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初中数学中考复习 专题55图形的相似（3）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（原卷版）
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这是一份初中数学中考复习 专题55图形的相似（3）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（原卷版），共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2020·浙江绍兴?中考真题）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cmB．10cmC．8cmD．3.2cm
2．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）
A．9B．12C．15D．18
3．（2020·浙江嘉兴?中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣2，﹣1）
4．（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A．B．2C．4D．
5．（2020·四川成都?中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．
6．（2020·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A．B．5C．D．10
7．（2020·贵州铜仁?中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③C．①②D．②③
8．（2020·贵州铜仁?中考真题）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ）
A．3B．2C．4D．5
9．（2020·四川遂宁?中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2020·四川遂宁?中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE＝AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
11．（2020·黑龙江绥化?中考真题）如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2020·四川泸州?中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2020·浙江温州?中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14B．15
C．D．
15．（2020·江苏无锡?中考真题）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④B．②④C．①③D．②③
二、填空题
16．（2020·贵州黔东南?中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝_____．
17．（2020·浙江温州?中考真题）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为_______米，BC为_______米．
18．（2020·浙江杭州?中考真题）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝_____，BE＝_____．
19．（2020·浙江中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____．
20．（2020·山东济宁?中考真题）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．
21．（2020·四川乐山?中考真题）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．
22．（2020·山东德州?中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．
23．（2020·江苏无锡?中考真题）二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为__________．
24．（2020·四川自贡?中考真题）如图，在矩形中，是上的一点，连接,将△进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点;若,则图中阴影部分的面积为 ____ ．
25．（2020·江苏苏州?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________．
26．（2020·江苏苏州?中考真题）如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则_________．
27．（2020·黑龙江绥化?中考真题）在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是________．
28．（2020·山东临沂?中考真题）如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则___________．
29．（2020·四川广元?中考真题）如图，内接于于点H，若，的半径为7，则______．
30．（2020·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_____．
31．（2020·浙江中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是_____．
32．（2020·四川攀枝花?中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（请填上所有正确结论的序号）
33．（2020·山东德州?中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的处，再将绕点E顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点F．交AB于点G，连接有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④．上述结论中，所有正确的序号是________．
34．（2020·四川成都?中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
35．（2020·四川泸州?中考真题）如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________．
36．（2020·四川广元?中考真题）如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的________________．（填序号）
① ② ③为等边三角形 ④ ⑤CM平分
37．（2020·江苏无锡?中考真题）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________．
三、解答题
38．（2020·四川广元?中考真题）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
39．（2020·四川广元?中考真题）在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为的切线；
（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若，求的值．
40．（2020·湖南株洲?中考真题）如图所示，二次函数的图像（记为抛物线）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为，，且．
（1）若，，且过点，求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程的判别式．求证：当时，二次函数的图像与x轴没有交点．
（3）若，点P的坐标为，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线交于点D，若，求的最小值．
41．（2020·山东临沂?中考真题）已知的半径为，的半径为，以为圆心，以的长为半径画弧，再以线段的中点P为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点A，连接，，交于点B，过点B作的平行线交于点C．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求阴影部分的面积．
42．（2020·安徽中考真题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．
43．（2020·四川成都?中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
44．（2020·四川南充?中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM=BN；
（2）请判断△OMN的形状，并说明理由；
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK长．
45．（2020·四川甘孜?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2020·黑龙江绥化?中考真题）如图，在正方形中，，点G在边上，连接，作于点E，于点F，连接、，设，，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点G从点B沿边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边围成的图形的面积．
47．（2020·黑龙江绥化?中考真题）如图1，抛物线与抛物线相交y轴于点C，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且．
（1）求抛物线的解析式与k的值；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与相似，求出的长；
（3）如图2，过抛物线上的动点G作轴于点H，交直线于点Q，若点是点Q关于直线的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
48．（2020·四川自贡?中考真题）如图，⊙是△的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且，连接交于点，延长交⊙于点．
⑴.证明：=；
⑵.若，证明：是⊙的切线；
⑶.在⑵的条件下，连接交⊙于点,连接;若，求的长．
49．（2020·江苏连云港?中考真题）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．
（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点的坐标；
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．
50．（2020·山东德州?中考真题）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明的判定定理是：__________________________________________；
（2）AD的取值范围是________________________；
方法运用：
（3）如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：．
（4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：．
51．（2020·四川遂宁?中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
52．（2020·山东聊城?中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．
（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
53．（2020·浙江衢州?中考真题）（性质探究）
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF=2OG．
（迁移应用）
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
（拓展延伸）
（4）若DF交射线AB于点F，（性质探究）中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．
54．（2020·浙江温州?中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知，当Q为BF中点时，．
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由；
（2）求DE，BF的长；
（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系；②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．
55．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
56．（2020·贵州黔西?中考真题）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
57．（2020·贵州铜仁?中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，＝，求CD的长．
58．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
59．（2020·浙江杭州?中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
60．（2020·浙江杭州?中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
61．（2020·浙江宁波?中考真题）（基础巩固）
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
（尝试应用）
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
（拓展提高）
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
62．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是_________．
63．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，连接．若，，求的长度．
64．（2020·浙江衢州?中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD=∠CBA．
（2）求OE的长．
65．（2020·湖南中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．
66．（2020·山东济宁?中考真题）如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．
(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．
67．（2020·四川乐山?中考真题）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．
68．（2020·山东枣庄?中考真题）如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．
（1）求证：BF是的切线；
（2）若的直径为4，，求．
69．（2020·山东聊城?中考真题）如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．
（1）试证明是的切线；
（2）若的半径为5，，求此时的长．
70．（2020·四川攀枝花?中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：．
71．（2020·山东德州?中考真题）如图，点C在以AB为直径的上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD，过点D作交CB的延长线于点H．
（1）求证：直线DH是的切线；
（2）若，，求AD，BH的长．
72．（2020·江苏无锡?中考真题）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
73．（2020·四川达州?中考真题）如图，在梯形中，，，，．P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过点P作交射线于点E．
聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变的长度，运动点P，得到不同位置时，、的长度的对应值：
当时，得表1：
当时，得表2：
这说明，点P在线段上运动时，要保证点E总在线段上，的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，_____的长度为自变量，_____的长度为因变量；
②设，当点P在线段上运动时，点E总在线段上，求m的取值范围．
74．（2020·山东泰安?中考真题）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若，求的长．
75．（2020·江苏苏州?中考真题）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．
76．（2020·江苏苏州?中考真题）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
77．（2020·黑龙江绥化?中考真题）如图，内接于，是直径，，与相交于点E，过点E作，垂足为F，过点O作，垂足为H，连接、．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，求的值．
78．（2020·四川甘孜?中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：；
（2）若，，求CD的长．
79．（2020·四川甘孜?中考真题）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由：
（3）若，求的值．
80．（2020·四川成都?中考真题）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．
81．（2020·山东聊城?中考真题）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
82．（2020·山东聊城?中考真题）如图，在ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
83．（2020·湖南株洲?中考真题）AB是的直径，点C是上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足．
（1）如图①，求证：直线MN是的切线；
（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作于点H，直线DH交于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且，若的半径为1，，求的值．
84．（2020·北京中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
85．（2020·四川广元?中考真题）已知，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：；
（2）若，的面积为2，求的面积．
86．（2020·贵州铜仁?中考真题）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
87．（2020·浙江杭州?中考真题）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．
（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．
（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，
①求证：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC的度数．
88．（2020·浙江宁波?中考真题）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
89．（2020·浙江台州?中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF，
（1）求证：△BEF是直角三角形；
（2）求证：△BEF∽△BCA；
（3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．
90．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一动点（点与点、不重合），连接，作交射线于点，过点作分别交，于点、，作射线交射线于点
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
91．（2020·浙江中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
(1)如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
(2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
92．（2020·浙江中考真题）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．
93．（2020·湖南中考真题）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
94．（2020·浙江金华?中考真题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
95．（2020·浙江金华?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F， 已知OB=8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
96．（2020·山东枣庄?中考真题）在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求DN的长．
…
1
2
3
4
5
…
…
0.83
1.33
1.50
1.33
0.83
…
…
1
2
3
4
5
6
7
…
…
1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17
…
一、单选题
1．（2020·浙江绍兴?中考真题）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cmB．10cmC．8cmD．3.2cm
2．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）
A．9B．12C．15D．18
3．（2020·浙江嘉兴?中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣2，﹣1）
4．（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A．B．2C．4D．
5．（2020·四川成都?中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．
6．（2020·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A．B．5C．D．10
7．（2020·贵州铜仁?中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③C．①②D．②③
8．（2020·贵州铜仁?中考真题）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ）
A．3B．2C．4D．5
9．（2020·四川遂宁?中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2020·四川遂宁?中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE＝AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
11．（2020·黑龙江绥化?中考真题）如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2020·四川泸州?中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2020·浙江温州?中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14B．15
C．D．
15．（2020·江苏无锡?中考真题）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④B．②④C．①③D．②③
二、填空题
16．（2020·贵州黔东南?中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝_____．
17．（2020·浙江温州?中考真题）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为_______米，BC为_______米．
18．（2020·浙江杭州?中考真题）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝_____，BE＝_____．
19．（2020·浙江中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____．
20．（2020·山东济宁?中考真题）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．
21．（2020·四川乐山?中考真题）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．
22．（2020·山东德州?中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．
23．（2020·江苏无锡?中考真题）二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为__________．
24．（2020·四川自贡?中考真题）如图，在矩形中，是上的一点，连接,将△进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点;若,则图中阴影部分的面积为 ____ ．
25．（2020·江苏苏州?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________．
26．（2020·江苏苏州?中考真题）如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则_________．
27．（2020·黑龙江绥化?中考真题）在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是________．
28．（2020·山东临沂?中考真题）如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则___________．
29．（2020·四川广元?中考真题）如图，内接于于点H，若，的半径为7，则______．
30．（2020·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_____．
31．（2020·浙江中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是_____．
32．（2020·四川攀枝花?中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（请填上所有正确结论的序号）
33．（2020·山东德州?中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的处，再将绕点E顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点F．交AB于点G，连接有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④．上述结论中，所有正确的序号是________．
34．（2020·四川成都?中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
35．（2020·四川泸州?中考真题）如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________．
36．（2020·四川广元?中考真题）如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的________________．（填序号）
① ② ③为等边三角形 ④ ⑤CM平分
37．（2020·江苏无锡?中考真题）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________．
三、解答题
38．（2020·四川广元?中考真题）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
39．（2020·四川广元?中考真题）在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为的切线；
（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若，求的值．
40．（2020·湖南株洲?中考真题）如图所示，二次函数的图像（记为抛物线）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为，，且．
（1）若，，且过点，求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程的判别式．求证：当时，二次函数的图像与x轴没有交点．
（3）若，点P的坐标为，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线交于点D，若，求的最小值．
41．（2020·山东临沂?中考真题）已知的半径为，的半径为，以为圆心，以的长为半径画弧，再以线段的中点P为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点A，连接，，交于点B，过点B作的平行线交于点C．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求阴影部分的面积．
42．（2020·安徽中考真题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．
43．（2020·四川成都?中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
44．（2020·四川南充?中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM=BN；
（2）请判断△OMN的形状，并说明理由；
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK长．
45．（2020·四川甘孜?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2020·黑龙江绥化?中考真题）如图，在正方形中，，点G在边上，连接，作于点E，于点F，连接、，设，，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点G从点B沿边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边围成的图形的面积．
47．（2020·黑龙江绥化?中考真题）如图1，抛物线与抛物线相交y轴于点C，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且．
（1）求抛物线的解析式与k的值；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与相似，求出的长；
（3）如图2，过抛物线上的动点G作轴于点H，交直线于点Q，若点是点Q关于直线的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
48．（2020·四川自贡?中考真题）如图，⊙是△的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且，连接交于点，延长交⊙于点．
⑴.证明：=；
⑵.若，证明：是⊙的切线；
⑶.在⑵的条件下，连接交⊙于点,连接;若，求的长．
49．（2020·江苏连云港?中考真题）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．
（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点的坐标；
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．
50．（2020·山东德州?中考真题）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明的判定定理是：__________________________________________；
（2）AD的取值范围是________________________；
方法运用：
（3）如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：．
（4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：．
51．（2020·四川遂宁?中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
52．（2020·山东聊城?中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．
（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
53．（2020·浙江衢州?中考真题）（性质探究）
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF=2OG．
（迁移应用）
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
（拓展延伸）
（4）若DF交射线AB于点F，（性质探究）中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．
54．（2020·浙江温州?中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知，当Q为BF中点时，．
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由；
（2）求DE，BF的长；
（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系；②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．
55．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
56．（2020·贵州黔西?中考真题）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
57．（2020·贵州铜仁?中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，＝，求CD的长．
58．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
59．（2020·浙江杭州?中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
60．（2020·浙江杭州?中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
61．（2020·浙江宁波?中考真题）（基础巩固）
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
（尝试应用）
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
（拓展提高）
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
62．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是_________．
63．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，连接．若，，求的长度．
64．（2020·浙江衢州?中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD=∠CBA．
（2）求OE的长．
65．（2020·湖南中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．
66．（2020·山东济宁?中考真题）如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．
(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．
67．（2020·四川乐山?中考真题）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．
68．（2020·山东枣庄?中考真题）如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．
（1）求证：BF是的切线；
（2）若的直径为4，，求．
69．（2020·山东聊城?中考真题）如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．
（1）试证明是的切线；
（2）若的半径为5，，求此时的长．
70．（2020·四川攀枝花?中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：．
71．（2020·山东德州?中考真题）如图，点C在以AB为直径的上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD，过点D作交CB的延长线于点H．
（1）求证：直线DH是的切线；
（2）若，，求AD，BH的长．
72．（2020·江苏无锡?中考真题）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
73．（2020·四川达州?中考真题）如图，在梯形中，，，，．P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过点P作交射线于点E．
聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变的长度，运动点P，得到不同位置时，、的长度的对应值：
当时，得表1：
当时，得表2：
这说明，点P在线段上运动时，要保证点E总在线段上，的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，_____的长度为自变量，_____的长度为因变量；
②设，当点P在线段上运动时，点E总在线段上，求m的取值范围．
74．（2020·山东泰安?中考真题）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若，求的长．
75．（2020·江苏苏州?中考真题）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．
76．（2020·江苏苏州?中考真题）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
77．（2020·黑龙江绥化?中考真题）如图，内接于，是直径，，与相交于点E，过点E作，垂足为F，过点O作，垂足为H，连接、．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，求的值．
78．（2020·四川甘孜?中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：；
（2）若，，求CD的长．
79．（2020·四川甘孜?中考真题）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由：
（3）若，求的值．
80．（2020·四川成都?中考真题）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．
81．（2020·山东聊城?中考真题）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
82．（2020·山东聊城?中考真题）如图，在ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
83．（2020·湖南株洲?中考真题）AB是的直径，点C是上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足．
（1）如图①，求证：直线MN是的切线；
（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作于点H，直线DH交于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且，若的半径为1，，求的值．
84．（2020·北京中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
85．（2020·四川广元?中考真题）已知，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：；
（2）若，的面积为2，求的面积．
86．（2020·贵州铜仁?中考真题）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
87．（2020·浙江杭州?中考真题）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．
（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．
（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，
①求证：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC的度数．
88．（2020·浙江宁波?中考真题）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
89．（2020·浙江台州?中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF，
（1）求证：△BEF是直角三角形；
（2）求证：△BEF∽△BCA；
（3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．
90．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一动点（点与点、不重合），连接，作交射线于点，过点作分别交，于点、，作射线交射线于点
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
91．（2020·浙江中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
(1)如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
(2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
92．（2020·浙江中考真题）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．
93．（2020·湖南中考真题）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
94．（2020·浙江金华?中考真题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
95．（2020·浙江金华?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F， 已知OB=8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
96．（2020·山东枣庄?中考真题）在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求DN的长．
…
1
2
3
4
5
…
…
0.83
1.33
1.50
1.33
0.83
…
…
1
2
3
4
5
6
7
…
…
1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17
…
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