初中数学中考复习 专题58解直角三角形及其应用（1）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（原卷版）

这是一份初中数学中考复习 专题58解直角三角形及其应用（1）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（原卷版），共39页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题57解直角三角形及其应用（1）（全国一年）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2020·湖南长沙?中考真题）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
2．（2020·四川宜宾?中考真题）如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
3．（2020·广东广州?中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
4．（2020·吉林长春?中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2020·黑龙江穆棱?朝鲜族学校中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）

A． B． C． D．2
6．（2020·黑龙江穆棱?朝鲜族学校中考真题）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）

A．或 B．
C． D．或
7．（2020·广东深圳?中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）

A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米
8．（2020·湖北荆州?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（ ）


A． B． C． D．
9．（2020·山东威海?中考真题）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
10．（2020·重庆中考真题）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
11．（2020·内蒙古赤峰?中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）

A．15 B．18 C．20 D．22
12．（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（ ）

A．4 B． C．2 D．
13．（2020·辽宁大连?中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（ ）

A． B． C． D．
14．（2020·西藏中考真题）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
15．（2020·重庆中考真题）如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）

A． B．3 C． D．4


二、解答题
16．（2020·江苏扬州?中考真题）如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且．

（1）试判断AE与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
17．（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为，，求CD的高度结果保留根号

18．（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．
求证：DC为的切线；
线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，，求CF的长．

19．（2020·辽宁大连?中考真题）四边形内接于是的直径，．

（1）如图1，求证；
（2）过点D作的切线，交延长线于点P（如图2）．，求的长．
20．（2020·辽宁朝阳?中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）

21．（2020·辽宁铁岭?中考真题）在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接．


（1）如图1，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系；
（2）如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
（3）若，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．
22．（2020·辽宁铁岭?中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）
（参考数据）
23．（2020·江苏泰州?中考真题）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到，参考数据：，，，）

24．（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，交于点，且．

（1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径．
25．（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，小岛和都在码头的正北方向上，它们之间距离为，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头的正西方向处时，测得，渔船速度为，经过，渔船行驶到了处，测得，求渔船在处时距离码头有多远？（结果精确到）
（参考数据：，，，，，）

26．（2020·内蒙古呼伦贝尔?中考真题）两地间有一段笔直的高速铁路，长度为．某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从两地处测得点的方位角如图所示，．高速铁路是否会受到地震的影响．请通过计算说明理由．

27．（2020·内蒙古赤峰?中考真题）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为__________米（结果保留根号）．

28．（2020·内蒙古赤峰?中考真题）如图，巳知二次函数y =ax2+bx +c(a≠0)的图象与x轴交于A(1 ，0) ，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点.
（1）直接写出二次函数的解析式 ；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE // y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点.是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似?如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由.

29．（2020·江苏镇江?中考真题）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）

30．（2020·云南中考真题）如图，为⊙O的直径，为⊙O上一点，，垂足为，平分．

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求的长．
31．（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．

32．（2020·辽宁沈阳?中考真题）在中，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．
（1）如图，当时，
①求证：；
②求的度数：
（2）如图2，当时，请直接写出和的数量关系为__________；
（3）当时，若时，请直接写出点到的距离为__________．


33．（2020·四川凉山?中考真题）如图，的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，、、所对的边分别是a、b、c


（1）求证：
（2）若，，，利用（1）的结论求AB的长和的值
34．（2020·四川凉山?中考真题）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H．

（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若，，求半圆的直径．
35．（2020·云南昆明?中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM．请说明理由；
（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形时，求AP的长．

36．（2020·四川眉山?中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度．

37．（2020·江苏南通?中考真题）（了解概念）
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

（理解运用）
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
（拓展提升）
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
38．（2020·江苏南通?中考真题）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OA；
④连接AC．
若AC＝3，求⊙O的半径．

39．（2020·辽宁营口?中考真题）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73）

40．（2020·辽宁营口?中考真题）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．
41．（2020·山东烟台?中考真题）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象
男性（18～60岁）
女性（18～55岁）
抽样人数（人）
2000
5000
20000
2000
5000
20000
平均身高（厘米）
173
175
176
164
165
164

根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　 　厘米，女性应采用　 　厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）

0.1

78.7

0.2

84.3

1.7

5.7

3.5

11.3


42．（2020·吉林长春?中考真题）如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒．

（1）当点与点重合时，求的值．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）当为锐角三角形时，求的取值范围．
（4）如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．
43．（2020·贵州毕节?中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，与轴交于点，且经过点，连接，，作于点，将沿轴翻折，点的对应点为点．解答下列问题：

（1）抛物线的解析式为_______，顶点坐标为________；
（2）判断点是否在直线上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中沿着平移后，得到．若边在线段上，点在抛物线上，连接，求四边形的面积．
44．（2020·湖南郴州?中考真题）如图，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．

（1）如图，在旋转过程中，
①判断与是否全等，并说明理由；
②当时，与交于点，求的长．
（2）如图，延长交直线于点．
①求证：；
②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
45．（2020·广东深圳?中考真题）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2020·内蒙古中考真题）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东方向，然后他由B地向北偏东方向骑行了到达C地．

（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．
47．（2020·湖北中考真题）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，现有一架长为的梯子，当梯子底端离墙面时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：，）？

48．（2020·湖北黄石?中考真题）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度，已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是，底部C点的俯角是，求乙栋楼房的高度（结果保留根号）．

49．（2020·山东东营?中考真题）如图，处是一钻井平台，位于东营港口的北偏东方向上，与港口相距海里，一艘摩托艇从出发，自西向东航行至时，改变航向以每小时海里的速度沿方向行进，此时位于的北偏西方向，则从到达需要多少小时？

50．（2020·云南昆明?中考真题）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（1）数据6400000用科学记数法表示为　 　；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

51．（2020·内蒙古鄂尔多斯?中考真题）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）

52．（2020·西藏中考真题）如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF，卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角∠ACF＝60°，AC长7米．接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角∠B＝30°．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）．

53．（2020·江苏徐州?中考真题）小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场边的中点处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点处，爸爸到达点处，此时雕塑在小红的南偏东方向，爸爸在小红的北偏东方向，若小红到雕塑的距离，求小红与爸爸的距离．（结果精确到，参考数据：，，）

54．（2020·江苏盐城?中考真题）如图，在中，的平分线交于点．求的长？

55．（2020·陕西中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．

56．（2020·山西中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．

（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
57．（2020·四川宜宾?中考真题）如图，两楼地面距离BC为米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．
（1）求的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．

58．（2020·湖南娄底?中考真题）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面，从E点处测得D点俯角为30°，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部的长．（结果精确到，）．

59．（2020·湖北黄石?中考真题）如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交、于点E、F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）求证：．
60．（2020·内蒙古通辽?中考真题）从A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与楼的水平距离为，若，求这栋楼高．

61．（2020·湖南郴州?中考真题）年月日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射、当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．3秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知两处相距米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到米，参考数据：）

62．（2020·内蒙古呼和浩特?中考真题）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．

（1）直接写出的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
63．（2020·宁夏中考真题）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板与，若将三角板向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），与、分别交于点P、M，与交于点Q，其中，设三角板移动时间为x秒．

（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
64．（2020·湖南永州?中考真题）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）


（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
65．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图， 隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为．

（1）填空：__________度，_________度；
（2）求隧道的长度(结果精确到米)．(参考数据：)
66．（2020·湖南益阳?中考真题）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形，高米，斜坡的坡度，此处大堤的正上方有高压电线穿过，表示高压线上的点与堤面的最近距离（、、在同一直线上），在点处测得．
（1）求斜坡的坡角
（2）电力部门要求此处高压线离堤面的安全距离不低于米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：，，，）

67．（2020·吉林中考真题）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部相距的处，用高的测角仪测得该塔顶端的仰角为．求塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，）

68．（2020·广西中考真题）如图，在中，以为直径的交于点连接且连接并延长交的延长线于点与相切于点．

（1）求证：是的切线：
（2）连接交于点，求证：；
（3）若，求的值．
69．（2020·广西中考真题）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．

（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？
（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
70．（2020·山东威海?中考真题）居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为，底部的俯角为：又用绳子测得测角仪距地面的高度为．求该大棱的高度（结果精确到）（参考数据：，，）

71．（2020·甘肃金昌?中考真题）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
课题
测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
测量示意图

如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上．
测量数据
的度数
的度数
的长度
仪器（）的高度


5米
米


请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，）

72．（2020·山东淄博?中考真题）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

73．（2020·黑龙江大庆?中考真题）如图，，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点．从建筑物的顶点测得点的俯角为45°，从建筑物的顶点测得点的俯角为75°，测得建筑物的顶点的俯角为30°．若已知建筑物的高度为20米，求两建筑物顶点、之间的距离（结果精确到，参考数据：，）

74．（2020·黑龙江大庆?中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
75．（2020·湖北黄石?中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N．
（1）若此抛物线过点，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接，C为抛物线上一点，且位于线段的上方，过C作垂直x轴于点D，交于点E，若，求点C坐标；
（3）已知点，且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当时，求抛物线的解析式．

76．（2020·四川宜宾?中考真题）如图，已知二次函数图像的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图像上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图像于M，N两点
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当时等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和和点N，且与直线相切，若存在，求出点E的坐标，并求的半径；若不存在，说明理由．

77．（2020·山西中考真题）综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．
78．（2020·陕西中考真题）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是_____．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

79．（2020·江苏盐城?中考真题）木门常常需要雕刻美丽的图案．
（1）图①为某矩形木门示意图，其中长为厘米，长为厘米，阴影部分是边长为厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；

（2）如图，对于中的木门，当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．

80．（2020·江苏盐城?中考真题）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题．
（1）在中，，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）



























（2）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析；
设，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点；
连线；

观察思考
（3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当 时，最大；
（4）进一步C猜想：若中，，斜边为常数，），则 时，最大．
推理证明
（5）对（4）中的猜想进行证明．
问题1．在图中完善的描点过程，并依次连线；
问题2．补全观察思考中的两个猜想： _______ _______
问题3．证明上述中的猜想：
问题4．图中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点间的距离是厘米，厘米，平行光线从区域射入，线段为感光区城，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．


三、填空题
81．（2020·广西河池?中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是_____．

82．（2020·浙江杭州?中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____．

83．（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是_________．

84．（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，矩形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若，，则_________．

85．（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，在矩形中，，，连接，以为边，作矩形使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；…按照这个规律进行下去，则的面积为_________．

86．（2020·江苏南通?中考真题）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_____m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

87．（2020·辽宁营口?中考真题）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为_____．

88．（2020·湖南永州?中考真题）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是_________．

89．（2020·湖北荆州?中考真题）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的，其中，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了_______km．

90．（2020·广东深圳?中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=___．

91．（2020·内蒙古中考真题）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为E，连接．若，则如的值为_____．

92．（2020·湖北省直辖县级单位?中考真题）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．

93．（2020·江苏徐州?中考真题）如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于_______．