人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精品测试题

3.3幂函数

一、单选题

1．函数的定义域是（   ）

A． B． C． D．

2．下列结论中，正确的是（    ）

A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)

B．幂函数的图象可以出现在第四象限

C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数

D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数

3．函数（）的最小值为（    ）

A．1 B．5 C．8 D．10

4．已知幂函数的图象过点，则（4）的值是（    ）

A．64 B． C． D．

5．函数y＝的图象大致是（    ）

A．  B．

C．  D．

6．幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： （如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（    ）

A． B． C． D．

7．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

8．若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

9．(多选)下列关于幂函数的性质说法正确的有（    ）

A．当时，函数在其定义域上递减

B．当时，函数图象是一条直线

C．当时，函数是偶函数

D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为

三、填空题

10．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为___________.

11．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．

四、解答题

12．已知函数是幂函数，求的值．

13．比较下列各组中两个数的大小，并说明理由．

（1），；

（2），．

14．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的取值范围；

（3）若实数，（，）满足，求的最小值．

参考答案

1．B

【分析】

根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】

因为，

则有，解得且，因此的定义域是．

故选：B.

2．C

【分析】

对于AD，举例判断，对于BC，由幂函数的性质判断即可

【详解】

当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；

因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；

当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；

当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．

故选：C.

3．A

【分析】

结合幂函数的单调性判断出函数上单调递增，进而可以求出最小值.

【详解】

因为幂函数在上单调递增，所以在上单调递增，因此，

故选：A.

4．D

【分析】

设幂函数，结合已知条件求出的值，进而可以求出结果.

【详解】

幂函数的图象过点，

，解得，

，

（4），

故选：.

5．A

【分析】

判定奇偶性，根据奇函数的图象性质排除C;考察在（0，1）和（1，+∞)上的函数值的正负，进一步取舍判定.（也可使用赋值法）

【详解】

由题意，设，，所以函数的奇函数，故排除C;

当时，，当时，，排除,

故选:A.

6．B

【分析】

根据幂函数的图象与性质，结合指数变化时的规律即可求解.

【详解】

对于幂函数，因为 ，所以在第一象限单调递减，

根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴 ，

因为，所以的图象比的图象更接近轴 ，所以进过第卦限，

在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，

所以的图象位于和之间，所以经过卦限，

所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，

故选：B

7．A

【分析】

，由结合函数的递减区间可得结果.

【详解】

，

由得，又，

所以函数的单调递减区间为.

故选：．

8．AC

【分析】

根据所给条件结合幂函数的意义，求出幂函数的解析式再探讨其性质即可得解.

【详解】

因是幂函数，设，而其图象过点，

即，解得，于是得，且定义域为R，

显然是R上增函数，C正确；

，则为R上奇函数．A正确．

故选：AC

9．CD

【分析】

根据幂函数的图象性质判定单调性、奇偶性和特殊点.

【详解】

当时，，函数在(-∞，0)和(0，+∞)上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误；

当时，，，其图象是去掉点的直线，故B选项错误；

当时，，函数的定义域为，是偶函数，所以C选项正确；

当时，，其图象与轴只有个交点，且交点的横坐标为，所以D选项正确.

故选：CD.

10．

【分析】

设，将，得到函数的解析式，根据幂函数的奇偶性和单调性可求出的范围.

【详解】

设，则，解得，

所以，此时为上的递增函数，且为奇函数，

所以等价于，

所以 ，即，所以或.

故答案为：

11．

【分析】

判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.

【详解】

由函数单调递增，

①当时，若，有，

而，此时函数的值域不是；

②当时，若，有，而，

若函数的值域为，必有，可得．

则实数的取值范围为．

故答案为：

12．-6

【分析】

根据幂函数的定义列方程组，解出m、n，即可求出的值．

【详解】

因为是幂函数，

所以，解得，

所以．

13．（1），理由见解析；（2），理由见解析.

【分析】

（1）利用幂函数的单调性即可判断；

（2）利用幂函数的单调性进行比较即可.

【详解】

（1）根据题意，幂函数在定义域上是增函数，而，所以．

（2）幂函数在定义域上是增函数，而，所以．

14．（1）；（2）；（3）2．

【分析】

（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；

（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；

（3）由基本不等式求得最小值．

【详解】

解析：（1）．，

，

（）

即或

在上单调递增，为偶函数

即

（2）

，，，

∴

（3）由题可知，

，

当且仅当，即，时等号成立．

所以的最小值是2．