2023届新高考数学解析几何专题讲义 第18讲 双曲线的离心率问题

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第18讲 双曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个特别重要的性质，求离心率的值或者取值范围是解析几何中的重点，难点，也是高考中考查的高频考点。圆锥曲线的诸多性质都与离心率息息相关，离心率的变化直接导致圆锥曲线的类型与形状的变化，它也是圆锥曲线统一定义中三要素之一。求解圆锥曲线离心率，可以直接利用定义，方程思想或者几何性质一：利用渐近线与离心率的关系求解例1：双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为 。解析：依题意可知，所以 例2：是双曲线的一个焦点，过且与一条渐近线平行的直线与双曲线交于点，与轴交于点,若，求双曲线的离心率 解析：设直线与渐近线平行，则有，令得，又，所以，因为在双曲线上，故代入得，即 例3：是双曲线的一个焦点，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线一条渐近线垂直，那么该双曲线的离心率为 解析：设双曲线的方程为，则渐近线，又，所以 因为直线与渐近线垂直，所以，所以，即，所以点评：双曲线的渐近线出现的形式，与离心率的值相关，将其转化为，求得其离心率二：焦点三角形求解离心率 例4：设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限交于点,,若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为 解析：如图： 设,则 可得 ,,所以例5：设为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，且满足，则该双曲线的离心率为 解析：由焦点三角形面积公式：，可得，即 所以双曲线的离心率点评：在焦点三角形中，对于椭圆，对于双曲线 （其中 ）三：不等式求离心率取值范围例6：双曲线的焦距为，直线过点和，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，求双曲线离心率的取值范围 解析：直线的方程为，点到直线的距离与点到直线的距离之和，即为原点到直线距离的倍，，由，得，即，于是，所以的取值范围：例7：已知点在双曲线的右支上，为左右焦点，，求双曲线离心率的取值范围 解析：，由均值不等式可知：当且仅当时取得最小值，又，所以，则四：存在性问题例8：已知双曲线的右顶点为,抛物线的焦点为，若的渐近线上存在点使得,则双曲线的离心率取值范围是 解析：双曲线的右顶点为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为：设点,即有，,由,所以即，,即，所以 例9：已知点在双曲线的右支上，为左右焦点，,若，则该双曲线离心率的取值范围是 解析：由，在中，由正弦定理得：可得，又,联立可得，即又,化简可得,即，解得 五：双曲线与圆综合例10：已知双曲线与圆没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 解析：由双曲线和圆的对称性可知： 则例11：已知双曲线的右焦点，其渐近线与圆有公共点，则双曲线离心率的取值范围为 解析：双曲线渐近线方程为 圆的圆心为，半径 其渐近线与圆有公共点，可得 ,即有 可得 所以 巩固练习: 1.点在双曲线的右支上，为双曲线的左右焦点,求双曲线离心率的取值范围 2.设，则双曲线离心率的取值范围为 3.已知双曲线存在两点关于对称，求该双曲线离心率取值范围 4.已知分别是双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，线段的垂直平分线过坐标原点,若，则双曲线的离心率为 5.已知分别是双曲线的左右焦点，双曲线上存在，，则此双曲线离心率的取值范围是 6.已知分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于，若点在以为直径的圆外，则双曲线的取值范围是 参考答案:1.由双曲线定义：，又,所以，由三角形性质：，得，即2.由题意得：，由得，所以3.设，弦的中点为，由点差法求得，当点在双曲线内部时，，整理得，无解；当点在双曲线外部时，点应在两渐近线相交的上下区域内，由线性规划可知，即，则，所以 4.,由双曲线定义：,可得，如图垂直平分,则，可得，即为.即 5.由为的中线，可得,由,可得,由，，可得6.设,双曲线的渐近线为，过点与双曲线一条渐近线平行的直线方程为，联立渐近线方程，可得，点在以线段为直径的圆外，可得，即有