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2023届新高考数学解析几何专题讲义 第10讲 轨迹方程问题
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这是一份2023届新高考数学解析几何专题讲义 第10讲 轨迹方程问题
第10讲 轨迹方程问题一、问题综述教材中明确提出，解析几何研究两件事：（1）求曲线方程；（2）利用方程研究曲线的性质，求曲线方程或者求点的轨迹方程是解析几何所有问题的发端，应当给与足够的重视。其方法一般有：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法，涉及到中点弦可用点差法等。下面我们通过具体题目回顾求轨迹方程的几种方法，同时分析那种方法在那种情况下较好一些，更适合我们。二、典例分析类型1：直接法【例1】设一动点到直线的距离到它到点的距离之比为，则动点的轨迹方程是 .解析：设，可知 .注：直接法的五个步骤简称：建系，集合，方程，化简，证明。其中建系，集合，证明往往可以省略，只需要方程和化简两个步骤。我们要留意证明，要保证曲线的方程的纯粹性和完备性.类型2：相关点法【例2】已知,分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的动点，则的重心的轨迹方程为 .解析： 依题意知，，设，，则由三角形重心坐标公式可得,反解即，代入椭圆，得重心的轨迹方程为.注：相关点法，它一般是由已知点的轨迹方程来求未知点的轨迹方程，题目会给我们一个桥梁，或者是中点公式，或者是向量表达式，我们根据桥梁建立已知和未知的关系式，然后反解，用未知点来表示已知点，然后代入已知点的轨迹方程，可得未知点的轨迹方程，所以又称代入法。类型3：定义法【例3】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.求的方程.解析：由已知得圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设圆的圆心为，半径为.因为圆与圆外切并且与圆内切，所以.由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.注：解析几何是用代数研究几何，但是究其本质还是几何，或者说几何性质是解析几何中简化运算最巧妙的手段，而几何图形最基本的几何性质就是定义，要善于发现题目中隐含的几何性质，善于从代数式中分析其几何特征，从而找到问题更简单的解法.类型4：参数法【例4】过平面直角坐标系内定点作两条互相垂直的直线分别交轴，轴正半轴于，两点，求中点的轨迹方程.解析：设过点的一条直线为：，与轴正半轴于，其坐标为，设过点的另一条直线为：，与轴正半轴于，其坐标为，由中点公式可得的坐标为：，消去参数，可得：.当不存在或者为时，解得满足此直线方程，所以的轨迹方程为：.注：求动点的轨迹方程，当动点的横纵坐标的关系比较难发现时，我们可以引入第三个量，也就是一个参数，来表示动点的横纵坐标，表示出来后，我们再“过河拆桥”，消掉参数，从而得到动点的轨迹方程。本题还可以采用向量的方法，利用向量的数量积为零，或者利用斜率之积等于，或者利用中垂线的几何性质来解决.类型5：点差法【例5】过点作一条直线交圆于，两点，求中点的轨迹方程.解析：设,,代入元的方程：，，两式做差，可得：，其中，，，整理可得：（在已知圆的内部）.注：本题涉及到中点弦问题，可以使用点差法，在直线与二次曲线相交的问题中，可以代点做差，因为相同的结构，会出现平方差公式，坐标之和可以转化为中点坐标，坐标之差可以转化为斜率，运算非常简洁.同时，本题还可以使用参数法，向量或者斜率之积，几何性质垂径定理等方法来解决.类型6：交轨法【例6】如图所示，动圆,与椭圆相交于，，，四点.点，分别为的左、右顶点，求直线与直线交点的轨迹方程.解析： 由椭圆，知，，设点的坐标为，由曲线的对称性，得，设点的坐标为，直线的方程为.①直线的方程为.②由①②相乘得.③又点在椭圆上，故.④将④代入③得.因此点的轨迹方程为.注：在本题中，求两直线交点的轨迹方程，直接运算比较困难，我们发现本题条件中的对称，就写出两条直线的方程，其结构也是对称的，若是只有一个参数，那么代入消参直接可解，现在是有两个参数，我们将结构相同的两条直线相乘得到二次式，利用椭圆的方程整体消参可以解得本题，这种方法称为交轨法，也可以认为是参数法的升级版.【方法小结】以上介绍了求曲线的方程的几种方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、点差法、交轨法.求点的轨迹方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上动点满足的条件，然后转化为等式。要注意代数语言、向量语言、几何语言各自的适用范围以及优劣，最后要保证曲线的方程的纯粹性与完备性.三、巩固练习1.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，分别为椭圆的左，右顶点，则直线与的交点所在曲线方程为________.3.若动圆过定点且和定圆 外切，则动圆圆心的轨迹方程是_________.4.已知点，点是⊙上任意两个不同的点，且满足，设为弦的中点，求点的轨迹的方程；圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为 .参考答案：1.解：依题意可得， ，，则有，因为自身有轨迹方程，为：，将代入可得关于的方程，即的轨迹方程： 答案：D2.解：由椭圆可知：，设交点坐标。与椭圆相交于 关于轴对称考虑直线与的方程：由可得： ①同理可得： ②①②可得： ③由在椭圆上可得：，代入③可得：，整理后可得：3.解：设动圆的半径为，则有，由两圆外切可得，所以，即距离差为定值，所以判断出的轨迹为双曲线的左支，则，解得，所以轨迹方程为.4.解：连接，，由，知，所以，由垂径定理知，，即，设点，则，化简，得.5.解：可得，由的中垂线可得，从而考虑，即到的距离和为定值5，从而判断出其轨迹为椭圆，可得，则，所以椭圆方程为：
第10讲 轨迹方程问题一、问题综述教材中明确提出，解析几何研究两件事：（1）求曲线方程；（2）利用方程研究曲线的性质，求曲线方程或者求点的轨迹方程是解析几何所有问题的发端，应当给与足够的重视。其方法一般有：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法，涉及到中点弦可用点差法等。下面我们通过具体题目回顾求轨迹方程的几种方法，同时分析那种方法在那种情况下较好一些，更适合我们。二、典例分析类型1：直接法【例1】设一动点到直线的距离到它到点的距离之比为，则动点的轨迹方程是 .解析：设，可知 .注：直接法的五个步骤简称：建系，集合，方程，化简，证明。其中建系，集合，证明往往可以省略，只需要方程和化简两个步骤。我们要留意证明，要保证曲线的方程的纯粹性和完备性.类型2：相关点法【例2】已知,分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的动点，则的重心的轨迹方程为 .解析： 依题意知，，设，，则由三角形重心坐标公式可得,反解即，代入椭圆，得重心的轨迹方程为.注：相关点法，它一般是由已知点的轨迹方程来求未知点的轨迹方程，题目会给我们一个桥梁，或者是中点公式，或者是向量表达式，我们根据桥梁建立已知和未知的关系式，然后反解，用未知点来表示已知点，然后代入已知点的轨迹方程，可得未知点的轨迹方程，所以又称代入法。类型3：定义法【例3】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.求的方程.解析：由已知得圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设圆的圆心为，半径为.因为圆与圆外切并且与圆内切，所以.由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.注：解析几何是用代数研究几何，但是究其本质还是几何，或者说几何性质是解析几何中简化运算最巧妙的手段，而几何图形最基本的几何性质就是定义，要善于发现题目中隐含的几何性质，善于从代数式中分析其几何特征，从而找到问题更简单的解法.类型4：参数法【例4】过平面直角坐标系内定点作两条互相垂直的直线分别交轴，轴正半轴于，两点，求中点的轨迹方程.解析：设过点的一条直线为：，与轴正半轴于，其坐标为，设过点的另一条直线为：，与轴正半轴于，其坐标为，由中点公式可得的坐标为：，消去参数，可得：.当不存在或者为时，解得满足此直线方程，所以的轨迹方程为：.注：求动点的轨迹方程，当动点的横纵坐标的关系比较难发现时，我们可以引入第三个量，也就是一个参数，来表示动点的横纵坐标，表示出来后，我们再“过河拆桥”，消掉参数，从而得到动点的轨迹方程。本题还可以采用向量的方法，利用向量的数量积为零，或者利用斜率之积等于，或者利用中垂线的几何性质来解决.类型5：点差法【例5】过点作一条直线交圆于，两点，求中点的轨迹方程.解析：设,,代入元的方程：，，两式做差，可得：，其中，，，整理可得：（在已知圆的内部）.注：本题涉及到中点弦问题，可以使用点差法，在直线与二次曲线相交的问题中，可以代点做差，因为相同的结构，会出现平方差公式，坐标之和可以转化为中点坐标，坐标之差可以转化为斜率，运算非常简洁.同时，本题还可以使用参数法，向量或者斜率之积，几何性质垂径定理等方法来解决.类型6：交轨法【例6】如图所示，动圆,与椭圆相交于，，，四点.点，分别为的左、右顶点，求直线与直线交点的轨迹方程.解析： 由椭圆，知，，设点的坐标为，由曲线的对称性，得，设点的坐标为，直线的方程为.①直线的方程为.②由①②相乘得.③又点在椭圆上，故.④将④代入③得.因此点的轨迹方程为.注：在本题中，求两直线交点的轨迹方程，直接运算比较困难，我们发现本题条件中的对称，就写出两条直线的方程，其结构也是对称的，若是只有一个参数，那么代入消参直接可解，现在是有两个参数，我们将结构相同的两条直线相乘得到二次式，利用椭圆的方程整体消参可以解得本题，这种方法称为交轨法，也可以认为是参数法的升级版.【方法小结】以上介绍了求曲线的方程的几种方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、点差法、交轨法.求点的轨迹方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上动点满足的条件，然后转化为等式。要注意代数语言、向量语言、几何语言各自的适用范围以及优劣，最后要保证曲线的方程的纯粹性与完备性.三、巩固练习1.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，分别为椭圆的左，右顶点，则直线与的交点所在曲线方程为________.3.若动圆过定点且和定圆 外切，则动圆圆心的轨迹方程是_________.4.已知点，点是⊙上任意两个不同的点，且满足，设为弦的中点，求点的轨迹的方程；圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为 .参考答案：1.解：依题意可得， ，，则有，因为自身有轨迹方程，为：，将代入可得关于的方程，即的轨迹方程： 答案：D2.解：由椭圆可知：，设交点坐标。与椭圆相交于 关于轴对称考虑直线与的方程：由可得： ①同理可得： ②①②可得： ③由在椭圆上可得：，代入③可得：，整理后可得：3.解：设动圆的半径为，则有，由两圆外切可得，所以，即距离差为定值，所以判断出的轨迹为双曲线的左支，则，解得，所以轨迹方程为.4.解：连接，，由，知，所以，由垂径定理知，，即，设点，则，化简，得.5.解：可得，由的中垂线可得，从而考虑，即到的距离和为定值5，从而判断出其轨迹为椭圆，可得，则，所以椭圆方程为：
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