2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题07 三角恒等变换解析

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专题7 三角恒等变换第一部分 近3年高考真题一、选择题1．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故选：B．3．（2020·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【解析】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.5.已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B．C． D．【答案】B【解析】，．，又，，又，，故选B．6.已知函数，则（ ）A．的最小正周期为，最大值为B．的最小正周期为，最大值为C．的最小正周期为，最大值为D．的最小正周期为，最大值为【答案】B【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.7.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.二、填空题8．（2020·全国高考真题（文））若，则__________．【答案】【解析】.故答案为：.9．（2020·江苏高考真题）已知 =，则的值是____.【答案】【解析】故答案为：10．（2020·北京高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】（均可）【解析】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.11.已知，则的值是_____.【答案】.【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，12.函数的最小值为___________．【答案】.【解析】，，当时，，故函数的最小值为．三、解答题13．（2020·全国高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理可得，的面积；（2），，，.14.设常数，函数．（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解．【答案】(1);(2)或或.【解析】（1）∵，∴，∵为偶函数，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或15.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．16.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.17.在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.第二部分 模拟训练1．已知的内角，，成等差数列，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，，成等差数列，∴，又，∴，由得，，∴，则，故选：D．2．已知函数在内有且仅有1个最大值点和3个零点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，， ，则的取值范围是.故选：B.3．将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，因为函数是偶函数，．当时，．故选：A4．设的内角A，B，C满足，则函数图象的对称轴方程是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，.由，，得，.故选：C.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求角A；（2）若，，求△ABC的面积.【答案】（1）A；（2）.【解析】（1）在三角形ABC中，，由正弦定理得：，化为： ，三角形中，解得，，∴A.（2）由余弦定理得，，，，化为，所以三角形ABC的面积S46．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且直线为函数图象的一条对称轴.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），∴直线为函数图像的一条对称轴，∴()，即()，又，∴当时，.（2）∵，，∴由余弦定理得，，即，当且仅当b=c=4时等号成立∴，故面积的最大值为.7．在中，角的对边分别为，已知.（1）求边的长﹔（2）在边上取一点，使得，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】在中，因为，，，由余弦定理，得所以解得：或（舍）所以.（2）在中，由正弦定理，得.所以在中，因为，所以为钝角.而，所以为锐角故因为，所以，，8．已知函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）最小正周期，值域为；（2）.【解析】解：（1）∴的为最小正周期，值域为；（2）记，则，由恒成立，知恒成立，即恒成立，∵∴.∵在时单调递增∴k的取值范围是9．已知函数．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，求函数在得的值域．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ），因为，所以，即，所以，所以；（Ⅱ）图象上所有点横坐标变为原来的倍得到函数的图象，所以的解析式为，因为，所以，则，所以故在上的值域为.10．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数图象，求函数的单调增区间.【答案】（1）最小正周期；（2）单调增区间是.【解析】（1），所以函数的最小正周期为；（2）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再向左移动个单位得，由，解得.函数的单调增区间是.