2023届新高考数学解析几何专题讲义第13讲定比点差法解题赏析

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第13讲定比点差法解题赏析结论一：一般的，设椭圆上两点，若定点满足，则得到，化简得（*）由，得两式相减得把（*）代入得化简得特别地，如果（或），则可以得到方程组，继而求出点坐标，最近几年的浙江高考题中此问题出现比较多．题1．【2011年.浙江卷.理17】设分别为椭圆的左右两个焦点，点在椭圆上，若；则点的坐标是．解析：由知，，所以，把，，代入得化简得，两式相减得，化简得，，联立，解得，代入椭圆求得．题2.【2018浙江高考17】已知点，椭圆上两点满足，则当_________时，点横坐标的绝对值最大．答案：5解：设，由于，得到，（*），由，均在椭圆上可以知道，，变形得两式相减得，把（*）式代入知，化简得，结合，解得，代入故所以，当时，有最大值4，即点B的横坐标的绝对值最大值为2．题3【2015年北京文20】已知椭圆：．过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．解析：由题意不妨设，，．．，．点差法．．．又，解得．，，且，，三点共线．不妨设，则有．由得是的等比分线，故．即直线与直线是平行关系．小结1：通过前三个例题，我们发现破解这类题的关键是通过方程组求出相应交点的坐标，因此这类题多数是相应定比分点的横坐标或纵坐标为0，如果不为0或者相应的比值不确定，又该如何求解呢？结论2：若,且,则称调和分割，根据定义也调和分割，在椭圆或双曲线中，设为椭圆或双曲线上两点，若存在两点满足,且，则一定有，即两个互相调和的定比分点坐标满足有心曲线的特征方程题4【2008安徽理】编辑与方法提供：浙江余姚韩水昌已知椭圆：．过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足．证明：点总在某定直线上．【解析】设点，，．由题设，，，，均不为零．不妨设．又，，，四点共线，可设，．由定比分点得到．．将，坐标代入上式，得到．即点总在定直线上．巩固练习1.已知是双曲线的左焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条双曲线分别交于两点，若,则双曲线的离心率为解：设，由于，故得到，（*），由，均在渐近线上可以知道，，变形得两式相减得，把（*）式代入知，化简得，结合，解得，故由,得，所以2.【2018.8七彩阳光】直线与椭圆相交于两点，与轴、轴分别相交于两点，如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为__________ 解：设，由，得；由，得所以（*）由，变形得两式相减得把（*）式代入知故所以，所以3.已知椭圆：．过点的直线与椭圆相交于，两点（，两点可以重合），求的取值范围．【解析】设点，．可设，由定比分点得到．．将点坐标代入上式，得到．又，得到．由．．4.如图，椭圆：．过点作直线，分别交椭圆于，，，四点，且直线的斜率为，试判断直线与直线的位置关系．【解析】设点，，，．设，则由定比分点得到又，在椭圆：上，所以．又，．三式相加得．同理，设，可得．两式相减得．又直线的斜率为，则．，即．．5.【2019全国卷理19】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点分别为，与轴的交点为．（1）若，求直线的方程；（2）若，求．解：（1）设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：，设，故由抛物线定义可得：，解得．故直线方程为：（2）设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：，设，故由可得，可得，带入上式可得，故直线方程为．解得：，故．