第1章 三角形的证明 核心方法-等腰三角形中作辅助线的九种常用方法课件PPT

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BS版八年级下阶段核心方法等腰三角形中作辅助线的九种常用方法第一章 三角形的证明答案显示见习题见习题见习题见习题见习题见习题见习题见习题答案显示见习题1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：(1)DE＝DF；解：∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF，∴∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DE⊥DF.(2)DE⊥DF.2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.证明：如图，作EF⊥AC于点F，∵EA＝EC，∴AF＝FC.∴AC＝2AF.又∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A，B不重合)，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. (1)求证：PD＝QD.证明：如图，过点P作PF∥AC交BC于点F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝PF.∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．4．如图，等边△ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BE于G.求证：BG＝EG.证明：如图，过点D作DF∥BE，交AB的延长线于F.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°.又∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ACB＝60°.∴∠A＝∠AFD＝∠ADF＝60°.∴△ADF是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∴CD＝BF.5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．解：如图，将△CPB绕点C顺时针旋转90°，得△CP′A，则P′C＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠AP′C＝∠BPC.连接PP′，∵∠PCP′＝90°，∴∠CP′P＝∠CPP′＝45°，PP′2＝22＋22＝8.又P′A＝1，PA＝3，∴PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9.∴PP′2＋P′A2＝PA2.∴∠AP′P＝90°.又∠CP′P＝45°，∴∠BPC＝∠AP′C＝135°.6．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.(1)求证：CE＝BE；(2)求证：AE⊥DE；(3)求证：AE平分∠DAB.【点拨】本题利用补形法构造出△FBE，通过证明△DCE≌△FBE进而得出相关结论．(1)求证：CE＝BE；证明：如图，延长AB，DE交于点F，∵AB∥CD，∴∠2＝∠F.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F.∴AD＝AF.∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，∴DC＝BF.又∵∠DEC＝∠FEB，∴△DCE≌△FBE，∴CE＝BE.(2)求证：AE⊥DE；(3)求证：AE平分∠DAB.解：∵△DCE≌△FBE，∴DE＝EF.又∵AD＝AF，∴AE⊥DE.∵DE＝EF，AD＝AF，∴AE平分∠DAB.7．如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF.【点拨】本题证法一运用了倍长中线法，借助AD是△ABC的中线，延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG，再证明△ABD和△GCD全等．利用全等三角形的性质对线段或角进行等量代换，再结合相关知识解决问题．证法一：如图①，延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG，∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，∴△ABD≌△GCD.∴AB＝CG，∠G＝∠EAF.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA.又∵∠EFA＝∠CFG，∴∠G＝∠GFC，∴CG＝CF，∴AB＝CF.证法二：如图②，作BM⊥AD于点M，CN⊥AD交AD的延长线于点N，则∠BMD＝∠CND＝90°.又∵BD＝CD，∠BDM＝∠CDN，∴△BMD≌△CND，∴BM＝CN.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠CFN.又∵∠BMA＝∠CNF＝90°，∴△ABM≌△FCN，∴AB＝CF.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，AB＝BC.如图，以BE为边，∠B为内角作等边三角形BEF.8．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接EC，ED. 求证：EC＝ED.9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠ABC交AC于点E.(1)求证：BC＝BE＋AE.(2)探究：若∠A＝108°，则BC的长等于哪两条线段长的和呢？试说明理由．【点拨】本题运用了截长补短法．(1)BC比BE长，在BC上截取BD＝BE，再通过相关证明得BC＝BE＋AE.(2)BC比EC长，在BC上截取CP＝CE，连接EP，构造△ABE与△PBE全等，进而证线段关系．证明：在BC上截取BD＝BE，连接DE，如图．(1)求证：BC＝BE＋AE.∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°.又∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，∴∠CED＝40°＝∠C，∴DE＝DC.∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°.∵CP＝CE，∴∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°.∴∠BPE＝180°－72°＝108°.∴∠BPE＝∠A.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠PBE.解：BC＝CE＋AB.理由如下：在CB上截取CP＝CE，连接PE，如图．(2)探究：若∠A＝108°，则BC的长等于哪两条线段长的和呢？试说明理由．