2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题24 直线与圆锥曲线的位置关系解析

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专题24 直线与圆锥曲线的位置关系第一部分 真题分类1．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.2．（2021·全国高考真题（文））已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以， ，即四边形面积等于.故答案为：.3．（2021·江苏高考真题）已知椭圆的离心率为.（1）证明：；（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.①求直线的方程；②求椭圆的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.【解析】（1），，因此，；（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，当在椭圆的内部时，，可得.设点、，则，所以，，由已知可得，两式作差得，所以，所以，直线方程为，即.所以，直线的方程为；②联立，消去可得.，由韦达定理可得，，又，而，，，解得合乎题意，故，因此，椭圆的方程为.4．（2021·天津高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，，因此，椭圆的方程为；（2）设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，消去并整理得，，因此，椭圆在点处的切线方程为.在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，，因为，，故，，所以，直线的方程为，即.5．（2021·全国高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为；（2）由（1）得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；当直线的斜率存在时，设，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：设直线即，由直线与曲线相切可得，所以，联立可得，所以，所以，化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是．6．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【解析】因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为；（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，不妨直线的方程为，即，联立，消去并整理可得，设点、，则且.由韦达定理可得，，所以，，设直线的斜率为，同理可得，因为，即，整理可得，即，显然，故.因此，直线与直线的斜率之和为.7．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设点、、，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，，所以，，点到直线的距离为，所以，，，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.8．（2020·海南高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【答案】（1）；（2）18.【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以△AMN的面积的最大值：.9．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.【解析】（1）∵椭圆的方程为∴,由椭圆定义可得：.∴的周长为（2）设，根据题意可得.∵点在椭圆上，且在第一象限，∴∵准线方程为∴∴，当且仅当时取等号.∴的最小值为.（3）设，点到直线的距离为.∵，∴直线的方程为∵点到直线的距离为，∴∴∴①∵②∴联立①②解得，.∴或.第二部分 模拟训练一、单选题1．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，且，则（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】由得，所以，准线为，设直线，联立，消去并整理得，设，则，，所以，，因为，，，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C2．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，则(O为坐标原点)的面积为（    ）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为，设直线AB为，，，因为，可得，由，整理得，所以，又由，可得，解得或，当时，，可得；当时，，可得.故选：D.3．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由点在抛物线上得，设，由直线过定点得，解得（舍去），，所以．故选：C．4．已知点，．设点满足，且，，则的最大值为（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】解：因为，所以点在以，为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为．由题意知在圆上，在圆上，如图所示，，，则．当是延长线与圆的交点，是与圆的交点时取等号．故选：C．5．已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由双曲线的方程可得其渐近线方程为，故当点，分别在双曲线的左支和右支上时，直线的斜率的取值范围是.故选：A.6．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，的延长线交轴于点.若，，则抛物线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，作垂直于轴交轴于点，因为，，所以为线段的三等分点，且，由，得，即，所以，所以抛物线的方程为.故选：B. 二、填空题 7．过抛物线()的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于､两点，且，则___________.【答案】【解析】设抛物线的焦点坐标为，由条件可知，所以，又，所以，故答案为：.8．已知抛物线C：y2＝x，过C的焦点的直线与C交于A，B两点．弦AB长为2，则线段AB的中垂线与x轴交点的横坐标为__________．【答案】【解析】抛物线的焦点为，则可设直线为：，联立，消得，，设，,得，当时，得，所以中点坐标为，则AB的中垂线方程为，则与轴的交点的横坐标为；同理，当时，线段AB的中垂线与x轴交点的横坐标为.故答案为：9．已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与轴正半轴交于点，且线段交双曲线于点，，则双曲线的离心率是______．【答案】【解析】由题意知、，以点为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆的方程为．不妨设点在第一象限，联立，解得，即点，设点，，，可得，解得，根据点在双曲线上，得，得，所以，．因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.10．已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，中点为，记的斜率为，且满足.若、分别是轴、轴负半轴上的动点，且四边形的面积为2，则三角形面积的最大值是______.【答案】【解析】解：设，，中点，则有，，两式相减得，即，则，由为椭圆右顶点，所以，又，，得到，.设，，，，则由四边形的面积为2，又为上顶点，则，即，由基本不等式得，解不等式得，所以三角形的面积，当且仅当，即，时取等号.故答案为：