人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第3课时同步训练题

正弦函数、余弦函数的性质(一)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．函数f(x)＝的最小正周期是(　　)

A．π    B．2π    C．3π    D．4π

2．函数y＝cos 是(　　)

A．最小正周期为2π的奇函数

B．最小正周期为4π的奇函数

C．最小正周期为2π的偶函数

D．最小正周期为4π的偶函数

3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可以是(　　)

4．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为(　　)

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为________．

6．函数f(x)＝sin (ω≠0)，f(x)是________函数(填“奇”或“偶”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________．

三、解答题

7．(10分)判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin ；

(2)f(x)＝|sin x|＋cos x.

能力过关

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．已知函数f(x)＝A sin (A≠0)，若函数f(x－m)(m＞0)是偶函数，则实数m的最小值是(　　)

A．    B．    C．    D．

2．(多选题)函数f(x)＝sin (2x＋φ)是R上的偶函数，则φ的值可以是(　　)

A．    B．π    C．    D．－

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于______．

4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 011)＋f(2 013)的值为________．

三、解答题

5．(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．函数f(x)＝的最小正周期是(　　)

A．π    B．2π    C．3π    D．4π

分析选A.对于y＝sin ，T＝2π，

函数y＝是函数y＝sin 的图象x轴上方的图象不动，将x轴下方的图象向上对折得到的，故T′＝＝π.

2．函数y＝cos 是(　　)

A．最小正周期为2π的奇函数

B．最小正周期为4π的奇函数

C．最小正周期为2π的偶函数

D．最小正周期为4π的偶函数

分析选D.因为函数y＝cos ；

所以f(－x)＝cos

＝cos ＝f(x)；故是偶函数；

当x>0时，

又因为：f(x＋2π)＝cos ＝

cos＝－cos x；故其最小正周期不为2π.

3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可以是(　　)

分析选B.由f(－x)＝f(x)，得f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．

由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)的周期为2.

4．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为(　　)

分析选C.函数f(x)＝(1－cos x)sin x为奇函数，

所以图象关于原点对称，故排除B.

当0＜x＜时f(x)＞0，故排除A.

因为f＝sin ＝1故排除D.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为________．

分析f＝f＝f＝sin ＝.

答案：

6．函数f(x)＝sin (ω≠0)，f(x)是________函数(填“奇”或“偶”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________．

分析f(x)＝sin ＝－cos ωx.

所以f(－x)＝－cos (－ωx)

＝－cos ωx＝f(x)，

所以f(x)为偶函数，

又T＝π，所以＝π，

所以ω＝±2.

答案：偶　±2

三、解答题

7．(10分)判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin ；

分析(1)f(x)＝sin ＝－cos x，x∈R.

又f(－x)＝－cos ＝－cos x＝f(x)，

所以函数f(x)＝sin 是偶函数．

 (2)f(x)＝|sin x|＋cos x.

 (2)函数的定义域为R，

又f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以此函数是偶函数．

能力过关

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．已知函数f(x)＝A sin (A≠0)，若函数f(x－m)(m＞0)是偶函数，则实数m的最小值是(　　)

A．    B．    C．    D．

分析选A.因为函数f(x)＝A sin (A≠0)，若函数f(x－m)＝A sin (m＞0)是偶函数，则2m＋最小值为，

则实数m的最小值为.

2．(多选题)函数f(x)＝sin (2x＋φ)是R上的偶函数，则φ的值可以是(　　)

A．    B．π    C．    D．－

分析选ACD.因为f(x)为偶函数，则需把f(x)化成y＝±cos 2x的形式，所以φ＝＋kπ，k∈Z.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于______．

分析f＝f

＝f＝sin ＝.

答案：

4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 011)＋f(2 013)的值为________．

分析当x≥0时，f(x＋2)＝－，

所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．

所以f(2 013)＝f(1)＝log22＝1.

又f(－2 011)＝f(2 011)＝f(3)＝－＝－1，

所以f(－2 011)＋f(2 013)＝0.

答案：0

三、解答题

5．(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．

分析(1)因为f(x＋2)＝－f(x)，

所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).

所以f(x)是周期为4的周期函数．

(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，

由已知得f(－x)＝2×(－x)－(－x)2＝－2x－x2.

又f(x)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，

所以f(x)＝x2＋2x.

又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，

所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4).

又f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.

从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.