人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品第2课时测试题

简单的三角恒等变换(二)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值为(　　)

A．4    B．－6    C．－4    D．－3

2．若tan ＝3，则＝(　　)

A．3    B．－3    C．    D．－

3．设函数f(x)＝sin ＋cos ，则(　　)

A．y＝f(x)在上单调递增，其图象关于直线x＝对称

B．y＝f(x)在上单调递增，其图象关于直线x＝对称

C．y＝f(x)在上单调递减，其图象关于直线x＝对称

D．y＝f(x)在上单调递减，其图象关于直线x＝对称

4．已知函数f(x)＝sin x＋a cos x的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝a sin x＋cos x的最大值是(　　)

A．     B．     C．     D．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若＝2 021，则＋tan 2α＝________．

6．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________．

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．形如的符号叫二阶行列式，现规定＝a11a22－a21a12，如果f(θ)＝＝，0<θ<π，求θ的值．

8．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin (ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

能力过关

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．已知不等式3sin cos ＋cos2－－m≤0对于任意的x∈恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．[，＋∞)       B．(－∞，)

C．(－∞，－]      D．[－，]

2．(多选题)已知cos ·cos ＝，θ∈，则(　　)

A．sin 2θ＝        B．sin 2θ＝－

C．sin θ＋cos θ＝－      D．sin θ＋cos θ＝

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x＝________来截．

4．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值

是_______．

三、解答题(每小题10分，共20分)

5．如图，某工匠要将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块面积最大的矩形，现有两种裁法：①让矩形一边在扇形的一半径OA上(如图①)，②让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问该工匠应采用哪种裁法？并求出这个面积的最大值．

6．已知f(x)＝2cos2，g(x)＝.

(1)求证： f ＝g(x)；

(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值为(　　)

A．4    B．－6    C．－4    D．－3

分析选C.f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a

＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a

＝2sin ＋a＋1，

当x∈时，2x＋∈，

所以f(x)min＝2·＋a＋1＝－4，

所以a＝－4.

2．若tan ＝3，则＝(　　)

A．3    B．－3    C．    D．－

分析选A.因为tan ＝＝3，

所以tan θ＝－.

所以＝

＝＝＝3.

3．设函数f(x)＝sin ＋cos ，则(　　)

A．y＝f(x)在上单调递增，其图象关于直线x＝对称

B．y＝f(x)在上单调递增，其图象关于直线x＝对称

C．y＝f(x)在上单调递减，其图象关于直线x＝对称

D．y＝f(x)在上单调递减，其图象关于直线x＝对称

分析选D.f(x)＝sin

＝sin (2x＋)＝cos 2x，

所以y＝f(x)在上单调递减，

又 f ＝cos π＝－，是最小值，

所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．

4．已知函数f(x)＝sin x＋a cos x的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝a sin x＋cos x的最大值是(　　)

A．     B．     C．     D．

分析选B.由于函数f(x)的图象关于x＝对称，

则f(0)＝ f ，所以a＝－－，

所以a＝－，

所以g(x)＝－sin x＋cos x

＝sin ，

所以g(x)max＝.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若＝2 021，则＋tan 2α＝________．

分析＋tan 2α＝

＝

＝＝＝＝2 021.

答案：2 021

6．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________．

分析由题意5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，

所以cos θ－sin θ＝，

又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，

所以cos θ＋sin θ＝，

所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．形如的符号叫二阶行列式，现规定＝a11a22－a21a12，如果f(θ)＝＝，0<θ<π，求θ的值．

分析因为＝，

所以f(θ)＝

＝cos θsin －sin θcos ＝cos θ－sin θ＝sin ＝，

因为－<－θ<，

所以－θ＝，

所以θ＝.

8．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin (ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

分析(1)f(x)＝4cos ωx·sin

＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx＝(sin2ωx＋cos 2ωx)＋

＝2sin ＋.

因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，

从而有＝π，故ω＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin ＋，

若0≤x≤，则≤2x＋≤，

当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；

当<2x＋≤，即<x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．

能力过关

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．已知不等式3sin cos ＋cos2－－m≤0对于任意的x∈恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．[，＋∞)       B．(－∞，)

C．(－∞，－]      D．[－，]

分析选A.f(x)＝3sincos ＋cos2－－m＝sin＋cos －m

＝sin －m≤0，

所以m≥sin .

因为－≤x≤，所以－≤＋≤，

所以－≤sin ≤，

所以m≥.

2．(多选题)已知cos ·cos ＝，θ∈，则(　　)

A．sin 2θ＝        B．sin 2θ＝－

C．sin θ＋cos θ＝－      D．sin θ＋cos θ＝

分析选BC.cos ·cos

＝sin cos ＝sin

＝cos 2θ＝，

所以cos 2θ＝.

因为θ∈，所以2θ∈，

所以sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ<0.

所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝.

所以sin θ＋cos θ＝－.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x＝________来截．

分析设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则＝，＝，

又a＝GC＋CF＝b sin x＋b cos x，

所以sin x＋cos x＝，

所以sin ＝.

因为0＜x＜，所以＜x＋＜，

所以x＋＝或，x＝或.

答案：或

4．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值

是_______．

分析因为A＋B＝，

所以cos2A＋cos2B＝(1＋cos2A＋1＋cos 2B)＝1＋(cos 2A＋cos 2B)＝1＋

cos (A＋B)cos (A－B)＝1＋cos cos (A－B)＝1－cos (A－B)，所以当

cos (A－B)＝－1时，原式取得最大值；当cos (A－B)＝1时，原式取得最小值.

答案：　

三、解答题(每小题10分，共20分)

5．如图，某工匠要将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块面积最大的矩形，现有两种裁法：①让矩形一边在扇形的一半径OA上(如图①)，②让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问该工匠应采用哪种裁法？并求出这个面积的最大值．

分析在题图①中，MN＝20sin θ，ON＝20cos θ，

所以S1＝ON·NM＝400sin θcos θ＝200sin 2θ，

所以当sin 2θ＝1，即θ＝45°时，(S1)max＝200 cm2.

在题图②中，MQ＝40sin (60°－α)，MN＝sin α，

所以S2＝[cos (2α－60°)－cos 60°]，

当cos (2α－60°)＝1，即2α－60°＝0，即α＝30°时(S2)max＝ cm2.

因为＞200，

所以用题图②这种裁法得到的矩形的最大面积大，为 cm2.

6．已知f(x)＝2cos2，g(x)＝.

(1)求证： f ＝g(x)；

(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．

分析(1)f(x)＝2cos2＝1＋cosx，g(x)＝＝1＋2sin cos

＝1＋sin x.

因为 f ＝1＋cos ＝1＋sin x，

所以 f ＝g(x)，命题得证．

(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x

＝＝cos .

因为x∈[0，π]，所以≤x＋≤，

当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，当π≤x＋≤，即≤x≤π时，h(x)递增．

所以函数h(x)的单调递减区间为，

单调递增区间为，根据函数h(x)的单调性，

可知当x＝时函数h(x)取到最小值．