而可得答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
延长交于，
由题意得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
66．（2020·内蒙古通辽?中考真题）如图，点O在直线上，，则的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据补角的定义，进行计算即可.
【详解】
解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，
∵，
∴∠BOC=180°-=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了补角的定义，和角的计算，关键是掌握角的运算方法.
67．（2020·内蒙古中考真题）如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的性质，得到∠BEC=90°，然后利用勾股定理，即可求出答案．
【详解】
解：如图，在平行四边形中，
∴，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=180°
∵BE、CE分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，∠DCE=∠BCE，
∴∠AEB=∠ABE，∠DEC =∠DCE，∠CBE+∠BCE=90°
∴AB=AE=2，DE=DC=2，∠BEC=90°，
∴AD=2+2=4，
∴BC=AD=4，
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
；
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题．
68．（2020·陕西中考真题）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．
【答案】144°．
【解析】
【分析】
根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
【点睛】
本题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键．
69．（2020·江苏盐城?中考真题）如图，直线被直线所截，．那么_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质即可求解．
【详解】
∵
∴
∵∠2+∠3=180°
∴∠2=120°
故答案为：120．
【点睛】
此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等．
70．（2020·湖北恩施?中考真题）如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4=，利用平行线的性质得到∠1=∠3=，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】
如图，延长CB交于点D，
∵AB=BC，∠C=，
∴∠C=∠4=，
∵，∠1=，
∴∠1=∠3=，
∵∠C +∠3+∠2+∠4 =，即
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
71．（2020·四川内江?中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案．
【详解】
解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，
四边形为矩形，，，
即的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，掌握以上知识是解题的关键．
72．（2020·湖南邵阳?中考真题）如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形，若，则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
【详解】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE=，
又∵∠ABE=30°
∴在RT△BHE中，EH=，
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE=CG=，
∴的面积为．
【点睛】
本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．
73．（2020·湖北黄冈?中考真题）已知：如图，，则_____________度．
【答案】30
【解析】
【分析】
本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD．
【详解】
令BC与EF相交于G点，如下图所示：
∵，
∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，
又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，
∴∠BCD=75°-45°=30°，
故答案：30．
【点睛】
本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等．
74．（2020·湖北咸宁?中考真题）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴．
【答案】∠1=∠4（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据平行线的判定添加条件即可.
【详解】
解：如图，
若∠1=∠4，则a∥b，
故答案为：∠1=∠4（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答.
75．（2020·湖南湘西?中考真题）如图，直线∥，，若，则___________度．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质先求解 利用，从而可得答案．
【详解】
解：∥，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，垂直的性质，掌握以上知识是解题的关键．
76．（2020·湖南张家界?中考真题）如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．
【答案】76°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．
【详解】
解：∵DC∥OB，
∴∠ADC=∠AOB=38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，
∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，
故答案为：76°．
【点睛】
本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．
77．（2020·湖南湘潭?中考真题）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【详解】
解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
【点睛】
本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
78．（2020·湖南衡阳?中考真题）一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解,再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图，把顶点标注字母，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
79．（2020·山东临沂?中考真题）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.
【详解】
解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA==，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB=，
∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
80．（2020·四川南充?中考真题）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．
【答案】38
【解析】
【分析】
直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【详解】
解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
【点睛】
此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
81．（2020·江苏连云港?中考真题）如图，正六边形内部有一个正五形，且，直线经过、，则直线与的夹角________．
【答案】48
【解析】
【分析】
已知正六边形内部有一个正五形，可得出正多边形的内角度数，根据和四边形内角和定理即可得出的度数．
【详解】
∵多边形是正六边形，多边形是正五边形
∴
∵
∴
∴
故答案为：48
【点睛】
本题考查了正多边形内角的求法，正n多边形内角度数为，四边形的内角和为360°，以及平行线的性质定理，两直线平行同位角相等．
三、解答题
82．（2020·江苏镇江?中考真题）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）78°．
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；
（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．
【详解】
证明：（1）在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，
∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠BAC＝78°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明△BEF≌△CDA是解题的关键
83．（2020·江苏宿迁?中考真题）（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】
（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论；
（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】
（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴；
（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
同（1）的理由可知：，
∵，，
∴，
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，
∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，
∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
84．（2020·四川凉山?中考真题）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若，，求半圆的直径．
【答案】（1）见详解；（2）12
【解析】
【分析】
（1）连接OD，先证明OD∥AH，然后根据DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可证明；
（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH=，
在Rt△AOE中，根据sin∠BAC=，sin∠BAC=，可得AO==×=6，即可求出直径．
【详解】
（1）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AH，
∵DH⊥AH，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，
∴OE=DH=，
在Rt△AOE中，
∵sin∠BAC=，sin∠BAC=，
∴AO==×=6，
∴AB=2OA=12，
∴半圆的直径长为12．
【点睛】
本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点是解题关键．
85．（2020·黑龙江大庆?中考真题）如图，，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点．从建筑物的顶点测得点的俯角为45°，从建筑物的顶点测得点的俯角为75°，测得建筑物的顶点的俯角为30°．若已知建筑物的高度为20米，求两建筑物顶点、之间的距离（结果精确到，参考数据：，）
【答案】两建筑物顶点、之间的距离为35米．
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据俯角的定义得出，，，，再根据平行线的性质、角的和差可得，，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，又在中，解直角三角形可得，最后根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】
如图，过点A作于点N
由题意得：，，，
，
，
，米
是等腰直角三角形
（米）
在中，，即
解得（米）
在中，
是等腰直角三角形
（米）
答：两建筑物顶点、之间的距离为35米．
【点睛】
本题考查了俯角的定义、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的实际应用等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
86．（2020·山东东营?中考真题）如图，处是一钻井平台，位于东营港口的北偏东方向上，与港口相距海里，一艘摩托艇从出发，自西向东航行至时，改变航向以每小时海里的速度沿方向行进，此时位于的北偏西方向，则从到达需要多少小时？
【答案】从到达需要小时．
【解析】
【分析】
过点作于点，在与中，利用锐角三角函数的定义求出CD与BC的长，进而求解．
【详解】
解：如图，过点作于点，
由题意得：，，
，，
在中，（海里），
（海里），
在中，（海里），
，
（小时），
从到达需要小时．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，平行线的性质，巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
87．（2020·湖北荆州?中考真题）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．
（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
【详解】
（1）证明：由旋转性质得：
是等边三角形
所以
∴；
（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．
88．（2020·湖北黄石?中考真题）如图，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】
（1）∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），
∴AD=BC．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
89．（2020·山西中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？
……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用说明△DCE是直角三角形，说明，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；
（2）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可；
（3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
【详解】
（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；
（2）证明：由作图方法可知：，，
，．
又，
．
．
即．
（3）解：①如图，直线即为所求；
图③
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
【点睛】
本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．
90．（2020·四川内江?中考真题）如图，抛物线经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积为3时，求点D的坐标；
（3）过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得中的某个角等于的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（3，2）或（1，3）；（3）存在，2或．
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；
（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．
【详解】
解答：解：（1）将A（−1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y＝ax2＋bx＋c得：
，
解得：
故抛物线的解析式为．
（2）如图2，过点D作DM∥BC，交y轴于点M，设点M的坐标为（0，m），使得△BCM的面积为3，
CM=3×2÷4＝1.5，
则m＝2＋1.5＝，
M（0，）
∵点B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝− x＋2，
∴DM的解析式为y＝− x＋，
联立抛物线解析式，
解得，．
∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．
（3）分两种情况考虑：
①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，如图3所示．
∵OC＝OF，OB⊥CF，
∴∠ABC＝∠ABF，
∴∠CBF＝2∠ABC．
∵∠DCB＝2∠ABC，
∴∠DCB＝∠CBF，
∴CD∥BF．
∵点B（4，0），F（0，−2），
∴直线BF的解析式为y＝x−2，
∴直线CD的解析式为y＝x＋2．
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去），，
∴点D的坐标为（2，3）；
②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图4所示．
∵∠OCH＝90°−∠OHC，∠OBF＝90°−∠BHN，
∠OHC＝∠BHN，
∴∠OCH＝∠OBF．
在△OCH与△OBF中
，
∴△OCH∽△OBF，
∴，即，
∴OH＝1，H（1，0）．
设直线CN的解析式为y＝kx＋n（k≠0），
∵C（0，2），H（1，0），
∴，解得，
∴直线CN的解析式为y＝−2x＋2．
连接直线BF及直线CN成方程组得：
，
解得：，
∴点N的坐标为（）．
∵点B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝− x＋2．
∵NP⊥BC，且点N（），
∴直线NP的解析式为y＝2x−．
联立直线BC及直线NP成方程组得：
，
解得：，
∴点Q的坐标为（）．
∵点N（），点N，P关于BC对称，
∴点P的坐标为（）．
∵点C（0，2），P（），
∴直线CP的解析式为y＝x＋2．
将y＝x＋2代入整理，得：11x2−29x＝0，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴点D的横坐标为．
综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式和待定系数法求出点D的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况求出点D的横坐标．
91．（2020·广东中考真题）如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）2 （2）3 （3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意设点B的坐标为（x，），得出点M的坐标为（，），代入反比例函数（），即可得出k；
（2）连接，根据反比例函数系数k的性质可得，，可得，根据，可得点到的距离等于点到距离，由此可得出答案；
（3）设，，可得，，根据，可得，同理，可得，，证明，可得，根据，得出，根据，关于对称，可得，，，可得，再根据，即可证明是平行四边形．
【详解】
解：（1）∵点B在上，
∴设点B的坐标为（x，），
∴OB中点M的坐标为（，），
∵点M在反比例函数（），
∴k=·=2，
故答案为：2；
（2）连接，则，
，
∵，
∴，
∵，
∴点到的距离等于点到距离，
∴；
（3）设，，
，，
又∵，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，关于对称，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是平行四边形．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．
92．（2020·湖北宜昌?中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．
【答案】25°
【解析】
【分析】
使用平行线的性质得到，再根据得到结果．
【详解】
解：∵
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．
93．（2020·湖北孝感?中考真题）如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，．求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质、邻补角的定义可得，，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】
∵四边形为平行四边形
∴，
∴，
在和中，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、邻补角的定义、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质，正确找出全等三角形是解题关键．
94．（2020·河北中考真题）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．
（1）当点在上时，求点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；
（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据当点在上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得，根据=可得 ，可得，求出AB=5，即可解出MP；
（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；
（4）先求出移动的速度==，然后先求出从Q平移到K耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．
【详解】
（1）当点在上时，PA⊥BC时PA最小，
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴PAmin=tanC·=×4=3；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，
S上=S△APQ，
S下=S四边形BPQC，
∵，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
当=时，，
∴，
AE=·，
根据勾股定理可得AB=5，
∴，
解得MP=；
（3）当0≤x≤3时，P在BM上运动，
P到AC的距离：d=PQ·sinC，
由（2）可知sinC=，
∴d=PQ，
∵AP=x+2，
∴，
∴PQ=，
∴d==，
当3≤x≤9时，P在BN上运动，
BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，
d=CP·sinC=（11-x）=-x+，
综上；
（4）AM=2
①从Q平移到K，耗时：=1秒，
②P在BC上时，K与Q重合时
CQ=CK=5-=，
∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP，
∴∠QPC=∠BAP，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCQ，
设BP=y，CP=8-y，
，即，
整理得y2-8y=，
（y-4）2=，
解得y1=，y2=，
÷=10秒，
÷=22秒，
∴点被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．
95．（2020·湖北武汉?中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】
平分，平分
，即
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
96．（2020·北京中考真题）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
【答案】（1）见解析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【解析】
【分析】
（1）按照作法的提示，逐步作图即可；
（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案．
【详解】
解：（1）依据作图提示作图如下：
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【点睛】
本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．
97．（2020·江苏南京?中考真题）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
【答案】（1），；（2）相似，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据证得△△，推出，再证明结论；
（2）作DE∥BC，∥，利用三边对应成比例证得△，再推出，证得，即可证明△△．
【详解】
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴△△，
∴，
∵，
∴△△，
故答案为：，；
（2）如图，过点D、分别作DE∥BC，∥，
DE交AC于点E，交于点，
∵DE∥BC，
∴△△，
∴，
同理：，
又，
∴，
∴，
同理：，
∴，
即，
∴，
又，
∴，
∴△△，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
同理：，
∴，
又，
∴△△．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2问的关键．
98．（2020·江西中考真题）如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的度数．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求得AD=OD=2，A(2，2)，代入函数关系式求解即可；
（2）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=BE，∠AEC=2∠ECB，又由OA=AE可得∠AOE=∠AEO=2∠ECB，由平行线的性质可知∠ECB=∠EOD，所以∠EOD=∠AOD，代入求解即可．
【详解】
（1）∵AD⊥x轴，∠AOD=45°，OA=，
∴AD=OD=2，
∴A(2，2)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
即反比例函数的解析式为．
(2)∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点，
∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB，
∵AB=2OA ，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB，
∵∠ACB=90°，AD⊥x轴，
∴BC//x轴，
∴∠ECB=∠EOD，
∴∠AOE=2∠EOD，
∵∠AOD=45°，
∴∠EOD=∠AOD=．
【点睛】
本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键．
99．（2020·山东菏泽?中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）4.8．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；
（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．
【详解】
解：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD=，∠ADC=90°，
∵AB=AC=，
由勾股定理，得：，
∵，
∴；
【点睛】
本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．
专题34相交线与平行线（1）（全国一年）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2020·浙江衢州?中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】
A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
2．（2020·广西河池?中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
【详解】
解：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．
故选：A．
【点睛】
本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
3．（2020·贵州黔西?中考真题）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ）
A．37° B．43° C．53° D．54°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质得出，再根据即可求解．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝37°，
∵∠FEG＝90°，
∴
∴∠1＝90°－∠3＝90°－37°＝53°
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2020·山东临沂?中考真题）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.
【详解】
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACB=70°，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠B=70°，
故选D.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.
5．（2020·辽宁大连?中考真题）如图，中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理求出∠C的度数，然后由平行线的性质，即可得到答案．
【详解】
解：在中，，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，以及平行线的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出角的度数．
6．（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（）
A．36°． B．54°． C．72°． D．73°．
【答案】C
【解析】
∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°．
故选C．
7．（2020·浙江金华?中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】
解：
∵由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴∠1=∠2
∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2020·辽宁朝阳?中考真题）如图，四边形是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
过点D作交AO于点E，由平行的性质可知，等量代换可得的值.
【详解】
解：如图，过点D作交AO于点E，
四边形是矩形
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.
9．（2020·内蒙古呼伦贝尔?中考真题）如图，直线于点，若，则的度数是（ ）
A．120° B．100° C．150° D．160°
【答案】C
【解析】
【分析】
延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
【详解】
解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFC=180°，
∵，
∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠AFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和平行线的性质是解题的关键．
10．（2020·山东滨州?中考真题）如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠CPF=55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE=2∠CPF=110°，
∴∠EPD=180°-110°=70°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．（2020·四川绵阳?中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【解析】
【分析】
延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
【详解】
解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．（2020·四川绵阳?中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
过作，交于点，可得，得到与平行，再由为中点，得到，同时得到四边形为矩形，再由角平分线定理得到，进而求出的长，得到的长．
【详解】
解：过作，交于点，
，
，
，
，
为中点，
，
，即，
，
四边形为矩形，
，
平分，，，
，
，
则．
故选：．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
13．（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
由a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠2的度数．
【详解】
∵a∥b，
∴∠2=∠1=50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
14．（2020·辽宁沈阳?中考真题）如图，直线，且于点，若，则的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和求得，再根据平行线的性质可得到的度数．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的内角和、平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键．
15．（2020·四川眉山?中考真题）一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据对顶角相等得出，，再根据四边形的内角和即可得出结论
【详解】
解： ∵；
∴；
∵，；
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了四边形的内角和定理，和对顶角的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
16．（2020·江苏南通?中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．34° C．32° D．30°
【答案】A
【解析】
【分析】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
17．（2020·辽宁营口?中考真题）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解答本题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
18．（2020·山东淄博?中考真题）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．
19．（2020·甘肃金昌?中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】
如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
20．（2020·四川雅安?中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
【答案】B
【解析】
【分析】
判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【详解】
解：由题意可知，
A、对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果，那么，故选项是命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
21．（2020·山东威海?中考真题）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
【详解】
解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵，
∴，
∵BC＝3，
∴GB＝，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝==，
∴tanα的值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（2020·山东东营?中考真题）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】
解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM=∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键．
23．（2020·海南中考真题）如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据得到，再运用三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴
∵，且，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解答此题的关键，比较简单．
24．（2020·湖南永州?中考真题）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.
【详解】
过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，
∵点C到直线l的距离，半径为1，
∴的最小值是，
故选：B.
【点睛】
此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.
25．（2020·湖北荆州?中考真题）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．
【详解】
解：如图所示：
将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，
，，
，，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了矩形的翻折变换，，熟记平行线的性质是解题的关键．
26．（2020·宁夏中考真题）如图摆放的一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（ ）
A．135° B．120° C．115° D．105°
【答案】D
【解析】
【分析】
过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，可以得到，有即可得出答案．
【详解】
解：过点G作，有，
∵在和中，
∴
∴，
∴
故的度数是105°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
27．（2020·贵州毕节?中考真题）将一幅直角三角板（，，，点在边上）按图中所示位置摆放，两条斜边为，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠1=∠F=45°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．
【详解】
解：如图，
∵，
∴∠1=∠F=45°，
又∵，
∴∠B=30°，
∴，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的应用，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
28．（2020·广西玉林?中考真题）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．正方形的四个角相等
【答案】B
【解析】
【分析】
先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得．
【详解】
A、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题
B、逆命题：同位角相等，两直线平行
由平行线的判定可知，此逆命题是真命题
C、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形
由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题
D、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形
如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．
29．（2020·广西玉林?中考真题）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据方位角的定义分别可求出，再根据角的和差、平行线的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．
【详解】
由方位角的定义得：
由题意得：
由三角形的内角和定理得：
是等腰直角三角形
即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形
故选：A．
【点睛】
本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键．
30．（2020·湖南郴州?中考真题）如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
【详解】
A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
31．（2020·广东深圳?中考真题）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解析】
【分析】
如图：根据直角三角形的性质可得，然后再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
【详解】
解：如图：∵含30°直角三角形
∴
∵直尺两边平行
∴∠1+∠2+∠3=180°
∴．
故答案为D．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质和平行线的性质，其中灵活运用两直线平行、同旁内角互补的性质是解答本题的关键．
32．（2020·湖南娄底?中考真题）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（ ）
A．62° B．56° C．28° D．72°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两锐角互余求解 再利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
由题意得：，
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握以上知识是解题的关键．
33．（2020·四川宜宾?中考真题）如图，M，N分别是的边AB，AC的中点，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由M，N分别是的边AB，AC的中点，可知MN为△ABC的中位线，即可得到，从而可求出∠B的值．
【详解】
解：∵M，N分别是的边AB，AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM=∠C，
∵，
∴，
又∵
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线，注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键．
34．（2020·湖北省直辖县级单位?中考真题）将一副三角尺如图摆放，点E在上，点D在的延长线上，，则的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°，根据可知∠CEF=∠ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．
【详解】
解：由三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°
∵
∴∠CEF=∠ACB=45°，
∴∠CED=∠CEF-∠DEF=45°-30°=15°．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
35．（2020·湖南长沙?中考真题）如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用角平分线的性质求得∠DAE的度数，利用平行线的性质求得∠ACE的度数，即可求解．
【详解】
∵AB平分，∠CAB=60，
∴∠DAE=60，
∵FD∥GH，
∴∠ACE+∠CAD=180，
∴∠ACE=180-∠CAB-∠DAE=60，
∵∠ACB=90，
∴∠ECB=90-∠ACE=30，
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
36．（2020·江苏常州?中考真题）如图，直线a、b被直线c所截，，，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
【详解】
解：∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°
∵
∴∠2=∠3=40°．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
37．（2020·辽宁抚顺?中考真题）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行线的性质求得∠3的度数，即可求得∠2的度数．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠3=∠1=20，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45，
∴∠2=45∠3=25，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
38．（2020·四川内江?中考真题）如图，已知直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】
如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝180°−50°＝130°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
39．（2020·湖北随州?中考真题）如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图：先运用两直线平行、同位角相等得到∠3=∠1=60°，然后再根据邻补角的性质得到∠3+∠2=180°，最后计算即可．
【详解】
解：如图：
∵，∠1=60°
∴∠3=∠1=60°
∵∠3+∠2=180°
∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了平行的性质和邻补角的性质，掌握平行线的性质（两直线平行、同位角相等）是正确解答本题的关键．
40．（2020·黑龙江齐齐哈尔?中考真题）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【详解】
解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
41．（2020·湖北孝感?中考真题）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．
【详解】
∵
∴
∵
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．
42．（2020·河北中考真题）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】D
【解析】
【分析】
在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．
【详解】
在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．
43．（2020·北京中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，
C选项为∠1=∠4+∠5，
D选项为∠2＞∠5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．
44．（2020·湖北鄂州?中考真题）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作平行a和b的平行线,再根据平行的性质可知,再算出即可得出．
【详解】
如图所示,过直角顶点作c∥a，
∵，
∴a∥b∥c，
∴,
∴,
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查平行的性质,关键在于利用割补法将直角分成两个角度进行转换．
45．（2020·贵州贵阳?中考真题）如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【详解】
解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝30°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180°−∠1＝180°−30°＝150°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
46．（2020·江西中考真题）如图，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由可对A进行判断；根据三角形外角的性质可对B进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D进行判断；求出可对C进行判断．
【详解】
，
，故选项A正确；
，
，
又，
，故选项B正确；
，
，
，
，故选项D正确；
，
，
而
，故选项C错误．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键．
47．（2020·湖北襄阳?中考真题）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行线的性质求解，利用角平分线求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：，
平分，
故选．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
48．（2020·河南中考真题）如图，，若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行线的性质即可求解．
【详解】
如图，∵，
∴∠1+∠3=180º，
∵∠1=70º，
∴∴∠3=180º-70º=110º，
∵，
∴∠2=∠3=110º，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
49．（2020·湖南岳阳?中考真题）如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线的判定和性质，即可求出答案．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
50．（2020·湖南岳阳?中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．等边三角形是中心对称图形 D．旋转改变图形的形状和大小
【答案】B
【解析】
【分析】
由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、旋转不改变图形的形状和大小，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断．
51．（2020·湖南怀化?中考真题）如图，已知直线，被直线所截，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得的度数．
【详解】
解：∵＝40°，
∴∠1＝＝40°，
∵a∥b，
∴＝∠1＝40°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了对顶角相等和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
52．（2020·四川广元?中考真题）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.
A．180° B．360° C．270° D．540°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
【详解】
解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a是解决问题的关键．
53．（2020·山东聊城?中考真题）如图，在ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，利用平行线的性质得到∠ EDC＝∠B，利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝65°，
∵DF∥AB，
∴∠ EDC＝∠B＝65°，
∴∠FEC＝∠EDC＋∠C＝65°＋65°＝130°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，需熟练掌握．
54．（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明OB∥AE，得出S△ABE=S△OAE=18，设A的坐标为（a，），求出F点的坐标和E点的坐标，可得S△OAE=×3a×=18，求解即可．
【详解】
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，
∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，
∴F点的纵坐标为，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=×3a×=18，
解得k=12，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S△ABE=S△OAE=18是解题关键．
55．（2020·四川自贡?中考真题）如图，∥，，则的度数为 （ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行线的性质与对顶角相等即可求出．
【详解】
两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案.
故答案为B．
【点晴】
本题主要考查了平行线的性质与对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
56．（2020·四川攀枝花?中考真题）如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到∠1=∠2，再依据平行线的性质得到∠B=∠BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.
【详解】
解：延长BG，交CD于H，
∵∠1=50°，
∴∠2=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BHD，
∵BG⊥EF，
∴∠FGH=90°，
∴∠B=∠BHD=180°-∠2-∠FGH=180°-50°-90°=40°.
故选C.
【点睛】
本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角.
二、填空题
57．（2020·辽宁大连?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，点B的坐标为，则k的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的判定可得轴，从而可得点D的纵坐标为2，再根据正方形的判定与性质可得，从而可得，然后将点D的坐标代入反比例函数的解析式即可．
【详解】
如图，连接BD，交AC于点E，
点B的坐标为，
，
四边形ABCD是正方形，
，
轴，
轴，
点D的纵坐标与点B的纵坐标相同，即为2，
轴，，，
四边形OBEC是矩形，
又，
四边形OBEC是正方形，
，
，
点D的坐标为，
将点代入反比例函数的解析式得：，
解得，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何应用、正方形的判定与性质等知识点，熟练运用正方形的判定与性质求出点D的坐标是解题关键．
58．（2020·云南中考真题）如图，直线与直线、都相交．若∥，，则___________度．
【答案】54°
【解析】
【分析】
直接根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵直线a∥b，∠1=54°，
∴∠2=∠1=54°．
故答案为：54°．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
59．（2020·四川绵阳?中考真题）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
【详解】
解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGE＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2，GF＝，OF＝3，
∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．
【点睛】
本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
60．（2020·四川凉山?中考真题）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径OA的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接 证明再证明从而可以列方程求解半径．
【详解】
解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
为等边三角形，
解得： （负根舍去），
故答案为：
【点睛】
本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
61．（2020·云南昆明?中考真题）如图，点C位于点A正北方向，点B位于点A北偏东50°方向，点C位于点B北偏西35°方向，则∠ABC的度数为_____°．
【答案】95
【解析】
【分析】
按照题意，将点A、B、C的位置关系表示在图中，过点B作一条平行于AC的线，并标注出已知角的度数，两平行线间内错角相等，可得∠1=∠BAC，则∠ABC的度数就可求得．
【详解】
解：如下图所示：过点B作一条平行于AC的线，
由题意可得，∠1＝∠A＝50°（两直线平行，内错角相等），
则∠ABC＝180°-35°-50°＝95°，
故答案为：95．
【点睛】
本题主要考察了方位角的表示、平行线的性质应用，解题的关键在于根据题意，在图中表示出各个角的度数，同时还要掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．
62．（2020·四川雅安?中考真题）如图，与都相交，，则_________．
【答案】130°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠1=∠3，再用补角的定义得出∠2.
【详解】
解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠2=180°-50°=130°，
故答案为130°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等.
63．（2020·吉林中考真题）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．
【答案】垂线段最短．
【解析】
【分析】
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
【详解】
通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】
此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．
64．（2020·湖南益阳?中考真题）如图，，，，则的度数为__________．
【答案】132°
【解析】
【分析】
由求得∠BAC，再根据平行线的性质即可解得∠ACD的度数．
【详解】
∵，，
∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-42°=48°，
∵，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-48°=132°，
故答案为：132°．
【点睛】
本题考查了垂直定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
65．（2020·湖南永州?中考真题）已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则_________．
【答案】35°
【解析】
【分析】
如图，标注字母，延长交于，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明，从而可得答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
延长交于，
由题意得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
66．（2020·内蒙古通辽?中考真题）如图，点O在直线上，，则的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据补角的定义，进行计算即可.
【详解】
解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，
∵，
∴∠BOC=180°-=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了补角的定义，和角的计算，关键是掌握角的运算方法.
67．（2020·内蒙古中考真题）如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的性质，得到∠BEC=90°，然后利用勾股定理，即可求出答案．
【详解】
解：如图，在平行四边形中，
∴，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=180°
∵BE、CE分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，∠DCE=∠BCE，
∴∠AEB=∠ABE，∠DEC =∠DCE，∠CBE+∠BCE=90°
∴AB=AE=2，DE=DC=2，∠BEC=90°，
∴AD=2+2=4，
∴BC=AD=4，
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
；
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题．
68．（2020·陕西中考真题）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．
【答案】144°．
【解析】
【分析】
根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
【点睛】
本题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键．
69．（2020·江苏盐城?中考真题）如图，直线被直线所截，．那么_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质即可求解．
【详解】
∵
∴
∵∠2+∠3=180°
∴∠2=120°
故答案为：120．
【点睛】
此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等．
70．（2020·湖北恩施?中考真题）如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4=，利用平行线的性质得到∠1=∠3=，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】
如图，延长CB交于点D，
∵AB=BC，∠C=，
∴∠C=∠4=，
∵，∠1=，
∴∠1=∠3=，
∵∠C +∠3+∠2+∠4 =，即
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
71．（2020·四川内江?中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案．
【详解】
解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，
四边形为矩形，，，
即的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，掌握以上知识是解题的关键．
72．（2020·湖南邵阳?中考真题）如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形，若，则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
【详解】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE=，
又∵∠ABE=30°
∴在RT△BHE中，EH=，
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE=CG=，
∴的面积为．
【点睛】
本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．
73．（2020·湖北黄冈?中考真题）已知：如图，，则_____________度．
【答案】30
【解析】
【分析】
本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD．
【详解】
令BC与EF相交于G点，如下图所示：
∵，
∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，
又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，
∴∠BCD=75°-45°=30°，
故答案：30．
【点睛】
本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等．
74．（2020·湖北咸宁?中考真题）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴．
【答案】∠1=∠4（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据平行线的判定添加条件即可.
【详解】
解：如图，
若∠1=∠4，则a∥b，
故答案为：∠1=∠4（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答.
75．（2020·湖南湘西?中考真题）如图，直线∥，，若，则___________度．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质先求解 利用，从而可得答案．
【详解】
解：∥，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，垂直的性质，掌握以上知识是解题的关键．
76．（2020·湖南张家界?中考真题）如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．
【答案】76°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．
【详解】
解：∵DC∥OB，
∴∠ADC=∠AOB=38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，
∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，
故答案为：76°．
【点睛】
本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．
77．（2020·湖南湘潭?中考真题）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【详解】
解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
【点睛】
本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
78．（2020·湖南衡阳?中考真题）一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解,再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图，把顶点标注字母，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
79．（2020·山东临沂?中考真题）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.
【详解】
解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA==，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB=，
∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
80．（2020·四川南充?中考真题）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．
【答案】38
【解析】
【分析】
直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【详解】
解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
【点睛】
此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
81．（2020·江苏连云港?中考真题）如图，正六边形内部有一个正五形，且，直线经过、，则直线与的夹角________．
【答案】48
【解析】
【分析】
已知正六边形内部有一个正五形，可得出正多边形的内角度数，根据和四边形内角和定理即可得出的度数．
【详解】
∵多边形是正六边形，多边形是正五边形
∴
∵
∴
∴
故答案为：48
【点睛】
本题考查了正多边形内角的求法，正n多边形内角度数为，四边形的内角和为360°，以及平行线的性质定理，两直线平行同位角相等．
三、解答题
82．（2020·江苏镇江?中考真题）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）78°．
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；
（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．
【详解】
证明：（1）在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，
∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠BAC＝78°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明△BEF≌△CDA是解题的关键
83．（2020·江苏宿迁?中考真题）（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】
（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论；
（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】
（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴；
（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
同（1）的理由可知：，
∵，，
∴，
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，
∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，
∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
84．（2020·四川凉山?中考真题）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若，，求半圆的直径．
【答案】（1）见详解；（2）12
【解析】
【分析】
（1）连接OD，先证明OD∥AH，然后根据DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可证明；
（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH=，
在Rt△AOE中，根据sin∠BAC=，sin∠BAC=，可得AO==×=6，即可求出直径．
【详解】
（1）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AH，
∵DH⊥AH，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，
∴OE=DH=，
在Rt△AOE中，
∵sin∠BAC=，sin∠BAC=，
∴AO==×=6，
∴AB=2OA=12，
∴半圆的直径长为12．
【点睛】
本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点是解题关键．
85．（2020·黑龙江大庆?中考真题）如图，，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点．从建筑物的顶点测得点的俯角为45°，从建筑物的顶点测得点的俯角为75°，测得建筑物的顶点的俯角为30°．若已知建筑物的高度为20米，求两建筑物顶点、之间的距离（结果精确到，参考数据：，）
【答案】两建筑物顶点、之间的距离为35米．
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据俯角的定义得出，，，，再根据平行线的性质、角的和差可得，，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，又在中，解直角三角形可得，最后根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】
如图，过点A作于点N
由题意得：，，，
，
，
，米
是等腰直角三角形
（米）
在中，，即
解得（米）
在中，
是等腰直角三角形
（米）
答：两建筑物顶点、之间的距离为35米．
【点睛】
本题考查了俯角的定义、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的实际应用等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
86．（2020·山东东营?中考真题）如图，处是一钻井平台，位于东营港口的北偏东方向上，与港口相距海里，一艘摩托艇从出发，自西向东航行至时，改变航向以每小时海里的速度沿方向行进，此时位于的北偏西方向，则从到达需要多少小时？
【答案】从到达需要小时．
【解析】
【分析】
过点作于点，在与中，利用锐角三角函数的定义求出CD与BC的长，进而求解．
【详解】
解：如图，过点作于点，
由题意得：，，
，，
在中，（海里），
（海里），
在中，（海里），
，
（小时），
从到达需要小时．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，平行线的性质，巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
87．（2020·湖北荆州?中考真题）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．
（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
【详解】
（1）证明：由旋转性质得：
是等边三角形
所以
∴；
（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．
88．（2020·湖北黄石?中考真题）如图，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】
（1）∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），
∴AD=BC．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
89．（2020·山西中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？
……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用说明△DCE是直角三角形，说明，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；
（2）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可；
（3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
【详解】
（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；
（2）证明：由作图方法可知：，，
，．
又，
．
．
即．
（3）解：①如图，直线即为所求；
图③
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
【点睛】
本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．
90．（2020·四川内江?中考真题）如图，抛物线经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积为3时，求点D的坐标；
（3）过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得中的某个角等于的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（3，2）或（1，3）；（3）存在，2或．
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；
（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．
【详解】
解答：解：（1）将A（−1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y＝ax2＋bx＋c得：
，
解得：
故抛物线的解析式为．
（2）如图2，过点D作DM∥BC，交y轴于点M，设点M的坐标为（0，m），使得△BCM的面积为3，
CM=3×2÷4＝1.5，
则m＝2＋1.5＝，
M（0，）
∵点B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝− x＋2，
∴DM的解析式为y＝− x＋，
联立抛物线解析式，
解得，．
∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．
（3）分两种情况考虑：
①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，如图3所示．
∵OC＝OF，OB⊥CF，
∴∠ABC＝∠ABF，
∴∠CBF＝2∠ABC．
∵∠DCB＝2∠ABC，
∴∠DCB＝∠CBF，
∴CD∥BF．
∵点B（4，0），F（0，−2），
∴直线BF的解析式为y＝x−2，
∴直线CD的解析式为y＝x＋2．
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去），，
∴点D的坐标为（2，3）；
②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图4所示．
∵∠OCH＝90°−∠OHC，∠OBF＝90°−∠BHN，
∠OHC＝∠BHN，
∴∠OCH＝∠OBF．
在△OCH与△OBF中
，
∴△OCH∽△OBF，
∴，即，
∴OH＝1，H（1，0）．
设直线CN的解析式为y＝kx＋n（k≠0），
∵C（0，2），H（1，0），
∴，解得，
∴直线CN的解析式为y＝−2x＋2．
连接直线BF及直线CN成方程组得：
，
解得：，
∴点N的坐标为（）．
∵点B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝− x＋2．
∵NP⊥BC，且点N（），
∴直线NP的解析式为y＝2x−．
联立直线BC及直线NP成方程组得：
，
解得：，
∴点Q的坐标为（）．
∵点N（），点N，P关于BC对称，
∴点P的坐标为（）．
∵点C（0，2），P（），
∴直线CP的解析式为y＝x＋2．
将y＝x＋2代入整理，得：11x2−29x＝0，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴点D的横坐标为．
综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式和待定系数法求出点D的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况求出点D的横坐标．
91．（2020·广东中考真题）如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）2 （2）3 （3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意设点B的坐标为（x，），得出点M的坐标为（，），代入反比例函数（），即可得出k；
（2）连接，根据反比例函数系数k的性质可得，，可得，根据，可得点到的距离等于点到距离，由此可得出答案；
（3）设，，可得，，根据，可得，同理，可得，，证明，可得，根据，得出，根据，关于对称，可得，，，可得，再根据，即可证明是平行四边形．
【详解】
解：（1）∵点B在上，
∴设点B的坐标为（x，），
∴OB中点M的坐标为（，），
∵点M在反比例函数（），
∴k=·=2，
故答案为：2；
（2）连接，则，
，
∵，
∴，
∵，
∴点到的距离等于点到距离，
∴；
（3）设，，
，，
又∵，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，关于对称，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是平行四边形．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．
92．（2020·湖北宜昌?中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．
【答案】25°
【解析】
【分析】
使用平行线的性质得到，再根据得到结果．
【详解】
解：∵
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．
93．（2020·湖北孝感?中考真题）如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，．求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质、邻补角的定义可得，，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】
∵四边形为平行四边形
∴，
∴，
在和中，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、邻补角的定义、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质，正确找出全等三角形是解题关键．
94．（2020·河北中考真题）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．
（1）当点在上时，求点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；
（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据当点在上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得，根据=可得 ，可得，求出AB=5，即可解出MP；
（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；
（4）先求出移动的速度==，然后先求出从Q平移到K耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．
【详解】
（1）当点在上时，PA⊥BC时PA最小，
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴PAmin=tanC·=×4=3；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，
S上=S△APQ，
S下=S四边形BPQC，
∵，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
当=时，，
∴，
AE=·，
根据勾股定理可得AB=5，
∴，
解得MP=；
（3）当0≤x≤3时，P在BM上运动，
P到AC的距离：d=PQ·sinC，
由（2）可知sinC=，
∴d=PQ，
∵AP=x+2，
∴，
∴PQ=，
∴d==，
当3≤x≤9时，P在BN上运动，
BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，
d=CP·sinC=（11-x）=-x+，
综上；
（4）AM=2
①从Q平移到K，耗时：=1秒，
②P在BC上时，K与Q重合时
CQ=CK=5-=，
∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP，
∴∠QPC=∠BAP，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCQ，
设BP=y，CP=8-y，
，即，
整理得y2-8y=，
（y-4）2=，
解得y1=，y2=，
÷=10秒，
÷=22秒，
∴点被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．
95．（2020·湖北武汉?中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】
平分，平分
，即
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
96．（2020·北京中考真题）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
【答案】（1）见解析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【解析】
【分析】
（1）按照作法的提示，逐步作图即可；
（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案．
【详解】
解：（1）依据作图提示作图如下：
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【点睛】
本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．
97．（2020·江苏南京?中考真题）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
【答案】（1），；（2）相似，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据证得△△，推出，再证明结论；
（2）作DE∥BC，∥，利用三边对应成比例证得△，再推出，证得，即可证明△△．
【详解】
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴△△，
∴，
∵，
∴△△，
故答案为：，；
（2）如图，过点D、分别作DE∥BC，∥，
DE交AC于点E，交于点，
∵DE∥BC，
∴△△，
∴，
同理：，
又，
∴，
∴，
同理：，
∴，
即，
∴，
又，
∴，
∴△△，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
同理：，
∴，
又，
∴△△．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2问的关键．
98．（2020·江西中考真题）如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的度数．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求得AD=OD=2，A(2，2)，代入函数关系式求解即可；
（2）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=BE，∠AEC=2∠ECB，又由OA=AE可得∠AOE=∠AEO=2∠ECB，由平行线的性质可知∠ECB=∠EOD，所以∠EOD=∠AOD，代入求解即可．
【详解】
（1）∵AD⊥x轴，∠AOD=45°，OA=，
∴AD=OD=2，
∴A(2，2)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
即反比例函数的解析式为．
(2)∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点，
∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB，
∵AB=2OA ，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB，
∵∠ACB=90°，AD⊥x轴，
∴BC//x轴，
∴∠ECB=∠EOD，
∴∠AOE=2∠EOD，
∵∠AOD=45°，
∴∠EOD=∠AOD=．
【点睛】
本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键．
99．（2020·山东菏泽?中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）4.8．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；
（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．
【详解】
解：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD=，∠ADC=90°，
∵AB=AC=，
由勾股定理，得：，
∵，
∴；
【点睛】
本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．
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初中数学中考复习 专题50圆（4）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（解析版）： 这是一份初中数学中考复习 专题50圆（4）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（解析版），共130页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
