2023安徽省六校教育研究会高三下学期入学素质测试数学含解析

安徽省六校教育研究会2023年高三年级入学素质测试

数学试题卷

注意事项：

1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）

1．设复数，则在复平面内对应的点位于（     ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，，则有（     ）个真子集.

A．3 B．16 C．15 D．4

3．已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km．若此时远火点距离约为11945km，火星半径约为3395km，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（     ）

A．11680km    B．5840km   C．19000km D．9500km

5．如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为，，且，若该容器模型的体积为，则该容器模型的表面积为（       ）

A． B．

C． D．

6．在中，，，，则直线通过的（     ）

A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心

7．已知向量的夹角为60°的单位向量，若对任意的、，且，，则的取值范围是（      ）

A．       B．        C．         D．

8．已知直线与曲线相切，切点为P，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若的面积为，则点P的个数是（     ）

A．1             B．2            C．3                 D．4

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.请把正确答案涂在答题卡上）

9．以下四个命题中，真命题的有（   ）

A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；

B．回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；

C．对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大.

D．已知随机变量服从二项分布，若，则.

10．2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一

股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数                          的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当

时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（     ）

A．                                   B．

C．的图像关于原点对称           D．在区间上单调

11．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（     ）

A．异面直线与所成角的余弦值为

B．点为正方形内一点，当平面时，的最小值为

C．过点的平面截正方体所得的截面周长为

D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为

12．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（     ）

A．                          B．数列不是单调递增数列

C．若p为质数，则数列为等比数列       D．数列的前4项和等于

第Ⅱ卷  （非选择题  共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______．

14．曲线在点处的切线平分圆，则函数的零点为____.

15．已知函数，若，，则_________.

16．设抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为N，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，与相交于点，且，则点的纵坐标为______．

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）等差数列(n∈N*)中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数都不在下表的同一列.

（1）请选择一个可能的{，，}组合，并求数列的通项公式；

（2）记（1）中您选择的的前n项和为，判断是否存在正整数k，使得，，成等比数列．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

18．（本题满分12分）某游乐园内有一个池塘，其形状为直角，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏．

（1）若在内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长；

（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造连廊供游客观赏，如图②，使得为正三角形，求连廊长的最小值．

19．（本题满分12分）2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.

（1）假设该疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为%，设这位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；

（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：

方案一：将位居民分成组，每组人；

方案二：将位居民分成组，每组人；

试分析哪一个方案的工作量更少？

（参考数据：，）

20．（本题满分12分）图1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达的位置，且．

（1）求证：平面平面ABED．

（2）在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

21．（本题满分12分）已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线交于点.

（1）求的方程；

（2）设是与在第一象限的公共点，作直线与的两支分别交于点，便得.

（i）求证：直线过定点；

（ii）过作于.是否存在定点，使得为定值？如果有，请求出点的坐标；如果没有，请说明理由.

22．（本题满分12分）已知函数．

（1）当时，证明：在上为减函数．

（2）当时，，求实数的取值范围．