初中数学中考复习 专题52：第11章新定义问题-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

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52第11章新定义问题之新定义问题

一、单选题
1．定义新运算：对于任意两个有理数a，b，有，则的值是（ ）
A． B． C．27 D．9
【答案】C
【分析】根据定义新运算公式计算即可．
【解答】解：由题意可得
=
=
=27
故选C．
【点评】此题考查的是定义新运算，掌握有理数乘方的意义和乘法法则是解题关键．
2．阅读短文，完成问题：
沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算”，然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；；；；．
下列是智羊羊看了这些算式后的思考，其中正确的有（ ）
A．两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加
B．0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数本身
C．
D．加法交换律在有理数的※（加乘）运算中不适用
【答案】A
【分析】首先根据（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出（加乘）运算的运算法则即可判断A；然后根据：；，可得：0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，等于这个数的绝对值可判断B；根据总结出的（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可判断C；加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可判断D．
【解答】解：由归纳（加乘）运算的运算法则： 两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，故A正确；
由0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，等于这个数的绝对值，故B错误；
由，故C错误；
加法交换律和加法结合律在有理数的（加乘）运算中还适用． 由（加乘）运算的运算法则可知： （+5）（+2）=+7， （+2）（+5）=+7， 所以（+5）（+2）=（+2）（+5）， 即加法交换律在有理数的（加乘）运算中还适用，故D错误．
故选A．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算律的应用．
3．己知点在函数（>）的图象上，点在直线上，若、两点关于原点对称，则称点、为函数、图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）
A．只有1对 B．只有2对 C．有1对或2对 D．有无数对
【答案】B
【分析】根据“友好点”的定义知，点在函数（>）的图象上关于原点对称点B一定在直线上，然后进行求解即可．
【解答】解：设点，由题意得点B在直线上，则有：
，整理得：；
解得，因此“友好点”的个数为2对；
故选B．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数上点的坐标及“友好点”的定义是解题的关键．
4．对于两个非零有理数a、b定义运算※如下：a※b=，则（-3）※（-）=（ ）
A．-3 B． C．3 D．-
【答案】B
【分析】根据新定义运算代入计算即可．
【解答】 a※b=
（-3）※（-）



故选B．
【点评】本题考查了新定义下的实数运算，正确代入新定义运算中是解题的关键．
5．对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（ ）
A．﹣2 B．﹣6 C．0 D．2
【答案】B
【分析】根据a※b=|a|-|b|-|a-b|，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a※b=|a|-|b|-|a-b|，
∴2※（-3）
=|2|-|-3|-|2-（-3）|
=2-3-|2+3|
=2-3-5
=-6，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
6．对于实数，规定一种运算：（是常数），已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据解方程组，可得答案.
【解答】解：由题意，得
2a+3b=11, 5a-3b=10
解得
故选：C
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用“x△y=ax+by（a、b是常数）”得出方程组是解题关键
7．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（填写所有正确结论的序号）①[0）＝0； ②[x）﹣x的最小值是0；③[x）﹣x的最大值是1；④存在实数x，使[x）﹣x＝0.6成立．（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】C
【分析】利用题中的新定义判断即可．
【解答】解：∵[x）表示大于x的最小整数，
∴0[x）-x1
①[0）=1；
②[x）-x无最小值；
③[x）-x的最大值是1；
④存在实数x，使[x）-x=0.6成立，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，理解新定义实数的运算法则是解本题的关键．
8．对于有理数，我们规定表示不大于的最大整数，例如若则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，再对各项进行判断即可．
【解答】∵
∴
解得
则的取值可以是62
故答案为：B．
【点评】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的方法是解题的关键．
9．若定义：f(a,b)＝(-a,b)，g(m,n)＝(m,-n)，例如f(1,2)＝(-1,2)，g(-4,-5)＝(-4,5)，则g(f(3,-4))的值为（ ）
A．(3,-4) B．(-3,4) C．(3,4) D．(-3,-4)
【答案】B
【分析】直接根据新定义的运算进行求解．
【解答】由题意知，f(3,-4)＝(-3,-4)，
∴g(f(3,-4))＝g(-3,-4)＝(-3,4)，
故选B．
【点评】本题是新定义运算，考查点的坐标变化，正确理解新定义运算规则是解题的关键．
10．若点，分别是两条线段和上任意一点，则线段长度的最小值叫做线段与线段的“理想距离”．已知，线段与线段的“理想距离”为2，则的取值错误的是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得k的取值范围．
【解答】由题意可得，
，
解得，−1≤k≤1，
故D错误,
故选D．
【点评】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的不等式组．
11．若定义新运算，则 的值为（　　）
A．12 B．16 C．64 D．81
【答案】C
【分析】根据新定义列出算式计算即可．
【解答】解：∵，
∴===64，
故选C．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
12．我们规定这样一种运算：如果ab=N(a>0，N>0)，那么b就叫做以a为底的N的对数，记作：b=logaN，例如：因为23=8，所以log28=3，那么log381的值为（ ）
A．4 B．9 C．27 D．81
【答案】A
【分析】先把81转化以3为底的幂，再根据有理数的乘方的定义和题目所提供的信息， log381等于以3为底数81的对数．
【解答】解：∵，
∴log381=4．
故选：A．
【点评】本题主要考查新定义下的实数运算以及有理数乘方的理解，读懂题目信息并灵活运用是解题的关键．
13．现规定一种新运算“*”：a*b=ab,如3*2=32=9，则（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【分析】仿照新定义的形式求解即可．
【解答】解：由题意可知：∵a*b=ab ，
∴，
故选：C．
【点评】本题借助新定义考查有理数的乘方运算，关键是能读懂题意，仿照新定义形式进行运算即可求解．
14．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换：
①.如，；
②.如，；
③.如，.
按照以上变换有：，那么等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】根据题意的描述，可得三种变换的规律，按此规律化简f（h（5，-3））可得答案，注意从题目中所给的变化范例中找到验证规律．
【解答】解：根据题意，f（h（5，-3））=f（-5，3）=（5，3）；
故选B.
【点评】本题考查了点的坐标，几何变换，读懂题目信息，理解f、g、h的变化方法是解题的关键．
15．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，可以将所求式子化简，本题得以解决．
【解答】解：
=（x+1）（x-1）-x（x-2）
=x2-1-x2+2x
=2x-1，
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．

二、填空题
16．等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”﹒若等腰中，，则它的特征值_________________．
【答案】或
【分析】分∠A为顶角及∠A为底角两种情况考虑，当∠A为顶角时，利用三角形内角和定理可求出底角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值；当∠A为底角时，利用三角形内角和定理可求出顶角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值．
【解答】当为顶角时，则底角度数为
则；
当为底角时，则顶角度数为，
；
故答案为：或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分∠A为顶角及∠A为底角两种情况求出“特征值”k是解题的关键．
17．“！”是基斯顿·卡曼于1808年发明的一种数学运算符号，叫做阶乘．自然数的阶乘写作，并且知道：，，，……那么等于______．
【答案】
【分析】根据题意，可以写出的式子，然后化简即可解答本题．
【解答】解：由题意可得，＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
18．规定⊗是一种新运算规则：a⊗b＝a2﹣b2，例如：2⊗3＝22﹣32＝4﹣9＝﹣5，则5⊗[1⊗（﹣2）]＝__________．
【答案】16
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝5⊗（1−4）＝5⊗（−3）＝25−9＝16．
故答案为：16．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．定义一种新运算“*”： ，则-1*2=_______
【答案】
【分析】根据新定义运算法则代入即可求解．
【解答】∵
∴-1*2=-4-1=-5
故答案为：-5．
【点评】此题主要考查代数式求值，解题的关键是根据题意的运算方式即可求解．
20．对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算： =ad﹣bc，例如 = 5×（﹣3）﹣1×2 =﹣17．如果 =2，那么m = _____．
【答案】-5
【分析】按新定义规则展开，变成方程，解方程即可．
【解答】由 =2，
3×4-m×(-2)=2，
12+2m=2，
2m=-10，
m=-5，
故答案为：-5．
【点评】本题考查新定义问题，关键读懂新定义的内涵，掌握新定义的规则，会用新定义将等式变成方程是关键．
21．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次后为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是_____．
【答案】255
【分析】根据题意，先设，从而求出x的最大正整数值为3；再设，从而求出y的最大正整数值为15；最后设，求出z的最大正整数值即可．
【解答】解：设，x为正整数，则，
∴，即最大正整数是3；
设，为正整数，则，
∴，即最大正整数是15；
设，为正整数，则，
∴，即最大正整数是255．
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
22．现在定义两种运算“”和“☆”，对于有理数，，有，，则的值为_______．
【答案】183
【分析】根据题目中定义的运算方法进行计算即可．
【解答】解：
=
=
=
=
=14×13+1
=183，
故答案为：183．
【点评】本题考查了新定义下的实数运算，理解题意是解题关键．
23．定义新运算：，则______．
【答案】-84
【分析】根据新的定义计算即可．
【解答】解：5*（−7）＝（5＋2）（−7−5）＝−84，
故答案为：−84．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，学会根据新的定义计算．
24．用“☆”定义一种新的运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16，则(-2)☆3的值为_______．
【答案】-32
【分析】读懂题意，理解“☆”运算的含义，发现-2与a对应，3与b对应，把a=-2，b=3代入ab2+2ab+a求值即可．
【解答】比较a☆b、(-2)☆3得
a=-2，b=3，把之代入得
a☆b=ab2+2ab+a==-32．
故答案为：-32．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．用“※”定义新运算：对于有理数都有：，那么当为有理数时， ________________(用含的式子表示)
【答案】
【分析】各式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：；
=2※（2m-3）=2（2m-3）-（2+2m-3）=2m-5，
故答案为： 2m-5
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．“”定义新运算：对于任意的有理数a和b，都有．例如：．当m为有理数时，则等于________．
【答案】101
【分析】根据“”的定义进行运算即可求解．
【解答】解：=== =101．
故答案为：101．
【点评】本题考查了新定义运算，理解新定义的法则是解题关键．
27．定义一种新运算“”规则如下：对于两个有理数，，，若，则______
【答案】
【分析】根据给定新运算的运算法则可以得到关于x的方程，解方程即可得到解答．
【解答】解：由题意得：（5x-x）⊙(−2)=−1，
∴-2（5x-x）-（-2）=-1，∴-8x+2=-1，解之得：，
故答案为．　
【点评】本题考查新定义下的实数运算，通过阅读题目材料找出有关定义和运算法则并应用于新问题的解决是解题关键 ．　　　
28．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，故__________；按照这个规定，方程的解为__________．
【答案】5 或
【分析】按照规定符号可求得5；根据与的大小关系化简所求方程，求出解即可．
【解答】5；
故答案为：5；
当，即时，方程化简得：，
去分母得：，
整理得：，即
解得：，
经检验：是分式方程的解；
当，即时，方程化简得：，
去分母得：，
整理得：，
解得：(不合题意，舍去)或，
经检验：是分式方程的解；
故答案为：或．
【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．弄清题中的新定义是解本题的关键．
29．x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a < b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如函数y=－x+5，当2≤x≤3时，2≤y≤3，所以y=－x+5是2≤x≤3上的闭函数，已知二次函数y = x2 + 6x + m是t≤x≤ - 3上的闭函数，则m的值是_________．
【答案】
【分析】先求得二次函数的对称轴为，，根据二次函数的性质可知在区间上y随x的增大而减小，然后将和分别代入二次函数的解析式，得到方程组，从而可求得m的值；
【解答】∵，，
∴二次函数在区间上y随x的增大而减小．
∵二次函数是区间上的“闭函数”，
∴当时，；当时，．
∴，
解得：或，
∵，
∴，舍去，
∴，
故答案为：．
【点评】本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，关键是理解闭函数的定义并利用闭函数的定义得出方程组．
30．定义一种新的运算：，如：，则______.
【答案】
【解析】【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果.
【解答】利用题中的新定义：


故答案为：
【点评】本题为考查有理数的运算的变式题型，正确理解新定义计算以及熟练掌握有理数运算法则是解答本题的关键.

三、解答题
31．定义：若，则称与b是关于1的平衡数．
（1）直接填写：①5与_________是关于1的平衡数；
②与_________是关于1的平衡数（用含的代数式表示）；
③y与_________是关于1的平衡数（用含y的代数式表示）；
④z与z是关于1的平衡数，则__________．
（2）若，，先化简，再判断与b是否是关于1的平衡数．
【答案】（1）①；②；③；④1；（2），，是关于1的平衡数．
【分析】（1）根据平衡数的定义求解即可.
（2）先对a、b化简，再判断是否等于2即可.
【解答】解：（1）①∵5+（-3）=2，
∴5与-3是关于1的平衡数，
故答案为-3；
②由题得：，
故答案为；
③，
故答案为；
④，
，
，
故答案为1；
（2）化简

因为，所以是关于1的平衡数．
【点评】本题主要考查整式的加减，理解题目中所给平衡数的定义是解题的关键.
32．设用符号＜a，b＞表示a，b两数中较小的数，用[a，b]表示a，b两数中较大的数．试求下列各式的值．
（1）＜﹣5，﹣0.5＞+[﹣4，2]；
（2）＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]．
【答案】（1）﹣3；（2）﹣1．
【分析】（1）首先比较出-5与-0.5，以及-4与2的大小关系，求出＜-5，-0.5＞、[-4，2]的值各是多少；然后把它们相加即可．
（2）比较出1与3，以及-2与7的大小关系，求出＜1，3＞、＜-2，7＞的值各是多少，进而求出＜1，3＞+[-5，＜-2，7＞]的值是多少即可．
【解答】（1）＜﹣5，﹣0.5＞+[﹣4，2]
=﹣5+2
=﹣3；
（2）＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]
=1+[﹣5，﹣2]
=1+（﹣2）
=﹣1．
【点评】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
33．若，是有理数，定义一种运算“”：，
（1）计算的值；
（2）计算的值；
（3）定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【答案】（1）-7；（2）22；（3）定义的新运算“”对交换律成立，过程见解析
【分析】（1）按照给定的运算程序，列出算式，然后根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）先按新定义运算，先计算、再将所得结果-3与-3按照给定的计算规定运算可得；
（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，
（2）由题意得．
；
（3）由题意得，

所以，即定义的新运算“”对交换律成立．
【点评】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．
34．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用来表示．例如：，当时，多项式的值用来表示．例如时，多项式的值记为．
（1）已知，求的值；
（2）已知，当．求a的值；
（3）已知（其中a，b为常数），若，求的值．
【答案】（1）f（-2）=-1；（2）a=﹣12；（3）
【分析】（1）把x=-2代入f（x）=-2x2-3x+1中进行计算；
（2）把x=代入f（x），使其值为0，计算即可求出a的值；
（3）现根据得到代数式，再求的值即可．
【解答】解：（1）把x=-2代入得：f（-2）=-8+6+1=-1；即f（-2）=-1；

（2）∵
∴=0
a+2×－a-5=0，
解得：a=﹣12；
（3）∵
∴
∴
∴
又
∴．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
35．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A，B的三分点．
例如：A（﹣1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x＝＝2，y＝＝4时，则点T（2，4）是点A，B的三分点．

（1）已知点C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点．
（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点．
①试确定y与x的关系式．
②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．
③若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①y＝2x﹣1；②点B的坐标（，6）或（﹣，）；③﹣3≤t≤1
【分析】（1）由“三分点”的定义可求解；
（2）①由“三分点”定义可得：，消去t即可求解；
②先求出点M，点N的坐标，分两种情况：MN为一边或MN为对角线，利用平行四边形的性质可求解；
（3）利用特殊位置，分别求出AT过点M和过点N时，t的值，即可求解．
【解答】（1）∵，，
∴点D（1，2）是点C，点E的三分点；
（2）①∵点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点，
∴，
∴y＝2x﹣1；
②∵y＝2x﹣1图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，
∴点M（0，﹣1），点N（0，3），
当四边形MTBN是平行四边形时，
∴BT∥MN，
∵B（t，2t+3），T（，），
∴t＝，
∴t＝，
∴点B的坐标（，6）；
当四边形MTNB是平行四边形时，
设BT与MN交于点P，则点P为BT与MN的中点，
∴点P（0，1），
∵B（t，2t+3），T（，），
∴t+＝0，
∴t＝﹣，
∴点B（﹣，），
综上所述：点B的坐标为（，6）或（﹣，）；
（3）当直线AT过点M时，
∵点A（3，0），点M（0，﹣1），
∴直线AM解析式为y＝x﹣1，
∵点T是直线AM上，
∴＝×﹣1
∴t＝﹣3，
当直线AT过点N时，
∵点A（3，0），点M（0，3），
∴直线AN解析式为y＝﹣x+3，
∵点T是直线AN上，
∴＝﹣+3，
∴t＝1，
∵直线AT与线段MN有交点，
∴﹣3≤t≤1．
【点评】本题新定义考题，题目中给出一个新的概念，严格利用新的概念进行求解；但是，新定义问题实质上是课程内知识点的综合应用，比如本题考查了消元法，平行四边形的性质和一次函数，本类题目一定要注意分类讨论，利用合适条件确定边界条件是解题的关键．
36．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的联点．例如：，，当点满足，时，则是点，的3联点．
（1）已知点是点，的2联点，求点坐标；
（2）已知点是点和点的联点，求和的值；
（3）如图，点，若点是直线上任意一点，点是点的3联点，直线交轴于点．

①直接写出点的坐标_________；
②当为直角三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）点C坐标为(，)；（2）k=3，n=0；（3）① (，0)；②E (，6)或E (6，15)，具体过程见解析．
【分析】（1）根据题意中k联点的定义，将A、B坐标及k=2代入公式，即可求出点C的坐标；
（2）已知M、N点的横坐标即k联点P的横坐标，可求出k的值，再通过k联点P的纵坐标以及M点的纵坐标，可求出N点纵坐标n；
（3）①根据3联点定义，D(3,0)，E(t,2t+3)，可得点T的坐标，再解得直线ET的解析式，将y=0代入直线ET解析式，即可求得H点的横坐标，即H点坐标可求得；②要使为直角三角形，有三种情况：第一种情况：∠DHT=90°，此时THx轴；第二种情况：∠TDH=90°，此时TDx轴；第三种情况：∠DTH=90°，此时TDTH，分类讨论分别求出T点坐标再反推E点坐标即可．
【解答】解：（1）由题意可知，点C为点A、B的2联点，A(-1,5)，B(10,4)，即应满足：
点C的横坐标，
点C的纵坐标，
即点C坐标为(，92)；
（2）∵P(，53)是点M(1，5)和N(3，n)的k联点，
∴点P的横坐标，解得k=3，
故P(，)是点M(1，5)和N(3，n)的3联点，
∴点P的纵坐标，解得n=0，
综上所述，k=3，n=0；
（3）①根据3联点定义，D(3,0)，E(t,2t+3)，可得点T的坐标，
点T的横坐标，
点T的纵坐标，
∴点T的坐标为(，)，
设直线ET的解析式为y=kx+b，
，解得：，
即直线ET解析式为：，
又∵点H是直线ET与x轴交点，
∴将y=0代入直线ET解析式，解得：x=，
∴点H的坐标为(，0)；
②由①可知点H的坐标为(，0)，且D(3,0)，T (，)，要使为直角三角形，有三种情况：
第一种情况：∠DHT=90°，此时THx轴，故T点横坐标与H点横坐标相同，均为，此时t=，故点E坐标为(，6)；
第二种情况：∠TDH=90°，此时TDx轴，故T点横坐标与D点横坐标相同，均为3，此时t=6，故点E坐标为(6，15)；
第三种情况：∠DTH=90°，此时TDTH，即以DH为直径d=，DH中点(，0)为圆心画一个圆，T点在圆上（直径所对圆周角为直角），且点T的坐标为(，)，可知点T在直线y=2x-1上，
圆心到点T所在直线的距离为：，说明圆心到直线距离大于该圆的半径，直线与圆无交点，该方程无解，故舍去该情况，
∴综上所述，E (，6)或E (6，15)．
【点评】本题主要考察了一次函数的实际应用、点坐标的规律探索、圆与直线的位置关系，解题的关键在于掌握题中已给的新概念，并学会分类讨论．
37．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩积”，给出如下定义：“横底”a：任意两点横坐标差的最大值；“纵高”h：任意两点纵坐标差的最大值；则“矩积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，2），C（﹣1，﹣3），则“横底”a＝3，“纵高”h＝5，“矩积”S＝ah＝15．已知点D（﹣2，3），E（1，﹣1）．
（1）若点F在x轴上．
①当D，E，F三点的“矩积”为24，则点F的坐标为　 　；
②直接写出D，E，F三点的“矩积”的最小值为　 　；
（2）若点F在直线y＝mx+4上，使得D，E，F三点的“矩积”取到最小值，直接写出m的取值范围是　 　．

【答案】（1）①(﹣5，0)或(4，0)；②12；（2）或
【分析】（1）①已知F在x轴上，故“纵高”=4，根据“矩积”的定义，可知“横底”=6，应分三种情况进行分类讨论，当a＜-2时、当-2≤a≤1时、当a＞1时；
②将F点的横坐标仍按照三类情况进行讨论，根据“矩积”的定义可求解；
（2）使直线过点D(-2，3)或点H(1，3)，求出该特殊位置时m的值，即可求解．
【解答】解：（1）设点F坐标为(a，0)，
①∵D，E，F三点的“矩积”为24，“纵高”＝4，
∴“横底”＝6，
当a＜-2时，则“横底”=1-a＝6，
∴a＝-5；
当-2≤a≤1时，则“横底”=3≠6，不合题意舍去；
当a＞1时，则“横底”=a-（-2）＝6；
∴a＝4，
∴点F(﹣5，0)或(4，0)，
故答案为：(﹣5，0)或(4，0)；
②当a＜-2时，则1-a＞3，
∴S＝4（1-a）＞12，
当﹣2≤a≤1时，S＝34＝12，
当a＞1时，则a-（-2）＞3，
∴S＝4[a-（-2）]＞12，
∴D，E，F三点的“矩积”的最小值为12，
故答案为：12；
（2）由（1）可知：设点F（a，0），当﹣2≤a≤1时，D，E，F三点的“矩积”能取到最小值，如图下图所示，直线y=mx+4恒过点(0,4)，使该直线过点D(-2，3)或点H(1，3)，当F在点D或点H时，D，E，F三点的“矩积”的最小值为12，

当直线y＝mx+4过点D(-2，3)时，
∴3＝-2m+4，
∴解得：，
当直线y＝mx+4过点H(1，3)时，
∴3＝m+4，
∴m＝-1，
∴当m≥或m≤-1时，D，E，F三点的“矩积”能取到最小值．
【点评】本题主要考察了一次函数的几何应用，提出了“矩积”这个全新的概念，解题的关键在于通过题目的描述，知道“矩积”的定义，同时要注意分类讨论．
38．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．

（1）如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“准筝形”；
（2）如图2，在“准筝形”中，，，，，求的长；
（3）如图3，在中，，，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或
【分析】（1）由四边形内角和定理求出∠B=60°，由AB=BC，即可得出结论；
（2）以CD为边作等边，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，证 （SAS），得AC=BE，求出∠CEF=30°，由直角三角形的性质得出CF= 由勾股定理求出EF= 再由勾股定理即可得出答案；
（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH=x，求出∠BCH=30°，由直角三角形的性质得出HC= ，BC=2BH=2x，证是等腰直角三角形，则HA=HC， ，解得，进而得出AC的长，分三种情况，①当AB=AD= ∠BAD=60°时，②当BC=CD= ∠BCD=60°时， ③当AD=CD=AC=，∠ADC=60°时，分别求解即可．
【解答】解：（1）在四边形中，
∵，
∴
∵
∴四边形是“准筝形”
（2）如图，以为边作等边，连结
过点E作EF⊥BC于F， 则DE=DC=CE=3，∠CDE=∠DCE=60°，
∵AB=AD，∠BAD=∠BCD=60°，
∴是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD，
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，
即∠ADC=∠BDE，
在和中，
，
∴（SAS），
∴AC=BE，
∵∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ECF=180°-60°-60°=60°，
∵∠EFC=90°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE=
由勾股定理得：
BF=BC+CF=
在Rt中，由勾股定理得：

∴AC=

（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，如图所示： 设BH=x，

∵∠ABC=120°，CH是的高线，
∴∠BCH=30°，
∴HC=，BC=2BH=2x，
又∵∠A=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴HA=HC，
∵AB=
∴ 解得：
∴HC=，BC=
∴AC=
①当AB=AD= ∠BAD=60°时，
连接BD，过点C作CG⊥BD，交BD延长线于点G，过点A作AK⊥BD，如图所示：

则BD= ∠ABD=60°，BK=AB=
∵∠ABC=120°， ∴∠CBG=60°=∠CBH，
在和中，
，
∴（AAS），
∴GC=HC=3，
在Rt中，由勾股定理得：

∴

∴
②当BC=CD= ∠BCD=60°时，
连接BD，作CG⊥BD于点G，AK⊥BD于K，

如图所示： 则BD=，CG=
AK= ，
∴

∴
③当AD=CD=AC=，∠ADC=60°时， 作DM⊥AC于M，如图所示：

则DM=
∴

∴
综上所述，四边形ABCD的面积为或或．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了“准筝形”的判定与性质、四边形内角和定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的应用、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握准筝形的判定与性质是解题的关键．
39．定义一种新运算：观察下列各式：
；；；
（1）请你算一算：_____；
（2）请你想一想：_____；
（3）若，请计算的值．
【答案】（1）-21；（2）5a+b；（3）10
【分析】（1）根据题意列出算式，根据有理数的混合运算法则计算；
（2）根据题意列出代数式；
（3）根据得到5a-b=5，再将化简变形，最后代入计算．
【解答】解：（1）（-3）×5-6=-21，
故答案为：-21；
（2）由题干以及（1）可猜想：
5a+b，
故答案为：5a+b；
（3）∵，
∴5a-b=5，
∴
=5a-5b+5a+3b
=2（5a-b）
=10
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，掌握它们的运算法则是解题的关键．
40．定义一种新运算：．例如：．
（1）求的值；
（2）已知，算式“”的最终结果是1，“●”部分的值和相等，且，求锐角的值．
【答案】（1）-5；（2）45°
【分析】（1）根据已知的式子计算即可；
（2）根据已知条件列出式子，再根据计算即可；
【解答】解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了新定义运算，结合三角函数的知识点计算是关键．