2023届新高考数学解析几何专题讲义 第2讲 双曲线的定义及其应用

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第2讲 双曲线的定义及其应用一．问题综述本讲梳理双曲线的定义及其应用．（一）双曲线的定义：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．（二）双曲线定义的应用主要有下面几方面的应用：1．判断轨迹形状；2．求标准方程；3．求最值或范围．二．典例分析类型一：判断轨迹形状【例1】已知是定点，动点满足，且则点的轨迹为（ ）A．双曲线 B．直线 C．圆 D．射线【解析】由题意得<，所以点的轨迹为双曲线。【方法小结】紧扣椭圆的定义进行判断：设平面内动点到两个定点、的距离之差的绝对值等于定值，即，（1）若，则点的轨迹是双曲线（包括两支）．（2）若，则点的轨迹是双曲线的一支；若，则点的轨迹是双曲线的另一支．（3）若，则点的轨迹是两条射线．（4）若，则点的轨迹不存在．【变式训练】方程表示的曲线是 ，其标准方程是 ．方程表示的曲线是 ，其方程是 ．方程表示的曲线 ．【答案】1．双曲线的左支，；两条射线，；3．不存在．类型二：利用双曲线的定义求轨迹方程【例1】中，，，且，求点的轨迹方程．【解析】由，得，∴，即，∴点的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点），∵，，∴，，，所求轨迹方程为．【方法小结】由于，，的关系为一次齐次式，两边乘以（为外接圆半径），可转化为边长的关系．再根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后求椭圆的标准方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【例2】已知双曲线的左右焦点分别是，是双曲线右支上的动点，过作的平分线的垂线，求垂足的轨迹．【解析】设点的坐标为，延长与交于点，连接．∵平分，且⊥，∴ ，．又∵点是双曲线右支上的动点，∴ ，∴ ，∴ ，即点在以为圆心，为半径的圆上．∵ 当点沿双曲线右支运动到无穷远处时，趋近于双曲线的渐近线，∴ 点的轨迹是圆弧，除去点和，方程为．【方法小结】求轨迹与轨迹方程的注意事项（1）求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．（2）求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．【变式训练】的顶点、，的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点的轨迹方程是（ ）A． B． C． D．【解析】如图，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为．类型三：焦点三角形中的计算问题【例1】已知是双曲线上一点，，是双曲线的两个焦点，若，则的值为________．【解析】由双曲线方程知，，则． ∵是双曲线上一点，∴，又，∴或．又，∴．【例2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，为右支上的一点，且，则的面积等于（ ）A．24 B．36 C．48 D．96【解析】依题意得，由双曲线的定义，得，∴．∴，故选C．【方法小结】关键抓住点为双曲线右支上的一点，从而有，再利用，进而得解．双曲线上一点P与双曲线的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求；通过整体代入可求其面积等．【变式训练】1．设椭圆和双曲线的公共焦点分别为、，为这两条曲线的一个交点，则的值等于__________．【答案】．【解析】焦点坐标为，由此得，故.根据椭圆与双曲线的定义可得，|．两式平方相减，得，.2．设、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若双曲线的离心率为5，则(　　)A．　　　 　 B．　　　 　 C．　　　 　D．【答案】C．【解析】依题意可知，设，由双曲线定义知： ①；由勾股定理得：　②；又由离心率： ③，三式联立解得，故.3．已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则 (　　)A．　　　 　 B．　　　 　 C．　　　 　D．【答案】C．【解析】由双曲线的定义有，∴，则.4．已知的顶点，分别为双曲线左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于(　　)A．　　　 　 B．　　　 　 C．　　　 　D．【答案】A．【解析】在中，由正弦定理知.5．已知是双曲线上的点，、是其焦点，双曲线的离心率是，且，若面积为9，则的值为(　　)A．5　　　 　 B．6　　　 　 C．7　　　 　D．8【答案】C．【解析】由，得，设设，，不妨设设，则，，，，解得，∴，∴.类型四：利用双曲线的定义求离心率【例1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与圆相切，与的左、右两支分别交于点，，若，则的离心率为( )A． B． C． D．【解析】依题意，则，所以，又直线与圆相切，故，所以，在中，由余弦定理得，化简得，所以，即，所以，于是．【变式训练】已知，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，且，，则双曲线的离心率为 ．【解析】依题意可得，所以．类型五：利用双曲线的定义求范围或最值【例1】如图，是以、为焦点的双曲线右支上任一点，若点到点与点的距离之和为，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【解析】连结，由双曲线的第一定义可得： 当且仅当三点共线时取得最小值．故选B．【例2】如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标． 【解析】设点的坐标为，则点，为双曲线的焦点， ，所以，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故，，从而，当在线段上时取等号，此时的最小值为．直线的方程为，因点在双曲线右支上，故，由方程组 解得，所以点的坐标为．【方法小结】在求解有关圆锥曲线的最值问题时,如果用函数观点求解会困难重重．利用定义进行转化，则势如破竹, 能起到出奇制胜的效果。【变式训练】为双曲线右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为__________．【解析】两圆圆心和恰为双曲线的两焦点．当最大且最小时，最大.的最大值为到圆心的距离与圆半径之和，即，同样，故的最大值为：.类型六：构造双曲线解题【例3】已知中，为边上的中线，且满足，，求点到直线距离的最大值．【解析】以为原点，建立直角坐标系如图所示．设，则点为双曲线（其中）和圆的交点,于是可得．进而得,当且仅当时等号成立．因此所求点到直线距离的最大值为．【方法小结】本题通过构造双曲线来解决问题．三．巩固练习1．平面内有两个定点)和，动点满足，则动点P的轨迹方程是 （ ）A． B． C． D．2．已知，以为一个焦点作过，两点的椭圆，则椭圆另一个焦点的轨迹方程（ ）A． 　 B． C． D．3．与的半径分别为1和2，，动圆与内切而与外切，则动圆圆心轨迹是（ ）A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支4．一动圆过定点，且与定圆：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．5．设声速为米/秒，在相距米的两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．6．已知，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为( )A． B． C． D． 7．设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切．求的圆心轨迹的方程．（2）已知点 ，，且为上动点，求的最大值及此时的坐标．8．如图，椭圆的方程为，是椭圆的短轴左顶点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，点，且∥轴，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）在直线上求一点，使得以椭圆的焦点为焦点，且过的双曲线的实轴最长，并求此双曲线的方程．四．巩固练习参考答案1．【答案】D．【解析】根据双曲线的定义可得，答案D．2．【答案】A．【解析】由已知得，即，所以，点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线的下支，方程为．故选A．3．【答案】D4．【答案】【解析】设动圆圆心为，由题意得，由双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点，且，的双曲线的左支．其方程为：(x≤－2)．5．【答案】【解析】以两哨所所在直线为x轴，它的中垂线为轴，建立直角坐标系，得炮弹爆炸点的轨迹方程为．6．【答案】C．7．【解析】（1）圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为2，设圆的半径为，①若圆与圆内切，与外切，则，，两式相减，得；②若圆与圆外切，与内切，同理；由①②得，点的轨迹是以为焦点的双曲线，其中，，轨迹的方程为；（2）由点的坐标知，点在圆上，又由坐标知，点是圆心，，三点同在一条直线上时，可取最大值2．直线的斜率为：，直线的方程为：，由求得， （舍去）故取最大值2时，点坐标是．ABPxyO8．【解析】（1），又，故．∵，，∴，将代入椭圆得：，得，所求椭圆方程为． （2）设椭圆的焦点为，，则易知，，直线的方程为：，因为在双曲线上，要双曲线的实轴最长，只须最大，设关于直线的对称点为，则直线与直线的交点为所求， 因为的方程为：，联立得，又=，故，故所求双曲线方程为．