2023届新高考数学解析几何专题讲义 第11讲 椭圆中的垂直问题、垂直弦问题

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第11讲 椭圆中的垂直问题一、问题综述 1.椭圆中的垂直问题主要有以下几类： （1）是椭圆上的两个动点，且满足，即椭圆的正交中心角问题，此时有,中心到直线的距离为定值, 且； （2）椭圆的正交焦点弦问题，即经过椭圆的焦点有两条直线互相垂直，分别交椭圆于和，则； （3）经过非焦点的两条弦互相垂直问题. 2.椭圆中的垂直问题的主要策略： （1）利用斜率之积等于,但要注意斜率是否存在； （2）利用向量数量积等于0. 3.几类与垂直相关或可利用与垂直类似的方法的问题： （1）形如“以为直径的圆过原点” ，则； （2）形如“椭圆上存在两点关于直线对称”，则直线与直线垂直； （3）形如“直线与椭圆交于两点，为锐角”，则. 4.在处理椭圆垂直弦问题时，强化对称意识，可减少运算.二、典例分析类型1：椭圆中的正交中心角问题例1. 在中心为的椭圆上任取两点，使，求证：（1）;（2）中心到直线的距离是否为定值？证明：设直线的斜率为①当存在时，且.设，则的方程分别为：，，由方程组得，同理＝，所以.②当不存在时，，满足.③当时，，满足.所以成立.（2）因为, 显然是一个定值.例2. (2019年山东理T22)设椭圆过两点，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由.解析:（1）因为椭圆过两点,所以解得所以椭圆的方程为.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且,设该圆的切线方程为,解方程组得,即,则,即要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足.综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且.因为,所以,, ①当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”.当时,.当的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, 的取值范围为即: .类型2：椭圆中的正交焦点弦问题例3.过椭圆的一个焦点作两条互相垂直的弦分别交椭圆于和，求证：.证明：设，方程为，则方程为由方程组得，所以所以所以，同理，所以.例4. (2007年全国Ⅰ理T21)已知椭圆的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为.（1）设点的坐标为，证明：；（2）求四边形的面积的最小值.解析：（1）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．（2）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，．四边形的面积．当时，上式取等号．（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．综上，四边形的面积的最小值为.类型3：椭圆中的垂直弦问题例5.(2014年浙江理T21)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.（1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标； （2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.解析：（1）设直线的方程为，由，消去得，，由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为，由点在第一象限，故点的坐标为.（2）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以点到直线的距离的最大值为.例6.(2013年浙江理T21)如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：的直径，，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点.（1）求椭圆的方程；（2）求面积取最大值时直线的方程.解析：（1）由题意得，，，所以椭圆C的方程为.（2）设，，,由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为.又圆：，故点到直线的距离，所以，又，故直线的方程为，由，消去，整理得，故，所以，设面积为，则，所以，当且仅当时取等号。所以所求直线的方程为.类型4：椭圆中的对称问题例7.(2015年浙江理T19)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.（1）求实数的取值范围；（2）求面积的最大值（为坐标原点）.解析：（1）由题意知，可设直线的方程为，由，消去，得，∵直线与椭圆由两个不同的交点，∴，①，将中点代入直线方程，解得，②，由①②得或.（2）令，则，且到直线的距离为，设的面积为，∴，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.类型5：可转化为垂直的问题例8.(2007年山东理)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解析：（1）由题意设椭圆的标准方程为， 由已知得：， 椭圆的标准方程为． （2）设． 联立得 ，则 又． 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点， ，即． ． ． ． 解得：，且均满足． 当时，的方程，直线过点，与已知矛盾； 当时，的方程为，直线过定点． 所以，直线过定点，定点坐标为．类型6：锐角（或钝角）问题例9.(2007年四川理) 设、分别是椭圆的左、右焦点.（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解析:（2）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．联立∴，由 得．①又为锐角，∴又∴∴．②综①②可知，∴的取值范围是. 三、巩固练习1．（08广州一模）已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程.解析：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆， 其中，，则． 所以动点M的轨迹方程为．（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，∵，∴．　　 ∵，，∴．　　　∴ ．………… ① 由方程组得．则，，代入①，得．即，解得 或．　所以，直线的方程是或．2．(08辽宁)在平面直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4.设点的轨迹为.（1）写出的方程；（2）设直线y=kx+1与交于两点.为何值时？此时的值是多少？解析：（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线的方程为．（2）设，其坐标满足消去y并整理得，故．由得，即．而，于是．所以时，，故．当时，，．，而，所以．3.(2008年安徽文T22)设椭圆其相应于焦点的准线方程为.（1）求椭圆的方程；（2）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：;（3）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和,求 的最小值.解析：（1）由题意得： 椭圆的方程为. （2）方法一： 由（1）知是椭圆的左焦点，离心率 设为椭圆的左准线。则 作，与轴交于点(如图) 点在椭圆上 同理 .方法二： 当时，记，则 将其代入方程 得 设 ，则是此二次方程的两个根. ................(1) 代入（1）式得 ........................(2) 当时， 仍满足（2）式 .（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得 ， 当时，取得最小值.4.已知直线相交于两点.（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若（其中为坐标原点），当椭圆的离率时，求椭圆的长轴长的最大值.解析：（1）即，又，得，所以所以椭圆的标准方程为. （2）由消去得由得设，则 即 即 ，代入上式得 适合条件由此得 所以所以长轴长的最大值为.5.已知椭圆的左右焦点分别是，，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为.求椭圆的标准方程； 设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，求面积的最大值.解析：（1）右顶点为，，，，椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为，与椭圆联立得．以为直径的圆经过点，① ，代入①式得或（舍去），故直线过定点． 令，则在上单调递减，时，．6. 如图，两条过原点的直线分别与轴、轴成的角，已知线段的长度为，且点在直线上运动，点在直线上运动．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过定点的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的两点、，且为锐角,求直线的斜率的取值范围．解析：（1）由已知得直线，：，：， 在直线上运动，直线上运动，,， 由得，即， ， 动点的轨迹的方程为． （2）直线方程为，将其代入，化简得，，， 设、 ，则， 为锐角，， 即，，．将代入上式，化简得，． 由且，得. xyACBO7.(2016桐乡一模 T19)已知椭圆，过作互相垂直的两直线与椭圆交于两点.（1）若直线经过点,求线段的长；（2）求面积的最大值. 解析：（1）不妨设直线: ，则的方程为。由得：，同理用代入得，直线，即直线过定点又因为直线过，直线：， 得由弦长公式可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而有于是 令，有 当且仅当，.8. (2012年浙江理科T21)如图，椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分。（1）求椭圆的方程；（2）求面积取最大值时直线的方程。（1）设椭圆左焦点为，则由题意得，得，所以椭圆方程为。（2）设，，线段的中点为。当直线与轴垂直时，直线的方程为，与不过原点的条件不符，舍去，故可设直线的方程为（），由，消去，整理得， ①则，，所以线段的中点，因为在直线上，所以，得（舍去）或此时方程①为，则，，所以，设点到直线距离为，则，设的面积为，则其中，令，所以，当且仅当，取到最大值，故当且仅当，取到最大值.综上，所求直线的方程为.