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辽宁省大连市甘井子区2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷
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这是一份辽宁省大连市甘井子区2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．掷一次色子，向上一面的点数是3
C．购买一张彩票，一定中奖
D．明天大连下雪
3．（3分）将方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c，的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25
4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．
5．（3分）抛物线y＝﹣2x2+30x的对称轴是（ ）
A．直线 x＝﹣ B．直线 x＝
C．直线x＝15 D．直线x＝﹣15
6．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，已知AC与B，D相交于点O，且AO：OC＝BO：OD＝2：3，AB＝6，则CD的长度为（ ）
A．4 B．12 C．18 D．9
8．（3分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若AD∥BC，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x＝0的根为 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 ．
13．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为 ．
14．（3分）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 cm．
15．（3分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n
50
100
150
200
250
300
500
投中次数m
28
60
78
104
123
152
251
投中频率m/n
0.56
0.60
0.52
0.52
0.492
0.506
0.502
据此估计，这名球员在罚球线上投中的概率为 ．
16．（3分）在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝ 时，△BPQ与△BAC相似．
三、解答题（本题4小题，其中17题、18题、19题各10分，20题9分，共39分）
17．（10分）解下列方程：
（1）4x2﹣6x＝0．
（2）．
18．（10分）如图，已知点D，E分别是△ABC边AB，AC上一点，且∠C+∠BDE＝180°，若，AD＝6，求AC的长．
19．（10分）汽车刹车后行驶距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．
（1）当t＝1s时，汽车的刹车后行驶距离是多少？
（2）当t为多少时，汽车刹车后的行驶距离s达到最大值？最大值是多少？
20．（9分）为了测量学校旗杆的高度，测量者在距离旗杆5米处用测角仪测得仰角为47°，测量者眼睛距地面的距离为1.6米，求旗杆的高度约为多少？（结果保留小数点后一位，供选用数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．求证：AP＝BP．
22．（9分）青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
23．（10分）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，D交⊙O于点E，连接CE，AC＝2CE，AE＝3，求AB长．
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．点D在边AB上，AD＝AC，DE⊥BC，垂足为E，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿边CB运动，当点P与点B重合时，停止运动．过点P作BC的垂线，交射线CD于点F．设点P的运动时间为t（s），△CPF与△DCB重叠部分图形面积为S（cm2）．
（1）请直接写出AB的长；
（2）求CE的长；
（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
25．（12分）【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE＝EF，AB＝5，求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE＝AD，H、Q为BC上两点，CQ＝DH，DQ＝mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD＝180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．
2022-2023学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．掷一次色子，向上一面的点数是3
C．购买一张彩票，一定中奖
D．明天大连下雪
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故A符合题意；
B、掷一次色子，向上一面的点数是3，是随机事件，故B不符合题意；
C、购买一张彩票，一定中奖，是随机事件，故C不符合题意；
D、明天大连下雪，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
3．（3分）将方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c，的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．
【解答】解：方程整理得：4x2+8x﹣25＝0，
则a＝4，b＝8，c＝﹣25．
故选：C．
4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．
【解答】解：∵弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OC为3cm，
∴AC＝BC＝4cm，∠ACO＝90°，
由勾股定理得：OA＝＝＝5（cm）．
故选：B．
5．（3分）抛物线y＝﹣2x2+30x的对称轴是（ ）
A．直线 x＝﹣ B．直线 x＝
C．直线x＝15 D．直线x＝﹣15
【分析】利用对称轴公式求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+30x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
故选：B．
6．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求得AB的值，再根据正弦函数即可求得sinA的值．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴sinA＝＝＝．
故选：A．
7．（3分）如图，已知AC与B，D相交于点O，且AO：OC＝BO：OD＝2：3，AB＝6，则CD的长度为（ ）
A．4 B．12 C．18 D．9
【分析】由AO：OC＝BO：OD＝2：3，得＝＝，而∠COD＝∠AOB，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△COD∽△AOB，得＝＝，即可求得CD＝•AB＝9，得到问题的答案．
【解答】解：∵AO：OC＝BO：OD＝2：3，
∴＝＝，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴＝＝，
∵AB＝6，
∴CD＝•AB＝×6＝9，
故选：D．
8．（3分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先求出有记号的b条鱼在a条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：∵打捞a条鱼，发现其中带标记的鱼有b条，
∴有标记的鱼占，
∵共有n条鱼做上标记，
∴鱼塘中估计有n÷＝（条），
故选：A．
9．（3分）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
故选：D．
10．（3分）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若AD∥BC，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】由旋转的性质可得AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝40°，由等腰三角形的性质可求∠BAD＝∠BDA＝70°，由平行线的性质可求∠DAB＝∠ABC＝70°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝40°，
∴∠BAD＝∠BDA＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x＝0的根为 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】利用因式分解法即可求得方程x2﹣x＝0的根．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2，
∴关于x的一元二次方程x2﹣x＝0的根为x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 110° ．
【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．
【解答】解：∵∠B＝110°，
∴∠ADE＝110°．
故答案为：110°．
13．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为 （3，6） ．
【分析】根据题意得到线段CD和线段AB的位似比是1：3，根据位似变换的性质解答．
【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），
∴＝，
∴线段CD和线段AB位似比为，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（3，6）．
故答案为：（3，6）．
14．（3分）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 20π cm．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，
∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝30cm，
∴弧CD的长＝＝20πcm，
故答案为：20π．
15．（3分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n
50
100
150
200
250
300
500
投中次数m
28
60
78
104
123
152
251
投中频率m/n
0.56
0.60
0.52
0.52
0.492
0.506
0.502
据此估计，这名球员在罚球线上投中的概率为 0.50 ．
【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.50附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.50．
故答案为：0.50．
16．（3分）在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝ 2或8 时，△BPQ与△BAC相似．
【分析】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝16，AP＝BP，
∴BP＝4．
当△BPQ∽△BAC时，
∴＝，
∴＝，
解得：BQ＝8；
当△BPQ∽△BCA时，
则＝，
∴＝，
解得：BQ＝2，
综上所述：当BQ＝2或8时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：2或8．
三、解答题（本题4小题，其中17题、18题、19题各10分，20题9分，共39分）
17．（10分）解下列方程：
（1）4x2﹣6x＝0．
（2）．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）4x2﹣6x＝0，
2x（2x﹣3）＝0，
2x＝0或2x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝1.5；
（2）
＝++1﹣2×
＝++1﹣
＝1．
18．（10分）如图，已知点D，E分别是△ABC边AB，AC上一点，且∠C+∠BDE＝180°，若，AD＝6，求AC的长．
【分析】根据“同角的补角相等”证明∠C＝∠ADE，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED，得＝＝，则AC＝×6＝15．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵∠C+∠BDE＝180°，∠ADE+∠BDE＝180°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴＝＝，
∴AC＝AD＝×6＝15，
∴AC的长是15．
19．（10分）汽车刹车后行驶距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．
（1）当t＝1s时，汽车的刹车后行驶距离是多少？
（2）当t为多少时，汽车刹车后的行驶距离s达到最大值？最大值是多少？
【分析】（1）将t＝1代入函数解析式，求出s的值即可；
（2）将函数解析式化为顶点式，即可求得当t为多少时，汽车刹车后的行驶距离s达到最大值，最大值是多少．
【解答】解：（1）当t＝1时，
s＝15×1﹣6×12＝9，
即当t＝1s时，汽车的刹车后行驶距离是9m；
（2）∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，
∴当t＝时，汽车刹车后的行驶距离s达到最大值，最大值是．
20．（9分）为了测量学校旗杆的高度，测量者在距离旗杆5米处用测角仪测得仰角为47°，测量者眼睛距地面的距离为1.6米，求旗杆的高度约为多少？（结果保留小数点后一位，供选用数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
【分析】根据题意可得：∠AED＝90°，DC＝EB＝1.6米，DE＝BC＝5米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义进行计算可得AE＝5.35米，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠AED＝90°，DC＝EB＝1.6米，DE＝BC＝5米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝47°，
∴AE＝DE•tan47°≈5×1.07＝5.35（米），
∴AB＝AE+BE＝5.35+1.6≈7.0（米），
∴旗杆的高度约为7.0米．
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．求证：AP＝BP．
【分析】根据切线的性质得出OP⊥AB，根据垂径定理得出即可．
【解答】证明：如图，连接OP，
∵大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，
∴OP⊥AB，
∵OP过O，
∴AP＝BP．
22．（9分）青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
【分析】本题依据题中的等量关系水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，根据增长后的产量＝增长前的产量（1+增长率），设增长率是x，则2012年的产量是7200（1+x）2据此即可列方程，解出后检验即可．
【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
则有：7200（1+x）2＝8450，
解得：x1＝≈0.0833，x2＝﹣＝﹣2.0833（应舍去）．
故水稻每公顷产量的年平均增长率为8.33%．
23．（10分）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，D交⊙O于点E，连接CE，AC＝2CE，AE＝3，求AB长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCA＝∠DAC，然后利用∠OAC＝∠OCA，得到∠DAC＝∠OAC；
（2）连接BE交OC于点H，先根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，证明△DCE∽△DAC，由AC＝2CE，AE＝3，可得，然后利用勾股定理计算出AB的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠D+∠OCD＝180°，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：如图，连接BE交OC于点H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D，
∴CD∥BE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠CAB，
∴∠DCE＝∠DAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC，
∵AC＝2CE，AE＝3，
∴，
∴CD＝2DE，CD2＝AD•DE，
∴4DE2＝AD•DE，
∴4DE＝AD，
∴3DE＝AE，
∴DE＝1，
∴CD＝2．
∵∠DEC＝∠D＝∠DCO＝90°，
∴四边形DCHE是矩形，
∴CD＝EH，∠EHC＝90°，
∴OC⊥BE，
∴BE＝2EH，
∴EH＝2，
∴EB＝4，
在Rt△AEB中，．
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．点D在边AB上，AD＝AC，DE⊥BC，垂足为E，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿边CB运动，当点P与点B重合时，停止运动．过点P作BC的垂线，交射线CD于点F．设点P的运动时间为t（s），△CPF与△DCB重叠部分图形面积为S（cm2）．
（1）请直接写出AB的长；
（2）求CE的长；
（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）直接利用勾股定理可得AB的长；
（2）根据平行线分线段成比例定理可得CE的长；
（3）分两种情况：①当0＜t≤时，如图1，△CPF与△DCB重叠部分是△CFP，②当＜t≤2时，如图2，△CPF与△DCB重叠部分是四边形DCPG，分别计算可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5（cm）；
（2）∵AC＝AD＝3，AB＝5，
∴BD＝5﹣3＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴＝，即＝，
∴CE＝（cm）；
（3）分两种情况：
①当0＜t≤时，如图1，△CPF与△DCB重叠部分是△CFP，
由题意得：CP＝2t，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴DE＝，
∵tan∠DCE＝＝，
∴＝＝，
∴FP＝t，
∴S＝•FP•CP＝•t•2t＝t2；
②当＜t≤2时，如图2，△CPF与△DCB重叠部分是四边形DCPG，
∵BC＝4，CP＝2t，
∴PB＝4﹣2t，
∵PG∥DE，
∴△BGP∽△BDE，
∴＝，即＝，
∴PG＝3﹣t，
∴GF＝t﹣（3﹣t）＝t﹣3，EP＝PC﹣CE＝2t﹣，
∴S＝S△CPF﹣S△DFG
＝t2﹣•FG•EP
＝t2﹣（t﹣3）（2t﹣）
＝﹣t2+6t﹣；
综上，S关于t的函数解析式为：S＝．
25．（12分）【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE＝EF，AB＝5，求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE＝AD，H、Q为BC上两点，CQ＝DH，DQ＝mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD＝180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
【分析】【阅读理解】
作平行线，证明△FEH∽△FDC和△AEH∽△ABC，列比例式并根据DE＝EF、BD＝DC，可得结论；
【解决问题】
如图2，作平行线，证明△CDM∽△CHG，得，设DH＝CQ＝x，则DQ＝mx，再证明△AEP≌△ADM，得EP＝DM，代入可得结论．
【解答】解：【阅读理解】
如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，
∴∠FEH＝∠FDC，∠FHE＝∠C，
∴△FEH∽△FDC，
∴，
∵DE＝EF，
∴，
∵BD＝DC，
∴，
同理得：△AEH∽△ABC，
∴，
∵AB＝5，
∴AE＝；
【解决问题】
猜想：＝，理由是：
如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，
∴∠CMD＝∠CGH，∠CDM＝∠CHG，
∴△CDM∽△CHG，
∴，
设DH＝CQ＝x，则DQ＝mx，
∴＝＝，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP＝∠DAM，
∵∠EFG+∠EAD＝180°，
∴∠AEP+∠ANF＝180°，
∵GH∥DM，
∴∠ADM+∠DNG＝∠ADM+∠ANF＝180°，
∴∠ADM＝∠AFP，
∵AE＝AD，
∴△AEP≌△ADM，
∴EP＝DM，
∴＝．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．
【分析】（1）依题意设直线BC的解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式．然后又已知抛物线y＝x2+bx+c过点B、C，代入求出解析式．
（2）由y＝x2﹣4x+3求出点D，A的坐标．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．过A点作AE⊥BC于点E，求出BE，CE的值．证明△AEC∽△AFP求出PF可得点P在抛物线的对称轴，求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
∵B（3，0）在直线BC上，
∴3k+3＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵抛物线y＝x2+bx+c过点B、C，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）由y＝x2﹣4x+3．
可得D（2，﹣1），A（1，0），
∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，CB＝3，
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF＝AB＝1，
过点A作AE⊥BC于点E，
则有∠AEB＝90°，
∴BE＝AE＝，CE＝2，
在△AEC与△AFP中，
∵∠AEC＝∠AFP＝90°，∠ACE＝∠APF，
∴△AEC∽△AFP，
∴＝，＝，
解得：PF＝2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．
2022-2023学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．掷一次色子，向上一面的点数是3
C．购买一张彩票，一定中奖
D．明天大连下雪
3．（3分）将方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c，的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25
4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．
5．（3分）抛物线y＝﹣2x2+30x的对称轴是（ ）
A．直线 x＝﹣ B．直线 x＝
C．直线x＝15 D．直线x＝﹣15
6．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，已知AC与B，D相交于点O，且AO：OC＝BO：OD＝2：3，AB＝6，则CD的长度为（ ）
A．4 B．12 C．18 D．9
8．（3分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若AD∥BC，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x＝0的根为 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 ．
13．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为 ．
14．（3分）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 cm．
15．（3分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n
50
100
150
200
250
300
500
投中次数m
28
60
78
104
123
152
251
投中频率m/n
0.56
0.60
0.52
0.52
0.492
0.506
0.502
据此估计，这名球员在罚球线上投中的概率为 ．
16．（3分）在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝ 时，△BPQ与△BAC相似．
三、解答题（本题4小题，其中17题、18题、19题各10分，20题9分，共39分）
17．（10分）解下列方程：
（1）4x2﹣6x＝0．
（2）．
18．（10分）如图，已知点D，E分别是△ABC边AB，AC上一点，且∠C+∠BDE＝180°，若，AD＝6，求AC的长．
19．（10分）汽车刹车后行驶距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．
（1）当t＝1s时，汽车的刹车后行驶距离是多少？
（2）当t为多少时，汽车刹车后的行驶距离s达到最大值？最大值是多少？
20．（9分）为了测量学校旗杆的高度，测量者在距离旗杆5米处用测角仪测得仰角为47°，测量者眼睛距地面的距离为1.6米，求旗杆的高度约为多少？（结果保留小数点后一位，供选用数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．求证：AP＝BP．
22．（9分）青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
23．（10分）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，D交⊙O于点E，连接CE，AC＝2CE，AE＝3，求AB长．
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．点D在边AB上，AD＝AC，DE⊥BC，垂足为E，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿边CB运动，当点P与点B重合时，停止运动．过点P作BC的垂线，交射线CD于点F．设点P的运动时间为t（s），△CPF与△DCB重叠部分图形面积为S（cm2）．
（1）请直接写出AB的长；
（2）求CE的长；
（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
25．（12分）【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE＝EF，AB＝5，求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE＝AD，H、Q为BC上两点，CQ＝DH，DQ＝mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD＝180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．
2022-2023学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．掷一次色子，向上一面的点数是3
C．购买一张彩票，一定中奖
D．明天大连下雪
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故A符合题意；
B、掷一次色子，向上一面的点数是3，是随机事件，故B不符合题意；
C、购买一张彩票，一定中奖，是随机事件，故C不符合题意；
D、明天大连下雪，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
3．（3分）将方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c，的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．
【解答】解：方程整理得：4x2+8x﹣25＝0，
则a＝4，b＝8，c＝﹣25．
故选：C．
4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．
【解答】解：∵弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OC为3cm，
∴AC＝BC＝4cm，∠ACO＝90°，
由勾股定理得：OA＝＝＝5（cm）．
故选：B．
5．（3分）抛物线y＝﹣2x2+30x的对称轴是（ ）
A．直线 x＝﹣ B．直线 x＝
C．直线x＝15 D．直线x＝﹣15
【分析】利用对称轴公式求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+30x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
故选：B．
6．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求得AB的值，再根据正弦函数即可求得sinA的值．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴sinA＝＝＝．
故选：A．
7．（3分）如图，已知AC与B，D相交于点O，且AO：OC＝BO：OD＝2：3，AB＝6，则CD的长度为（ ）
A．4 B．12 C．18 D．9
【分析】由AO：OC＝BO：OD＝2：3，得＝＝，而∠COD＝∠AOB，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△COD∽△AOB，得＝＝，即可求得CD＝•AB＝9，得到问题的答案．
【解答】解：∵AO：OC＝BO：OD＝2：3，
∴＝＝，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴＝＝，
∵AB＝6，
∴CD＝•AB＝×6＝9，
故选：D．
8．（3分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先求出有记号的b条鱼在a条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：∵打捞a条鱼，发现其中带标记的鱼有b条，
∴有标记的鱼占，
∵共有n条鱼做上标记，
∴鱼塘中估计有n÷＝（条），
故选：A．
9．（3分）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
故选：D．
10．（3分）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若AD∥BC，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】由旋转的性质可得AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝40°，由等腰三角形的性质可求∠BAD＝∠BDA＝70°，由平行线的性质可求∠DAB＝∠ABC＝70°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝40°，
∴∠BAD＝∠BDA＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x＝0的根为 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】利用因式分解法即可求得方程x2﹣x＝0的根．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2，
∴关于x的一元二次方程x2﹣x＝0的根为x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 110° ．
【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．
【解答】解：∵∠B＝110°，
∴∠ADE＝110°．
故答案为：110°．
13．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为 （3，6） ．
【分析】根据题意得到线段CD和线段AB的位似比是1：3，根据位似变换的性质解答．
【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），
∴＝，
∴线段CD和线段AB位似比为，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（3，6）．
故答案为：（3，6）．
14．（3分）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 20π cm．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，
∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝30cm，
∴弧CD的长＝＝20πcm，
故答案为：20π．
15．（3分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n
50
100
150
200
250
300
500
投中次数m
28
60
78
104
123
152
251
投中频率m/n
0.56
0.60
0.52
0.52
0.492
0.506
0.502
据此估计，这名球员在罚球线上投中的概率为 0.50 ．
【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.50附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.50．
故答案为：0.50．
16．（3分）在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝ 2或8 时，△BPQ与△BAC相似．
【分析】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝16，AP＝BP，
∴BP＝4．
当△BPQ∽△BAC时，
∴＝，
∴＝，
解得：BQ＝8；
当△BPQ∽△BCA时，
则＝，
∴＝，
解得：BQ＝2，
综上所述：当BQ＝2或8时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：2或8．
三、解答题（本题4小题，其中17题、18题、19题各10分，20题9分，共39分）
17．（10分）解下列方程：
（1）4x2﹣6x＝0．
（2）．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）4x2﹣6x＝0，
2x（2x﹣3）＝0，
2x＝0或2x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝1.5；
（2）
＝++1﹣2×
＝++1﹣
＝1．
18．（10分）如图，已知点D，E分别是△ABC边AB，AC上一点，且∠C+∠BDE＝180°，若，AD＝6，求AC的长．
【分析】根据“同角的补角相等”证明∠C＝∠ADE，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED，得＝＝，则AC＝×6＝15．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵∠C+∠BDE＝180°，∠ADE+∠BDE＝180°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴＝＝，
∴AC＝AD＝×6＝15，
∴AC的长是15．
19．（10分）汽车刹车后行驶距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．
（1）当t＝1s时，汽车的刹车后行驶距离是多少？
（2）当t为多少时，汽车刹车后的行驶距离s达到最大值？最大值是多少？
【分析】（1）将t＝1代入函数解析式，求出s的值即可；
（2）将函数解析式化为顶点式，即可求得当t为多少时，汽车刹车后的行驶距离s达到最大值，最大值是多少．
【解答】解：（1）当t＝1时，
s＝15×1﹣6×12＝9，
即当t＝1s时，汽车的刹车后行驶距离是9m；
（2）∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，
∴当t＝时，汽车刹车后的行驶距离s达到最大值，最大值是．
20．（9分）为了测量学校旗杆的高度，测量者在距离旗杆5米处用测角仪测得仰角为47°，测量者眼睛距地面的距离为1.6米，求旗杆的高度约为多少？（结果保留小数点后一位，供选用数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
【分析】根据题意可得：∠AED＝90°，DC＝EB＝1.6米，DE＝BC＝5米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义进行计算可得AE＝5.35米，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠AED＝90°，DC＝EB＝1.6米，DE＝BC＝5米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝47°，
∴AE＝DE•tan47°≈5×1.07＝5.35（米），
∴AB＝AE+BE＝5.35+1.6≈7.0（米），
∴旗杆的高度约为7.0米．
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．求证：AP＝BP．
【分析】根据切线的性质得出OP⊥AB，根据垂径定理得出即可．
【解答】证明：如图，连接OP，
∵大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，
∴OP⊥AB，
∵OP过O，
∴AP＝BP．
22．（9分）青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
【分析】本题依据题中的等量关系水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，根据增长后的产量＝增长前的产量（1+增长率），设增长率是x，则2012年的产量是7200（1+x）2据此即可列方程，解出后检验即可．
【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
则有：7200（1+x）2＝8450，
解得：x1＝≈0.0833，x2＝﹣＝﹣2.0833（应舍去）．
故水稻每公顷产量的年平均增长率为8.33%．
23．（10分）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，D交⊙O于点E，连接CE，AC＝2CE，AE＝3，求AB长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCA＝∠DAC，然后利用∠OAC＝∠OCA，得到∠DAC＝∠OAC；
（2）连接BE交OC于点H，先根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，证明△DCE∽△DAC，由AC＝2CE，AE＝3，可得，然后利用勾股定理计算出AB的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠D+∠OCD＝180°，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：如图，连接BE交OC于点H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D，
∴CD∥BE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠CAB，
∴∠DCE＝∠DAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC，
∵AC＝2CE，AE＝3，
∴，
∴CD＝2DE，CD2＝AD•DE，
∴4DE2＝AD•DE，
∴4DE＝AD，
∴3DE＝AE，
∴DE＝1，
∴CD＝2．
∵∠DEC＝∠D＝∠DCO＝90°，
∴四边形DCHE是矩形，
∴CD＝EH，∠EHC＝90°，
∴OC⊥BE，
∴BE＝2EH，
∴EH＝2，
∴EB＝4，
在Rt△AEB中，．
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．点D在边AB上，AD＝AC，DE⊥BC，垂足为E，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿边CB运动，当点P与点B重合时，停止运动．过点P作BC的垂线，交射线CD于点F．设点P的运动时间为t（s），△CPF与△DCB重叠部分图形面积为S（cm2）．
（1）请直接写出AB的长；
（2）求CE的长；
（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）直接利用勾股定理可得AB的长；
（2）根据平行线分线段成比例定理可得CE的长；
（3）分两种情况：①当0＜t≤时，如图1，△CPF与△DCB重叠部分是△CFP，②当＜t≤2时，如图2，△CPF与△DCB重叠部分是四边形DCPG，分别计算可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5（cm）；
（2）∵AC＝AD＝3，AB＝5，
∴BD＝5﹣3＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴＝，即＝，
∴CE＝（cm）；
（3）分两种情况：
①当0＜t≤时，如图1，△CPF与△DCB重叠部分是△CFP，
由题意得：CP＝2t，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴DE＝，
∵tan∠DCE＝＝，
∴＝＝，
∴FP＝t，
∴S＝•FP•CP＝•t•2t＝t2；
②当＜t≤2时，如图2，△CPF与△DCB重叠部分是四边形DCPG，
∵BC＝4，CP＝2t，
∴PB＝4﹣2t，
∵PG∥DE，
∴△BGP∽△BDE，
∴＝，即＝，
∴PG＝3﹣t，
∴GF＝t﹣（3﹣t）＝t﹣3，EP＝PC﹣CE＝2t﹣，
∴S＝S△CPF﹣S△DFG
＝t2﹣•FG•EP
＝t2﹣（t﹣3）（2t﹣）
＝﹣t2+6t﹣；
综上，S关于t的函数解析式为：S＝．
25．（12分）【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE＝EF，AB＝5，求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE＝AD，H、Q为BC上两点，CQ＝DH，DQ＝mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD＝180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
【分析】【阅读理解】
作平行线，证明△FEH∽△FDC和△AEH∽△ABC，列比例式并根据DE＝EF、BD＝DC，可得结论；
【解决问题】
如图2，作平行线，证明△CDM∽△CHG，得，设DH＝CQ＝x，则DQ＝mx，再证明△AEP≌△ADM，得EP＝DM，代入可得结论．
【解答】解：【阅读理解】
如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，
∴∠FEH＝∠FDC，∠FHE＝∠C，
∴△FEH∽△FDC，
∴，
∵DE＝EF，
∴，
∵BD＝DC，
∴，
同理得：△AEH∽△ABC，
∴，
∵AB＝5，
∴AE＝；
【解决问题】
猜想：＝，理由是：
如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，
∴∠CMD＝∠CGH，∠CDM＝∠CHG，
∴△CDM∽△CHG，
∴，
设DH＝CQ＝x，则DQ＝mx，
∴＝＝，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP＝∠DAM，
∵∠EFG+∠EAD＝180°，
∴∠AEP+∠ANF＝180°，
∵GH∥DM，
∴∠ADM+∠DNG＝∠ADM+∠ANF＝180°，
∴∠ADM＝∠AFP，
∵AE＝AD，
∴△AEP≌△ADM，
∴EP＝DM，
∴＝．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．
【分析】（1）依题意设直线BC的解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式．然后又已知抛物线y＝x2+bx+c过点B、C，代入求出解析式．
（2）由y＝x2﹣4x+3求出点D，A的坐标．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．过A点作AE⊥BC于点E，求出BE，CE的值．证明△AEC∽△AFP求出PF可得点P在抛物线的对称轴，求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
∵B（3，0）在直线BC上，
∴3k+3＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵抛物线y＝x2+bx+c过点B、C，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）由y＝x2﹣4x+3．
可得D（2，﹣1），A（1，0），
∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，CB＝3，
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF＝AB＝1，
过点A作AE⊥BC于点E，
则有∠AEB＝90°，
∴BE＝AE＝，CE＝2，
在△AEC与△AFP中，
∵∠AEC＝∠AFP＝90°，∠ACE＝∠APF，
∴△AEC∽△AFP，
∴＝，＝，
解得：PF＝2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．
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