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2023届新高考数学解析几何专题讲义 第1讲 椭圆的定义及其应用
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第1讲 椭圆的定义及其应用一、问题综述本讲梳理椭圆的定义及其应用．椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点．（一）椭圆的定义平面内到两个定点、的距离之和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（二）椭圆定义的应用主要有下面几方面的应用：1．求标准方程；2．焦点三角形中的计算问题；3．求离心率；4．求最值或范围．二、典例分析类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程【例1】 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹方程．【解析】以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．【方法小结】由已知可得，再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点．【例2】已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．【解析】如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆，的轨迹方程为：．【例3】已知圆及点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与相交于点，求点的轨迹方程。【解析】如图所示．∵是线段的垂直平分线，∴．∴，且10>6．∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，即，．∴点的轨迹方程为．【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【变式训练】1．已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足．点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，．求点的轨迹的方程．【解析】当时，点和点在轨迹上．当且时，由，得．由，得，又，所以，所以为线段的中点．连接，则为的中位线，所以，设点的坐标为，则．故点的轨迹的方程是．【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。类型二：焦点三角形中的计算问题【例1】已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦 点在BC边上，则的周长是（ ）A． B．6 C． D．12【答案】C【解析】由椭圆的定义知：，∴周长为（是椭圆的另外一个焦点）．【方法小结】（1）椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．（2）椭圆上的点必定适合椭圆的定义，即，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点有关的距离问题．【例2】 已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且 ．若的面积为9，则＝________．【答案】3 【解析】由题意知，，∴，∴，∴．∴，∴．∴．【方法小结】关键抓住点为椭圆上的一点，从而有，再利用，进而得解．椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求；通过整体代入可求其面积等．【变式训练】1．椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为（ ）A．4 B．2 C．8 D．【解析】如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A．2．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于、、…、七个点，是椭圆的一个焦点，则________.【答案】35【解析】设椭圆右焦点为，由椭圆的对称性知，，，，∴.类型三：利用椭圆的定义求离心率【例1】设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ． 【解析】设，则，由点在椭圆上，得，又，所以．【例2】己知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且经过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率为 ．【解析】设，，则，，在中，分别由余弦定理得，即，所以，即，代入（2）得，所以，故．【变式训练】1．如图所示，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 ． 【解析】设，则，，由点在椭圆上，得，又，所以．2．设是椭圆上任一点，，为焦点，，．求证：离心率；（2）求的最值．【解析】（1）由正弦定理得，由等比性质得，所以，所以．（2）设，，则，所以将代入上式，得，又，所以：当时，取得最小值；当或时，取得最大值．类型四：利用椭圆的定义求解最值问题【例1】以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决．【解析】如图所示，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为，直线的方程为．解方程组得交点的坐标为．此时最小．所求椭圆的长轴，∴，又，∴．因此，所求椭圆的方程为．【方法小结】解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小．【例2】（1）如果是以、为焦点的椭圆上任一点，若点到点与点的距离之差为，则的最大值是多少？（2）如果是以、为焦点的椭圆上任一点，若点到点与点的距离之和为，则的取值范围是多少？ 【解析】（1），延长与椭圆交于点，则当与重合时，取得最大、最小值．（2），，连结，由椭圆定义可得：，由，得，所以，当且仅当、、三点共线时，取得最大、最小值，如上图所示．故．【变式训练】1．已知为椭圆的上一点，求的最大值．【解析】由点在椭圆上，得，所以，当且仅当时，取得最大值（此时为椭圆的上顶点或下顶点）．类型五：利用定义构造椭圆解题【例1】（2017年浙江高考第15题）已知向量，满足||＝1，||＝2，则的最小值是 ，最大值是 ．【答案】4，【解法1】作，点在单位圆上，设点,，则，点在椭圆上，，显然，当且仅当点为椭圆的上下顶点等号成立；又，∴的最小值是4，最大值是．【解法2】作，，，则， ；；点B既在半径为2的圆上，又在焦距为2的椭圆上，且表示的长轴，当椭圆与圆相切时，短轴最长，此时长轴也是最长；∴的最小值是4，最大值是．【方法小结】两个解法都是通过构造椭圆，转化为定圆上的动点到两定点距离之和的最值问题．【例2】中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为 ．【解析】由条件可构造椭圆，其中，，，如图所示．因为，所以，所以，其中为边上的高．当取得最大值时，最大．显然，故．【方法小结】该法同样通过构造椭圆来解决问题．【变式训练】1．锐角中，，，求边上的中线的取值范围．【解析】由得，，故在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，椭圆方程为，又为锐角三角形，所以，的轨迹方程为，当为短轴顶点时，最短，此时；当坐标为时，，故．三、巩固练习1．（1）方程表示的曲线是 ，其标准方程是 。（2）方程表示的曲线是 ，其方程是 。（3）方程表示的曲线 。（4）方程表示的曲线是 ，其标准方程是 。2．已知椭圆上一点，到椭圆的一个焦点的距离为2，则点到另一个焦点的距离为（ ）A．1 B．2 C．4 D．63．已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）A．8 B．16 C．25 D．324．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为（ ）A． B． C． D．5．过点与圆相内切的圆的圆心的轨迹是（ ）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆6．已知椭圆的焦点坐标为，，并且经过点(2，1)，则椭圆的标准方程为 ．7．已知的周长是16，，B则动点的轨迹方程是（ ）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 ．9．已知、、是直线上的三点，且，切直线于点，又过、作异于的两切线，设这两切线交于点，求点的轨迹方程. 10．（2012广州二模）已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线有一个相同的焦点，直线与抛物线只有一个公共点．（1）求直线的方程；（2）若椭圆经过直线上的点，当椭圆的的离心率取得最大值时，求椭圆的方程及点的坐标．四、巩固练习参考答案1．【答案】（1）椭圆，；（2）线段，；（3）不存在；（4）椭圆，．2．【答案】D；【解析】由椭圆方程知．3．【答案】B．4．【答案】C．【解析】，设，则，在中，由余弦定理得，即，解得，故5．【答案】A．6．【答案】．7．【答案】B8．【答案】．9．【解析】设过、作异于的两切线分别切于、两点，两切线交于点．由切线的性质知：，，，故，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以所在的直线为轴，以的中点为原点，建立坐标系， 可求得动点的轨迹方程为：10．【解析】（1）解法1：由消去，得． ∵直线与抛物线只有一个公共 ∴，解得． ∴直线的方程为．解法2：设直线与抛物线的公共点坐标为，由，得， ∴直线的斜率．依题意得，解得．把代入抛物线的方程，得．∵点在直线上，∴，解得． ∴直线的方程为．（2）解法1：∵抛物线的焦点为，依题意知椭圆的两个焦点的坐标为．设点关于直线的对称点为， 则，解得 ∴点． ∴直线与直线的交点为． 由椭圆的定义及平面几何知识得： 椭圆的长轴长， 其中当点与点重合时，上面不等式取等号． ∴． ∴． 故当时，．此时椭圆的方程为，点的坐标为．解法2：∵抛物线的焦点为，依题意知椭圆的两个焦点的坐标为 ，设椭圆的方程为， 由消去，得．（*） 由， 得． 解得． ∴． ∴． 当时，，此时椭圆的方程为． 把代入方程（*），解得，． ∴点的坐标为．
第1讲 椭圆的定义及其应用一、问题综述本讲梳理椭圆的定义及其应用．椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点．（一）椭圆的定义平面内到两个定点、的距离之和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（二）椭圆定义的应用主要有下面几方面的应用：1．求标准方程；2．焦点三角形中的计算问题；3．求离心率；4．求最值或范围．二、典例分析类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程【例1】 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹方程．【解析】以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．【方法小结】由已知可得，再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点．【例2】已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．【解析】如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆，的轨迹方程为：．【例3】已知圆及点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与相交于点，求点的轨迹方程。【解析】如图所示．∵是线段的垂直平分线，∴．∴，且10>6．∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，即，．∴点的轨迹方程为．【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【变式训练】1．已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足．点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，．求点的轨迹的方程．【解析】当时，点和点在轨迹上．当且时，由，得．由，得，又，所以，所以为线段的中点．连接，则为的中位线，所以，设点的坐标为，则．故点的轨迹的方程是．【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。类型二：焦点三角形中的计算问题【例1】已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦 点在BC边上，则的周长是（ ）A． B．6 C． D．12【答案】C【解析】由椭圆的定义知：，∴周长为（是椭圆的另外一个焦点）．【方法小结】（1）椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．（2）椭圆上的点必定适合椭圆的定义，即，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点有关的距离问题．【例2】 已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且 ．若的面积为9，则＝________．【答案】3 【解析】由题意知，，∴，∴，∴．∴，∴．∴．【方法小结】关键抓住点为椭圆上的一点，从而有，再利用，进而得解．椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求；通过整体代入可求其面积等．【变式训练】1．椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为（ ）A．4 B．2 C．8 D．【解析】如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A．2．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于、、…、七个点，是椭圆的一个焦点，则________.【答案】35【解析】设椭圆右焦点为，由椭圆的对称性知，，，，∴.类型三：利用椭圆的定义求离心率【例1】设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ． 【解析】设，则，由点在椭圆上，得，又，所以．【例2】己知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且经过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率为 ．【解析】设，，则，，在中，分别由余弦定理得，即，所以，即，代入（2）得，所以，故．【变式训练】1．如图所示，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 ． 【解析】设，则，，由点在椭圆上，得，又，所以．2．设是椭圆上任一点，，为焦点，，．求证：离心率；（2）求的最值．【解析】（1）由正弦定理得，由等比性质得，所以，所以．（2）设，，则，所以将代入上式，得，又，所以：当时，取得最小值；当或时，取得最大值．类型四：利用椭圆的定义求解最值问题【例1】以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决．【解析】如图所示，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为，直线的方程为．解方程组得交点的坐标为．此时最小．所求椭圆的长轴，∴，又，∴．因此，所求椭圆的方程为．【方法小结】解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小．【例2】（1）如果是以、为焦点的椭圆上任一点，若点到点与点的距离之差为，则的最大值是多少？（2）如果是以、为焦点的椭圆上任一点，若点到点与点的距离之和为，则的取值范围是多少？ 【解析】（1），延长与椭圆交于点，则当与重合时，取得最大、最小值．（2），，连结，由椭圆定义可得：，由，得，所以，当且仅当、、三点共线时，取得最大、最小值，如上图所示．故．【变式训练】1．已知为椭圆的上一点，求的最大值．【解析】由点在椭圆上，得，所以，当且仅当时，取得最大值（此时为椭圆的上顶点或下顶点）．类型五：利用定义构造椭圆解题【例1】（2017年浙江高考第15题）已知向量，满足||＝1，||＝2，则的最小值是 ，最大值是 ．【答案】4，【解法1】作，点在单位圆上，设点,，则，点在椭圆上，，显然，当且仅当点为椭圆的上下顶点等号成立；又，∴的最小值是4，最大值是．【解法2】作，，，则， ；；点B既在半径为2的圆上，又在焦距为2的椭圆上，且表示的长轴，当椭圆与圆相切时，短轴最长，此时长轴也是最长；∴的最小值是4，最大值是．【方法小结】两个解法都是通过构造椭圆，转化为定圆上的动点到两定点距离之和的最值问题．【例2】中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为 ．【解析】由条件可构造椭圆，其中，，，如图所示．因为，所以，所以，其中为边上的高．当取得最大值时，最大．显然，故．【方法小结】该法同样通过构造椭圆来解决问题．【变式训练】1．锐角中，，，求边上的中线的取值范围．【解析】由得，，故在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，椭圆方程为，又为锐角三角形，所以，的轨迹方程为，当为短轴顶点时，最短，此时；当坐标为时，，故．三、巩固练习1．（1）方程表示的曲线是 ，其标准方程是 。（2）方程表示的曲线是 ，其方程是 。（3）方程表示的曲线 。（4）方程表示的曲线是 ，其标准方程是 。2．已知椭圆上一点，到椭圆的一个焦点的距离为2，则点到另一个焦点的距离为（ ）A．1 B．2 C．4 D．63．已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）A．8 B．16 C．25 D．324．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为（ ）A． B． C． D．5．过点与圆相内切的圆的圆心的轨迹是（ ）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆6．已知椭圆的焦点坐标为，，并且经过点(2，1)，则椭圆的标准方程为 ．7．已知的周长是16，，B则动点的轨迹方程是（ ）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 ．9．已知、、是直线上的三点，且，切直线于点，又过、作异于的两切线，设这两切线交于点，求点的轨迹方程. 10．（2012广州二模）已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线有一个相同的焦点，直线与抛物线只有一个公共点．（1）求直线的方程；（2）若椭圆经过直线上的点，当椭圆的的离心率取得最大值时，求椭圆的方程及点的坐标．四、巩固练习参考答案1．【答案】（1）椭圆，；（2）线段，；（3）不存在；（4）椭圆，．2．【答案】D；【解析】由椭圆方程知．3．【答案】B．4．【答案】C．【解析】，设，则，在中，由余弦定理得，即，解得，故5．【答案】A．6．【答案】．7．【答案】B8．【答案】．9．【解析】设过、作异于的两切线分别切于、两点，两切线交于点．由切线的性质知：，，，故，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以所在的直线为轴，以的中点为原点，建立坐标系， 可求得动点的轨迹方程为：10．【解析】（1）解法1：由消去，得． ∵直线与抛物线只有一个公共 ∴，解得． ∴直线的方程为．解法2：设直线与抛物线的公共点坐标为，由，得， ∴直线的斜率．依题意得，解得．把代入抛物线的方程，得．∵点在直线上，∴，解得． ∴直线的方程为．（2）解法1：∵抛物线的焦点为，依题意知椭圆的两个焦点的坐标为．设点关于直线的对称点为， 则，解得 ∴点． ∴直线与直线的交点为． 由椭圆的定义及平面几何知识得： 椭圆的长轴长， 其中当点与点重合时，上面不等式取等号． ∴． ∴． 故当时，．此时椭圆的方程为，点的坐标为．解法2：∵抛物线的焦点为，依题意知椭圆的两个焦点的坐标为 ，设椭圆的方程为， 由消去，得．（*） 由， 得． 解得． ∴． ∴． 当时，，此时椭圆的方程为． 把代入方程（*），解得，． ∴点的坐标为．
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