数学4.4 对数函数优秀第1课时课时训练

4.4.2  对数函数的图象与性质

一、选择题

1．若函数f(x)＝ax－k－1(a>0，a≠1)过定点(2,0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)

2．函数f(x)＝lg是(　　)

A．奇函数   B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数   D．非奇非偶函数

3．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)

A．(－∞，7]　　　　　　　 　B．(2,7]

C．[7，＋∞)   D．(2，＋∞)

4．函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么f(x)在(1，＋∞)上(　　)

A．递增且无最大值   B．递减且无最小值

C．递增且有最大值   D．递减且有最小值

5．已知函数f(x)＝若f(x0)＞3，则x0的取值范围是(　　)

A．(8，＋∞)   B．(－∞，0)∪(8，＋∞)

C．(0,8)   D．(－∞，0)∪(0,8)

6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象为(　　)

7．若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)＞0，则f(x)(　　)

A．在(－∞，0)上是增函数

B．在(－∞，0)上是减函数

C．在(－∞，－1)上是增函数

D．在(－∞，－1)上是减函数

8．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)

9．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．

C． D．(0,1)∪(1，＋∞)

10．已知函数f(x)＝loga(2x－a)(a>0，且a≠1)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

二、填空题

11．不等式log (5＋x)<log(1－x)的解集为________．

12．已知函数f(x)＝log2为奇函数，则实数a的值为________．

13．若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lg x)＞g(1)时，x的取值范围是________．

14．已知函数f(x)＝loga(x＋3)的区间[－2，－1]上总有|f(x)|＜2，则实数a的取值范围为________________．

三、解答题

15．已知对数函数f(x)的图象过点(4,2)，试解不等式f(2x－3)＞f(x)．

16．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．

17．设定义域均为[，8]的两个函数f(x)和g(x)，其解析式分别为f(x)＝log2x－2和g(x)＝log4x－.

(1)求函数y＝f(x)的值域；

(2)求函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域．

 18．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(0＜a＜1)，函数y＝g(x)的图象与函数f(x)的图象关于原点对称．

(1)写出函数g(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)若x∈[0,1)时，总有f(x)＋g(x)≤m成立，求实数m的取值范围．

答案：

1、解析：选A　由题意可知f(2)＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－2－1，又f(x)在定义域R上是减函数，所以0<a<1.此时g(x)＝loga(x＋2)，定义域为(－2，＋∞)，单调递减，且过点(－1,0)，故选A.

2、解析：选A　f(x)的定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg 1＝0，∴f(x)为奇函数，故选A.

3、解析：选B　∵lg(2x－4)≤1，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是(2,7]，故选B.

4、解析：选A　由|x－1|＞0，得函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝

则有g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．

∵f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，∴a＞1.

∴f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值．

5、解析：选A　当x0≤0时，不等式为3x0＋1＞3＝31，所以x0＋1＞1，解得x0＞0，这与x0≤0不符，故此时不等式无解；当x0＞0时，不等式为log2x0＞3，所以x0＞23＝8，故此时不等式的解为x0＞8.综上，不等式的解为x0＞8，故选A.

6、解析：选D　由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B.又x＞0时f(x)＝ln(x＋1)，故选D.

7、解析：选C　当－1＜x＜0时，0＜x＋1＜1.

∵loga|x＋1|＞0，∴0＜a＜1，

∴函数f(x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减．

8、解析：选C　f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度得到的，且过点(1,1)，g(x)＝2－x＋1＝x－1的图象是由y＝x的图象向右平移一个单位长度得到的，且过点(0,2)，故只有C选项中的图象符合．

9、解析：选C　由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a.

又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，同时2a＞1，∴a＞，综上，a∈.

10、解析：选A　当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<－a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.

11、解析：不等式满足得－2<x<1.

答案：{x|－2<x<1}

12、解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，

log2＝－log2，

＝，a2＝1，

因为a≠－1，所以a＝1.

答案：1

13、解析：因为g(lg x)＞g(1)，所以f(|lg x|)＞f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|＞1，从而lg x＞1或lg x＜－1，解得0＜x＜或x＞10.

答案：∪(10，＋∞)

14、解析：∵x∈[－2，－1]，∴1≤x＋3≤2.

当a＞1时，loga1≤loga(x＋3)≤loga2，

即0≤f(x)≤loga2.

∵|f(x)|＜2，∴解得a＞.

当0＜a＜1时，log a2≤loga(x＋3)≤loga1，

即loga2≤f(x)≤0.

∵|f(x)|＜2，∴解得0＜a＜.

综上可得，实数a的取值范围是（0，）∪(，＋∞)．

答案：（0，）∪(，＋∞)

15、解：设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，

因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，

所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)＞f(x)⇒log2(2x－3)＞log2x⇒⇒x＞3，

所以原不等式的解集为(3，＋∞)．

16、解：y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.

∵f(x)的定义域为[1,9]，

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足

∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.

∴当x＝3时，y取得最大值，为13.

17、解：(1)因为y＝log2x在[，8]上是增函数，

所以log2≤log2x≤log28，即log2x∈.

故log2x－2∈，

即函数y＝f(x)的值域为.

(2)G(x)＝f(x)·g(x)＝(log2x－2)

＝(log2x－2)

＝[(log2x)2－3log2x＋2]，

令t＝log2x，x∈[，8]，t∈，

则y＝(t2－3t＋2)＝2－，t∈，

故当t＝时，y取最小值，最小值为－；

当t＝3时，y取最大值，最大值为1.

所以函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域为.

18、解：(1)∵g(x)的图象与f(x)的图象关于原点中心对称，

∴g(x)＝－f(－x)＝－loga(－x＋1)，

即g(x)＝loga，x＜1.

(2)函数f(x)－g(x)是偶函数．理由如下：

记h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(－1<x<1)，

即h(x)＝loga(1＋x)(1－x)＝loga(1－x2)，x∈(－1,1)．

∵h(－x)＝loga[1－(－x)2]＝loga(1－x2)＝h(x)，

∴h(x)为偶函数，即f(x)－g(x)为偶函数．

(3)记u(x)＝f(x)＋g(x)＝loga(1＋x)＋loga＝loga，x∈[0,1)．

∵f(x)＋g(x)≤m恒成立，∴m≥max.

令u(x)＝loga＝loga，

∵a∈(0,1)，x∈[0,1)时，u(x)单调递减，

∴u(x)max＝u(0)＝loga1＝0，

∴m≥0.

故实数m的取值范围为[0，＋∞)．