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2023届新高考数学解析几何专题讲义 第20讲 切线与切点弦问题
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第20讲 切线与切点弦问题一、问题综述1.切线1）定义：设直线与曲线交于两点，当直线连续变动时，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到重合为一点，此时直线称为曲线在点处的切线.注：若曲线为二次曲线，记其方程为，直线的方程为.若方程组有两个不同的解，则直线与二次曲线相交，当这两个交点重合为一点时，就称直线与二次曲线相切，直线就称为二次曲线在这一点处的切线，这一公共点称为切点.2）切线方程：1）过圆上一点的切线方程：；2）过椭圆上一点的切线方程：；3）过双曲线上一点的切线方程：；4）过抛物线上一点的切线方程：.注：替换的规则是.2.圆锥曲线的切点弦1）定义：从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线，那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦.2）切点弦方程：1）设为圆外一点，则切点弦方程为：；2）设为椭圆外一点，则切点弦方程：；3）设为双曲线外一点，则切点弦方程：；4）设为抛物线外一点，则切点弦切线方程：.注：点与切点弦为圆锥曲线的极点和极线.二、典例分析类型1：过曲线外一点的切线方程【例1】求椭圆两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程.解法：（1）当其中一条切线斜率不存在时，交点为中的一个；（2）当两条切线斜率存在时，设点，切线方程为.由消去得.由，得，当时，由得.又当时，也满足.所以所求点的轨迹方程为.【例2】【2012广东文20】在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.（1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程. 解法：（1）因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，即，所以所以椭圆的方程为.（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，，消去并整理得因为直线与椭圆相切，所以整理得 ①，消去并整理得因为直线与抛物线相切，所以整理得 ②综合①②，解得或所以直线的方程为或【方法小结】 根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件.类型2：以曲线上一点为切点的切线方程【例3】如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.（I）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；（II）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.解法：（Ⅰ）解法1：韦达定理 设切线，代入，得,由题意知，即，解得，，因为点在第一象限，所以，.解法2：导数法由点在第一象限及方程，得，设，则，两边平方得，则，又由点在第一象限，得，，，所以，.解法3：直接利用切线方程设，则切线又联立①②及在第一象限，得，即.（Ⅱ）解法1：直接法由于直线过原点且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离 因为，所以 当且仅当时等号成立.所以，点到直线的距离的最大值为.解法2：参数法设，则切线，因为，所以，当且仅当取到最大值.解法3：等价转化 设，则切线 设过且与垂直的直线为，则，所以点到直线的距离等于的直线的距离. 因为，所以，， 又， 所以（柯西不等式） 当且仅当 即时取到最大值. 【例4】如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线 的两条切线，且与抛物线分别相切于A、B两点.（1）求△的重心的轨迹方程；（2）证明：.解法：（1）（1）设切点，∴切线的方程为：； 切线的方程为：.解得：.所以△的重心的坐标为， 所以，由点在直线l上运动，从而得到重心的轨迹方程为：，即. （2）因为，由于点在抛物线外，则.，.所以.【方法小结】过曲线上一点的二次曲线的切线方程常用的有两种方法： 一种是利用二次方程有等根，用；另一种是用导数的方法.类型3：圆锥曲线切点弦【例5】已知抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，点是直线上任意一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）证明：直线过定点，并求出定点坐标.解析：（Ⅰ）抛物线方程为；（Ⅱ）设点，则抛物线在点处的切线方程为，即，同理在点处的切线方程为.又点在两条切线上，则，所以直线的方程为：又点满足，故直线的方程为即所以直线经过定点.【方法小结】本题实际上涉及圆锥曲线极点极线的一个性质：过圆锥曲线外任一点作直线，交圆锥曲线于两点，若圆锥曲线在点处切线的交点为，则点在一定直线上.三、巩固练习1.已知抛物线，圆的圆心为点.点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于两点，若过两点的直线垂直于，求直线的方程.2.已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点.（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值.3.【2015新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线与直线(＞0)交与两点.（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.4.已知椭圆的中心在原点，离心率为，其右焦点是圆：的圆心．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线，分别交轴于点、．试推断是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知椭圆，是直线上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别是，求直线的方程，使与两坐标轴围成的三角形面积最小，并求出这个最小值.6. 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1.设点，切线的斜率为，则切线方程是，由题意得：，整理得：，（*）设. 解得：（是方程*的根）.因为，所以，所以，解得：，所以，所以直线的方程.2. （ = 1 \* ROMAN I）由已知得，所以，则椭圆E的方程为.由方程组 得. = 1 \* GB3 ①方程 = 1 \* GB3 ①的判别式为，由，得，此方程 = 1 \* GB3 ①的解为，所以椭圆E的方程为.点T坐标为（2,1）.（ = 2 \* ROMAN II）由已知可设直线 的方程为，有方程组 可得所以P点坐标为（ ），.设点A，B的坐标分别为 .由方程组 可得. = 2 \* GB3 ②方程 = 2 \* GB3 ②的判别式为，由得.又由 = 2 \* GB3 ②得.所以，同理，所以故存在常数，使得.3. （1）由题设可得，，或，.∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. （2）存在符合题意的点，证明如下： 设为符合题意得点，，，直线，的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. ∴. ∴==. 当时，有=0，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补， 故，所以符合题意。4. （1）设椭圆方程，半焦距为，因为椭圆的右焦点是圆的圆心，则，因为椭圆的离心率为，则，即，从而，故椭圆的方程为．（2）设点（），，，则直线的方程为，即，因为圆心到直线的距离为1，即，即，即，同理．由此可知，，为方程的两个实根，所以，，．因为点在椭圆上，则，即，则，令，则，因为，则，，即，故存在点满足题设条件．5. 设，所以切点弦所在直线方程为.所以，则.又，所以，当且仅当，即时，，此时直线方程为.6.（Ⅰ）证明：由题意设由得，则所以因此直线MA的方程为直线MB的方程为所以 ① ②由①、②得 因此 ，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得： 所以是方程的两根，因此又所以由弦长公式得又，所以或，因此所求抛物线方程为或（Ⅲ）解：设，由题意得,则的中点坐标为设直线的方程为由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得若在抛物线上，则因此或. 即或（1）当时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.（2）当，对于D(0，0)，此时又AB⊥CD，所以即矛盾.对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.
第20讲 切线与切点弦问题一、问题综述1.切线1）定义：设直线与曲线交于两点，当直线连续变动时，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到重合为一点，此时直线称为曲线在点处的切线.注：若曲线为二次曲线，记其方程为，直线的方程为.若方程组有两个不同的解，则直线与二次曲线相交，当这两个交点重合为一点时，就称直线与二次曲线相切，直线就称为二次曲线在这一点处的切线，这一公共点称为切点.2）切线方程：1）过圆上一点的切线方程：；2）过椭圆上一点的切线方程：；3）过双曲线上一点的切线方程：；4）过抛物线上一点的切线方程：.注：替换的规则是.2.圆锥曲线的切点弦1）定义：从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线，那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦.2）切点弦方程：1）设为圆外一点，则切点弦方程为：；2）设为椭圆外一点，则切点弦方程：；3）设为双曲线外一点，则切点弦方程：；4）设为抛物线外一点，则切点弦切线方程：.注：点与切点弦为圆锥曲线的极点和极线.二、典例分析类型1：过曲线外一点的切线方程【例1】求椭圆两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程.解法：（1）当其中一条切线斜率不存在时，交点为中的一个；（2）当两条切线斜率存在时，设点，切线方程为.由消去得.由，得，当时，由得.又当时，也满足.所以所求点的轨迹方程为.【例2】【2012广东文20】在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.（1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程. 解法：（1）因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，即，所以所以椭圆的方程为.（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，，消去并整理得因为直线与椭圆相切，所以整理得 ①，消去并整理得因为直线与抛物线相切，所以整理得 ②综合①②，解得或所以直线的方程为或【方法小结】 根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件.类型2：以曲线上一点为切点的切线方程【例3】如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.（I）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；（II）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.解法：（Ⅰ）解法1：韦达定理 设切线，代入，得,由题意知，即，解得，，因为点在第一象限，所以，.解法2：导数法由点在第一象限及方程，得，设，则，两边平方得，则，又由点在第一象限，得，，，所以，.解法3：直接利用切线方程设，则切线又联立①②及在第一象限，得，即.（Ⅱ）解法1：直接法由于直线过原点且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离 因为，所以 当且仅当时等号成立.所以，点到直线的距离的最大值为.解法2：参数法设，则切线，因为，所以，当且仅当取到最大值.解法3：等价转化 设，则切线 设过且与垂直的直线为，则，所以点到直线的距离等于的直线的距离. 因为，所以，， 又， 所以（柯西不等式） 当且仅当 即时取到最大值. 【例4】如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线 的两条切线，且与抛物线分别相切于A、B两点.（1）求△的重心的轨迹方程；（2）证明：.解法：（1）（1）设切点，∴切线的方程为：； 切线的方程为：.解得：.所以△的重心的坐标为， 所以，由点在直线l上运动，从而得到重心的轨迹方程为：，即. （2）因为，由于点在抛物线外，则.，.所以.【方法小结】过曲线上一点的二次曲线的切线方程常用的有两种方法： 一种是利用二次方程有等根，用；另一种是用导数的方法.类型3：圆锥曲线切点弦【例5】已知抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，点是直线上任意一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）证明：直线过定点，并求出定点坐标.解析：（Ⅰ）抛物线方程为；（Ⅱ）设点，则抛物线在点处的切线方程为，即，同理在点处的切线方程为.又点在两条切线上，则，所以直线的方程为：又点满足，故直线的方程为即所以直线经过定点.【方法小结】本题实际上涉及圆锥曲线极点极线的一个性质：过圆锥曲线外任一点作直线，交圆锥曲线于两点，若圆锥曲线在点处切线的交点为，则点在一定直线上.三、巩固练习1.已知抛物线，圆的圆心为点.点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于两点，若过两点的直线垂直于，求直线的方程.2.已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点.（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值.3.【2015新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线与直线(＞0)交与两点.（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.4.已知椭圆的中心在原点，离心率为，其右焦点是圆：的圆心．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线，分别交轴于点、．试推断是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知椭圆，是直线上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别是，求直线的方程，使与两坐标轴围成的三角形面积最小，并求出这个最小值.6. 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1.设点，切线的斜率为，则切线方程是，由题意得：，整理得：，（*）设. 解得：（是方程*的根）.因为，所以，所以，解得：，所以，所以直线的方程.2. （ = 1 \* ROMAN I）由已知得，所以，则椭圆E的方程为.由方程组 得. = 1 \* GB3 ①方程 = 1 \* GB3 ①的判别式为，由，得，此方程 = 1 \* GB3 ①的解为，所以椭圆E的方程为.点T坐标为（2,1）.（ = 2 \* ROMAN II）由已知可设直线 的方程为，有方程组 可得所以P点坐标为（ ），.设点A，B的坐标分别为 .由方程组 可得. = 2 \* GB3 ②方程 = 2 \* GB3 ②的判别式为，由得.又由 = 2 \* GB3 ②得.所以，同理，所以故存在常数，使得.3. （1）由题设可得，，或，.∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. （2）存在符合题意的点，证明如下： 设为符合题意得点，，，直线，的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. ∴. ∴==. 当时，有=0，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补， 故，所以符合题意。4. （1）设椭圆方程，半焦距为，因为椭圆的右焦点是圆的圆心，则，因为椭圆的离心率为，则，即，从而，故椭圆的方程为．（2）设点（），，，则直线的方程为，即，因为圆心到直线的距离为1，即，即，即，同理．由此可知，，为方程的两个实根，所以，，．因为点在椭圆上，则，即，则，令，则，因为，则，，即，故存在点满足题设条件．5. 设，所以切点弦所在直线方程为.所以，则.又，所以，当且仅当，即时，，此时直线方程为.6.（Ⅰ）证明：由题意设由得，则所以因此直线MA的方程为直线MB的方程为所以 ① ②由①、②得 因此 ，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得： 所以是方程的两根，因此又所以由弦长公式得又，所以或，因此所求抛物线方程为或（Ⅲ）解：设，由题意得,则的中点坐标为设直线的方程为由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得若在抛物线上，则因此或. 即或（1）当时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.（2）当，对于D(0，0)，此时又AB⊥CD，所以即矛盾.对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.
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