2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题14 基本不等式解析

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专题14 基本不等式第一部分 真题分类1．（2021·江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B2．（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．3．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．5．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．① B．② C．①② D．①②③【答案】C【解析】由得,,,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.6．（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD7．（2021·天津高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【解析】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.8．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：9．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．【答案】【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.10．（2019·天津高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.【答案】.【解析】由，得，得，等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．11．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【解析】（1），当且仅当时，即取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）又，∴当时，.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.12．（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca